А.

Взлетает или садится космический корабль, показанный на рис. 11?

Б.

Большинство считает эту задачу шуткой. Дескать, автор надеется, что читатели скажут: «Поскольку реактивная струя направлена вниз, то сам корабль движется вверх и, следовательно, взлетает». Но мы знаем, что при посадке корабль также должен направить струю вниз, чтобы с помощью ее реакции (противодействия) погасить свою скорость сближения с Землей. Правда, часто посадка осуществляется с участием парашютов, без реактивной струи. Если бы на рисунке был парашют, то не было бы никаких сомнений, что это посадка. А сейчас рисунок не дает ответа на поставленный вопрос.

Рис. 11.

Конечно же, автор не строил задачу в расчете на такой явный промах со стороны читателя. Действительно, ориентация корабля соплом к Земле, клубы пыли, поднятые реактивной струей, – все это одинаково характерно и для начальной стадии взлета, и для конечной стадии приземления. Тем не менее подчеркиваем, что на рисунке имеется достаточно данных для ответа на вопрос.

В.

Для того чтобы вывести спутник массой в одну тонну на орбиту, в настоящее время требуются десятки тонн топлива. В космическом корабле, который, в отличие от спутника, кроме выхода на орбиту должен совершить еще свое космическое путешествие и затем благополучно приземлиться, соотношение между необходимым топливом и полезной массой еще во много раз больше. Следовательно, в стартующем космическом корабле высота полезных отсеков (кабина с космонавтами, научная аппаратура) составляет ничтожно малую часть от общей высоты корабля.

Теперь взгляните на рисунок. Судя по размерам иллюминаторов, по крайней мере половину корабля занимает кабина. Следовательно, большинство ступеней ракеты уже отброшено. Двигатель корабля теперь состоит не более чем из одной ступени. Это последняя ступень. Ситуация, в которой работает последняя ступень, никак не может быть стартом. Это приземление.

Многие читатели первого издания книги считали этот ответ не единственно возможным. Они полагали, что изображенная на рис. 11 ситуация могла бы быть не финишем на Земле, а промежуточным стартом с Луны. В самом деле, чтобы покинуть Луну, нужно развить скорость около 2,5 км/с, а это по силам для одной (последней!) ступени ракеты. Для приземления же тормозной двигатель не обязателен: его задачу может выполнить тормозящее действие атмосферы. Нужно только хорошенько прицелиться с Луны, чтобы вход в атмосферу был под правильным, весьма малым, углом и, кроме того, чтобы корабль был снабжен выпускаемыми крыльями, которые позволят планировать и этим растянуть торможение на продолжительное время, сделав его безопасным.

И хотя все эти рассуждения верны, тем не менее то, что изображено на рис. 11, не может быть стартом с Луны. И вот почему.

Клубы пыли (дыма, пара) возможны только в атмосфере. На Земле пылинка, подброшенная реактивной струей, почти мгновенно теряет первоначальную скорость относительно воздуха, как бы велика она ни была. Дальнейшее движение ее возможно только вместе с воздухом, турбулентность которого и приводит к образованию клубов пыли.

На Луне нет атмосферы. Поэтому там не может быть клубов пыли. Сама пыль может быть, а клубы – нет. В отсутствие атмосферы каждая пылинка будет, не тормозясь воздухом, описывать параболу (уточнения – в задаче «Совершали ли вы космический полет?»). Самые быстрые пылинки и песчинки (если их скорость более 2,4 км/с) могут покинуть Луну, перейдя в ранг метеорных тел.

Кстати сказать, отсюда следует, что зевака, глазеющий с расстояния в несколько километров на старт с Луны (или прилунение), рискует получить пару пробоин в скафандре (от песчинок с массой один миллиграмм и более).

Увидеть отдельную пылинку нельзя из-за ее быстрого движения. Вместо клубов пыли мы увидим что-то вроде веера лучей, состоящих из прямолинейно летящих пылинок и камешков. Этот веер мгновенно исчезает в момент выключения двигателей, так как составляющие его пылинки разлетаются.

Итак, событие происходит на планете, обладающей атмосферой и, следовательно, большой гравитацией. Это не старт с Луны. Может быть, старт с Венеры? Но для старта с Венеры ракета должна быть многоступенчатой. Поэтому единственно возможным ответом является все-таки приземление.

Оглавление

А.

Лучшие прыгуны на Земле преодолевают высоту 2 м и больше. Как высоко они прыгали бы на Луне, где ускорение свободного падения в шесть раз меньше?

Б.

На 12 м, говорите? Ваше заблуждение простительно, если учесть, что даже некоторые книги советуют умножить земной рекорд на шесть. Намного меньше! И дело не в том, что на Луне прыгуна будет отягощать скафандр. Попробуйте учесть, что спортсмен отталкивается от земли в вертикальном положении, а проходит над планкой – в горизонтальном, т.е. берет высоту не столько силой, сколько хитростью.

В.

Центр масс спортсмена перёд прыжком находится на высоте около 1,2 м, в момент прохода над двухметровой планкой – на высоте около* 2,1 м, т.е. поднимается всего лишь на 0,9 м. Затрачивая ту же энергию на Луне, прыгун поднял бы центр масс своего тела на высоту 0,9 · 6 = 5,4 м и, таким образом, прошел бы на высоте 1,2 + 5,4 = 6,6 м. Это почти вдвое ниже, чем казалось с первого взгляда. Правда, здесь не учтено, что непосредственно перед прыжком спортсмен несколько приседает и, следовательно, общий подъем центра масс во время прыжка несколько больше вычисленного. Но как первое приближение эта цифра вполне корректна.

В таком виде задача была опубликована в первом издании книги. Как и следовало ожидать, многие читатели не удовлетворились первым приближением и попытались перевести на язык цифр оговорку автора о необходимости учитывать приседание. Ответы у читателей оказались неожиданно разными, причем самый оптимистичный читатель нашел, что высота прыжка на Луне будет порядка 100 м! Самое интересное, однако, то, что каждый из этих ответов был более или менее обоснован, причем большинство из них опиралось на метод, отличный от приведенного в задаче. Поэтому имеет смысл найти второе приближение сначала по методу автора, затем по методу читателей и, наконец, сравнить их.

Итак, учтем глубину приседания (длину толчка) Δ спортсмена. На Земле прыгун поднимает свой центр масс с высоты h₀ на высоту h₀ + Δ + h_З, на Луне – на высоту h₀ + Δ + h_Л. Предполагая для простоты равные затраты энергии, мы получаем равенство приращений потенциальных энергий в наивысшей точке траектории прыжка:

mg_З (h_З + Δ) = mg_Л (h_Л + Δ),

где g_З и g_Л – ускорения свободного падения на Земле и Луне.

Учитывая, что g_З = 6g_Л, и решая это уравнение относительно h_Л, получаем подъем центра масс:

прибавив к которому начальную (в приседании) высоту h₀ и длину толчка Δ, мы узнаем значение лунного рекорда.

Глубина приседания перед прыжком у рекордсменов, по данным Ленинградского института физкультуры им. Лесгафта, колеблется около 35 см (для спортсменов, имеющих рост 180...185 см). Для людей среднего роста (170 см) она будет порядка Δ = 0,3 м. Если, как и раньше, h_З = 0,9 м, то

h_Л = 6 · 0,9 + 5 · 0,3 = 6,9 м,

а рекорд

h₀ + Δ + h_Л = 0,9 + 0,3 + 6,9 = 8,1 м.

Теперь учтем приседание методом, предложенным читателями. Основная нить рассуждений у многих выглядела так. Чтобы человек прыгнул, нужно, чтобы его ноги развили силу, бОльшую силы тяжести тела. Если сила тяжести на Земле равна P, а спортсмен развивает силу 1,5P, то 1P уйдет на компенсацию силы тяжести, а 0,5P – на придание скорости телу. Однако сила тяжести того же человека на Луне равна P/6, следовательно, на компенсацию силы тяжести потребуется меньше, а на придание скорости останется больше, а именно 1,33P. Это в 2,67 раза больше 0,5P. Следовательно, и скорость отрыва от Луны будет в 2,67 раза больше. Высота подъема h связана со скоростью взлета v и ускорением свободного падения g формулой

h = v² / 2g.

Написав эту формулу для Земли и Луны и разделив одну на другую, получим

h_Л / h_З = (v_Л² / v_З²) · (g_З / g_Л) = 2,672 · 6 ≈ 46.

На Луне спортсмен прыгнет не в 6, а в 46 раз выше, чем на Земле. На сорок с лишним метров!

Давайте, однако, от ориентировочных расчетов перейдем к точным. Будем при этом следовать методике читателя С.Л. Полонского (Рыбинск), решение которого оказалось самым точным из присланных.

Найдем силу ног прыгуна массой m = 60 кг, преодолевающего на Земле высоту 2 м, т.е. поднимающего во время полета центр масс на h_З = 0,9 м за счет скорости, приобретенной на пути Δ = 0,3 м. Скорость его отрыва от Земли

Ускорение в толчке

Мы замечаем, что можно было бы скорость и не вычислять, а просто найти a_З из пропорции

но знание скорости нам пригодится. Сила, вызвавшая ускорение aЗ.

Полную силу ног P₀ найдем, прибавив к Q_З силу тяжести прыгуна на Земле (P_З = 60 кгс):

Теперь можно приступить к расчетам прыжка на Луне, исходя из гипотезы, что сила ног у человека не уменьшилась от переноса его с Земли на Луну. Сила толчка на Луне, где сила тяжести прыгуна в шесть раз меньше (P_Л = 10 кгс).

Ускорение в толчке (масса прыгуна по-прежнему m = 60 кг)

Скорость отрыва прыгуна от Луны

Высота подъема на Луне

Результат совпадает с тем, что мы получили с помощью формулы (1). Единственное различие состоит в том, что для расчета по первому методу достаточно одной формулы, а по второму их требуется около десятка.

Но, может быть, это случайное совпадение? Или даже умысел коварного автора, подобравшего так удачно численный пример? Чтобы не проверять бесконечное число примеров, совпадение стоит проверить в общем виде. Подставьте формулы (3) – (10) одну в другую, начиная, например, с (10):

Выписывая отдельно начало и конец этой длинной цепи равенств, получаем

h_Л = [(g_З / g_Л) · (Δ + h_З)] – Δ = 6(Δ + h_З) – Δ,

что и дает формулу (1).

Теперь у нас есть полная уверенность, что оба метода всегда будут давать одно и то же и оба они правильны (или неправильны) одновременно. Чувствует себя спокойнее и автор: две опоры надежнее одной, это Козьма Прутков заметил тонко.

Но почему же ориентировочные расчеты давали такой экзотический результат? Потому что там есть две ошибки. Первая: сила ног взята наугад равной 1,5P, в то время как она у берущего высоту 2 м оказывается равной 4P. Вторая: если сила в n раз больше, то это не значит, что и скорость отрыва возрастет во столько же раз. Так было бы, если бы время на разгибание ног в обоих случаях было одинаковым. Но этого нет. В обоих случаях одинаков путь разгибания Δ, а не время (ноги на Луне имеют ту же длину, что и на Земле). В результате большее ускорение будет действовать меньшее время, и скорость возрастет не так уж сильно (сравните результаты расчета по формулам (9) и (2)).

Ошибки весьма поучительные. Ноги прыгуна намного сильнее, чем это подсказывает интуиция. В то же время прибавка скорости намного меньше, чем подсказывает все та же интуиция. Анализ ошибок полезен тем, что он позволяет глубже познать истину. Выстраданная истина прочнее и дороже.

В качестве дополнительных задач полезно рассмотреть, как высоко прыгнул бы на Луне кузнечик (в скафандре, разумеется), берущий на Земле забор высотой 1,5 м. Сможет ли прыгнуть на Луне тот, у кого на Земле хватает сил только на поддержание себя в положении стоя? Чего достиг бы на Луне прыгун с шестом?

И, наконец, не понадобится ли следующий раз вновь дополнять решение? Все ли уже учтено? Нет, конечно. Не учтено еще множество факторов. Главный из них: сила толчка не постоянна, она меняется в процессе толчка, так как при разгибании ног меняются углы между «рычагами» и «пружинами», из которых построена нога. Меняется она и чисто физиологически: сила мышцы в каждое мгновение зависит от характера команд, подводимых к ней по нерву, управление мышцей идет по сложному закону. Кроме того, высота прыжка будет зависеть от массы скафандра и от условий внутри него. Но это все проблемы для диссертации. Здесь их не рассмотреть. Впрочем, и мы можем подсказать кое-что диссертантам. Судя по формуле (1), высота h_Л рекордного прыжка на Луне зависит от глубины приседания Δ. На Земле она, разумеется, тоже зависит от нее, и многолетний опыт приводит каждого спортсмена к своему оптимальному значению Δ. Но одинаковы ли у данного спортсмена оптимальные значения Δ для Земли и Луны? Можно ли это рассчитать теоретически, так сказать, с участием одной головы? Или этот вопрос надежнее решается экспериментально, ногами? Не это ли имел в виду Козьма Прутков, утверждая, что две опоры надежнее одной?

* В принципе, если сильно изогнуться, то можно пройти над планкой так, что центр масс все время будет даже ниже планки.

Оглавление

А.

Век перпетуум мобиле давно прошел. Тем не менее мы осмеливаемся предложить вашему вниманию еще один его вариант. Как и полагается для добротно сделанного вечного двигателя, он работает без всяких источников энергии. Более того, чем больше он работает, тем энергичнее становится (в этом пункте мы, кажется, даже оставили позади всех прежних изобретателей!). Мы знаем, что изобретатель вечного двигателя в наше время считается невеждой*. Но вот вам описание двигателя, и пусть нас рассудит Ньютон.

Рис. 12.

На экваторе (рис. 12) установлена башня высотой в 40 000 км (в космический век перпетуум мобиле строятся с размахом!). На верх башни водружен массивный шар (сотни тонн), к которому приварена жесткая штанга, проходящая внутри башни и одним концом достигающая земной поверхности. Как легко подсчитать, на штангу (вследствие вращения башни вместе с Землей) действует центробежная сила шара, бОльшая силы земного тяготения (с увеличением высоты сила тяготения убывает, а центробежная сила с увеличением радиуса вращения возрастает; равенство достигается на высоте 35 800 км, где шар был бы в состоянии невесомости и в поддержке башни не нуждался бы, т.е. превратился бы в спутник Земли с 24-часовым периодом обращения). Поэтому шар стремится подняться еще выше. Но выше сила тяготения еще меньше, а центробежная сила – еще больше. Если шар не удерживать, то он сорвется и улетит, как срываются с «чертова колеса» те любители острых ощущений, которые слишком далеко отодвинулись от центра вращения. Не будем удерживать шар. Пусть он удаляется от Земли и тянет за собой штангу. Будем наращивать штангу – прикреплять к ней снизу все новые и новые отрезки по мере того, как шар поднимается все выше. Шар будет поднимать все новые и новые грузы, т.е. выполнять работу.

Для тех, кому беспрерывное поднятие в космос все новых и новых километров штанги покажется бесполезной работой, предлагаем более полезный вариант. Нарежьте на штанге зубцы (зубчатая рейка) и заставьте ее путем зацепления вращать какую-либо грандиозную шестерню. На вал шестерни посадите электрический генератор и используйте вырабатываемую им электрическую энергию.

Ну, что вы на это скажете?

Б.

Единственная существенная подсказка, которую здесь можно было бы сделать, это то, что перпетуум мобиле действительно невозможен. Но вы это уже знаете. Однако у вас могут появиться и другие соображения, способные помешать вам по достоинству оценить эту сногсшибательную идею. Вы можете, например, сказать, что башню и штангу высотой в 40 000 км не построить, что они рухнут под действием собственной силы тяжести. Эти соображения верны, но не имеют значения. Они означают только то, что сооружение башни надо отложить до тех времен, когда будут изобретены достаточно прочные материалы. Смотрите, «Положение об изобретениях» (пункт 35) целиком на нашей стороне: «...полезность изобретения определяется не только с точки зрения целесообразности немедленного использования..., но и возможности использования его в будущем, после создания необходимых для этого условий».

Мы согласны и с теми, кто возразит, что штанга длиной в 40 000 км, стремящаяся к Земле, может перетянуть шар, стремящийся вверх. Но ничто не мешает нам сделать башню высотой не 40 000, а 200 000 км. Наконец, ничто не мешает нам применять эту идею не на Земле, а на других небесных телах. Например, на астероидах потребная высота башни измеряется всего лишь километрами и вполне осуществима при современном уровне строительной техники, если учесть, что сила тяжести на астероиде во много раз меньше земной.

В.

Этот вечный двигатель будет работать! Только... не вечно. Центробежная сила, поднимая штангу, совершает работу за счет кинетической энергии вращения шара вместе с башней. А шар получил эту энергию из запасов энергии вращения Земли. Эти запасы огромны, но и они когда-нибудь будут исчерпаны. Если бы действительно удалось когда-нибудь построить этот двигатель, то его эксплуатация привела бы к постепенному замедлению суточного вращения Земли. Сравните поведение Земли с поведением конькобежца-фигуриста, быстро вращающегося вокруг вертикальной оси. Если конькобежец раскинет в стороны руки, то угловая скорость его вращения немедленно уменьшится. Его общий момент количества движения** при этом не изменяется (если пренебречь потерями на трение коньков о лед и на сопротивление воздуха), но большая его часть сосредоточивается в наиболее удаленных от оси вращения точках рук. Увеличение момента количества движения рук приводит к уменьшению момента количества движения корпуса, отчего число оборотов конькобежца в секунду уменьшается. Стоит, однако, фигуристу вновь прижать руки к корпусу, как его угловая скорость вращения снова возрастает. Очевидно, если мы после некоторого периода эксплуатации рассмотренного выше генератора притянем штангу и шар к Земле, то скорость вращения Земли снова возрастет. А как быть с электрической энергией, которую мы извлекли из генератора? Ее придется вернуть Земле: она понадобится для того, чтобы совершить работу по преодолению центробежной силы при возвращении шара из космоса на вершину башни. Причем вернуть с процентами, так как все расходы на трение будут взысканы с экспериментатора.

* Для энтузиастов идеи вечного двигателя настоятельно рекомендую последние главы интересной книги: Ощепков П.К. Жизнь и мечта.– М.: Московский рабочий, 1967.

** Момент количества движения вращающейся материальной точки – произведение ее массы на угловую скорость и квадрат радиуса вращения (L = mωr²); момент количества движения тела равен сумме моментов количества движения всех его точек:

L = ω(m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃² + ...).

Для вращающегося фигуриста L постоянно; при увеличении одного слагаемого (момента для рук – за счет увеличения радиуса вращения) уменьшается другое (момент для корпуса – за счет уменьшения угловой скорости).

Оглавление

А.

Вы находитесь на орбите спутника Земли, и вам предстоит приземление. Известно, чтО для этого надо сделать: развернуть корабль с помощью двигателей ориентации так, чтобы сопла тормозных двигателей были направлены вперед по линии вашего полета, и затем включить тормозные двигатели. И вдруг вы обнаруживаете, что двигатели ориентации вышли из строя. Как быть? Сумеете ли вы развернуть корабль без двигателей?

Б.

Можно использовать какой-нибудь маховик: вращая его вокруг некоторой оси, вы тем самым будете поворачивать корабль в противоположном направлении вокруг той же оси. Правда, масса и размеры маховика малы по сравнению с массой и размерами корабля, поэтому маховику придется совершить довольно много оборотов, пока он развернет корабль на нужный угол. Но где взять маховик, если вы его не захватили с собой в полет?

В.

В качестве «маховика» космонавт может использовать самого себя. Вращаясь на месте или совершая круговое путешествие по кабине (цепляясь за стенки, разумеется), он с течением времени развернет корабль. Если это из-за невесомости неудобно; то можно сделать все необходимое, даже не отвязываясь от кресла: достаточно, например, придать вращательное движение свободной руке. В принципе корабль можно развернуть даже простым вращением карандаша между пальцами. Правда, карандаш вертеть пришлось бы слишком долго.

Заменив для простоты расчетов корабль и карандаш пустотелыми тонкостенными цилиндрами, имеющими радиусы R = 1 м, r = 0,4 см и массы M = 10⁶ г и m = 10 г соответственно, мы получаем на основе закона сохранения момента количества движения

L = ΩMR² = – l = ωmr²,

откуда отношение угловых скоростей

| ω / Ω | = MR² / mr² = 10⁶ · 10⁴ / (10 · 0,4²) ≈ 6·10⁹.

Из этого отношения следует, что корабль повернется на 360° тогда, когда карандаш совершит 6 млрд оборотов. И если вам некуда спешить, то, вращая карандаш без отдыха со скоростью один оборот в секунду, вы развернете корабль на 180° ровно за 100 лет.

Используя вместо карандаша пустотелый цилиндр с m = 75 кг и r = 25 см, вы развернули бы корабль на 180° примерно за сто оборотов. Человеку той же массы, поскольку он больше похож на сплошной цилиндр, чем на пустотелый, пришлось бы совершить несколько больше оборотов, порядка двухсот.

Оглавление

А.

Два космонавта вне корабля растягивают трос (без двигателей). В это время третий космонавт его перерезает. Как будут двигаться после этого первые два?

Б.

- Никак! Космонавты не могут растягивать трос: им не во что упереться ногами.

Отвечая так, не учитывают всех возможностей. Во-первых, если растягиваемый трос не длиннее четырех метров, космонавты могут растянуть его, упираясь подошвами в подошвы друг другу.

Рис. 13.

Правда, если они приступят к делу так, что трос окажется в стороне от площади опоры (рис. 13, а), то их положение будет неустойчивым и ноги уйдут от троса (по стрелке A). Так изгибается лук под действием натягиваемой тетивы. Для устойчивости им следует развернуться лицами в противоположные стороны (носки одного опираются на каблуки другого) и пропустить трос между ног (рис. 13, б). Однако это не так уж интересно. Намного интереснее то, что они могут растянуть и стометровый трос, т.е. такой, при котором опереться друг на друга невозможно (разве только используя стометровую трубу, надетую на трос). Для этого они должны передвигаться вдоль троса. Как?

В.

Для того чтобы трос был натянут, космонавты должны приложить к нему с двух концов силы. Потянув за трос, они приложат эти силы, но в соответствии с третьим законом Ньютона такие же силы приложит к ним трос, отчего космонавты двинутся друг к другу вдоль троса. Чтобы трос был постоянно натянут, силы эти должны быть постоянными. Создание на некоторое время постоянной или почти постоянной силы возможно: космонавты должны, перебирая в руках трос, двигаться друг другу навстречу с постоянным ускорением. Разумеется, натянутой будет только та часть троса, которая находится между космонавтами.

Некоторым неудобством (но только для рассуждений, а не для действий) является необходимость соблюдения того, чтобы центр масс каждого из космонавтов был на продолжении троса. Поскольку центр масс обычно находится в области живота, то вся затея кажется нереальной. Однако легко вынести центр масс за пределы тела: для этого достаточно подтянуть ноги под прямым углом к корпусу. В невесомости это не составляет большого труда.

Если вас не устраивает то, что трос будет натянут не вечно, а только до момента сближения космонавтов, то растягивание можно продолжить: сблизившись, космонавты должны оттолкнуться друг от друга. Теперь надо перебирать трос руками так, чтобы удаляться с замедлением. Эту процедуру можно повторять: то сближаясь с ускорением, то удаляясь с торможением, космонавты все время будут держать трос в натянутом состоянии.

Теперь ясно, чтО будет, если трос перерезать. Если это сделать во время сближения космонавтов, то они будут продолжать сближаться, но уже не ускоренно, а равномерно, с той скоростью, которую они имели в последний момент, когда трос еще был целым. Если трос перерезать во время удаления, то они будут продолжать удаляться, но уже равномерно.

Строго говоря, поскольку трос обладает некоторыми пружинящими свойствами, то обе его половинки в момент перерезывания устремятся к космонавтам и, соответственно, потянут космонавтов к себе, отчего скорость сближающихся космонавтов несколько возрастет, а удаляющихся - уменьшится.

Описанный способ растягивания не единственный. Если бы космонавты сумели привести себя и трос во вращение вокруг оси, перпендикулярной к тросу ("карусель"), то трос был бы растянут центробежными силами. Для этого нужно, чтобы один или оба* космонавта бросили перпендикулярно к тросу (в противоположных направлениях) какие-либо грузы.

Наконец, если требуется кратковременное распрямление троса, то достаточно швырнуть оба его конца в противоположные стороны.

Есть и другие возможности. Одну из них вы можете извлечь из задачи "Гантель в космосе".

* Опираясь на законы движения центра масс, сформулируйте условия, при которых бросание грузов приводит к чистому вращению, не вызывая поступательного движения космонавтов и троса, либо, наоборот, к чистому поступательному движению.

Оглавление

А.

Нашим ближайшим потомкам понадобилось исправить орбиту Земли (потомкам все может понадобиться). Могут ли им для этой цели пригодиться современные ракеты?

Б.

Исправление орбиты Земли – грандиозный проект. Поэтому не следует смущаться трудностями его осуществления: числом и мощностью ракет, необходимостью крепить их к «полезному грузу» – Земле – на мачтах, выступающих за атмосферу, и т.д. Следует только показать, осуществим ли этот проект принципиально. Как повлияет на ваши расчеты, например, то обстоятельство, что скорость истечения газов из современных химических ракет составляет величину порядка 2,5 км/с?

В.

В соответствии с третьим законом Ньютона силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению. Снаряд и пушка движутся после выстрела в разные стороны. В соответствии с законом сохранения количества движения оба тела после взаимодействия движутся таким образом, что их общий центр масс продолжает вести себя так же, как он вел себя до взаимодействия тел. Если до выстрела центр масс системы пушка – снаряд был неподвижен, то он будет неподвижен и после выстрела. Количество движения снаряда (и пороховых газов) m₁v₁ равно по величине и противоположно по направлению количеству движения пушки m₂v₂. Тогда

v₁ / v₂ = m₂ / m₁.

Центр масс меньшего тела удаляется в одну сторону с большей скоростью, центр масс большего тела – в другую с меньшей скоростью. Общий центр масс остается неподвижным, как это следует из того, что он должен делить расстояние между двумя массами на части, обратно пропорциональные этим массам. Если пушка стреляет на ходу, то общий центр масс системы пушка – снаряд продолжает двигаться в ту же сторону и с той же скоростью, с какой он двигался до выстрела.

Представим теперь, что снаряд соединен с пушкой пружиной. Вылетев из пушки, он растягивает пружину, затрачивая на это свою кинетическую энергию. Израсходовав ее полностью, снаряд остановится, после чего пружина вернет его (а также и пушку) на старое место. Правда, если энергии снаряда достаточно, чтобы разорвать пружину, то снаряд все-таки улетит с некоторой скоростью и не вернется на старое место, равно как и пушка будет откатываться от старого места с некоторой остаточной скоростью.

Рассмотрим ракету, движущуюся в космосе по некоторой орбите. При включении двигателей ракета меняет свою орбиту, хотя общий центр масс системы реактивная струя – ракета продолжает двигаться по старой орбите. Если бы, однако, ракета и струя газов были связаны какой-то пружиной, то она вернула бы газы и ракету на первоначальную орбиту. Отсутствие такой пружины и позволяет ракете изменить орбиту.

Перейдем к интересующей нас задаче. Пристроим ракетные двигатели к Земле. Чтобы земная атмосфера не тормозила струю газов, установим ракеты на башнях высотой в сотни километров (после задачи «Автор изобрел вечный двигатель» такие размеры башни уже не могут нас смутить). Пусть нам нужно приблизить Землю к Солнцу. Тогда мы должны затормозить ее (см. задачу «Хочешь быстрее – тормози»). Для этого надо направить реактивную струю туда, куда движется Земля, т.е. на 90° западнее Солнца. Силой отдачи струи Земля начнет «откатываться» назад по орбите, т.е. уменьшать свою орбитальную скорость.

Но вот в чем беда: газы струи и Земля связаны мощной «пружиной» – тяготением. Преодолевая силы тяготения, газы струи теряют свою кинетическую энергию. Чтобы разорвать «пружину» земного тяготения, как известно, требуется скорость 11,2 км/с. Струя газов не обладает такой скоростью: в ее распоряжении всего лишь 2,5 км/с. Следовательно, поднявшись на некоторую высоту, молекулы газа вновь начнут падать на Землю (по эллиптическим траекториям, в фокусе которых находится центр масс Земли). Второй конец «пружины» – сила, с которой молекулы притягивают Землю, – заставит последнюю «падать на молекулы», т.е. вернуться на первоначальную орбиту. Чтобы не осложнять задачу, мы не учитываем давление солнечных лучей на молекулы и влияющие магнитного поля Земли на ионы и электроны, из которых в значительной степени состоит горячая струя.

Таким образом, пока не будут использованы ракетные топлива, обеспечивающие скорость струи выше 11,2 км/с, изменить орбиту Земли невозможно.

Попробуем, однако, быть предельно строгими. Скорость молекул струи, равная 2,5 км/с, – это только средняя скорость. Следовательно, в струе имеются и более медленные, и более быстрые молекулы. Есть и такие, скорость которых в пять раз превосходит среднюю. Они преодолеют земное тяготение и, следовательно, изменят орбиту Земли. Но таких молекул ничтожно малое количество.

Рис. 14.

На рис. 14 показано распределение молекул газа по скоростям (распределение Максвелла, которое строго верно для газа, находящегося в покое, и не совсем – для вытекающего из сопла). Кривая A отражает наш случай, когда средняя скорость молекул равна 2,5 км/с. По оси абсцисс отложена скорость молекул, по оси ординат – их относительное количество для каждого значения скорости. Если площадь между кривой и осью абсцисс принять за 100% (полное число молекул), то заштрихованная площадка показывает процент молекул, скорость которых больше некоторой v, но меньше v + Δv. Очевидно, средней скоростью vср является такая, при которой площадь графика делится на две равные части: половина молекул имеет скорость меньше средней (левее прямой DE), половина – больше (правее DE). Максимум графика соответствует наиболее вероятной скорости vвер (эти две скорости всегда связаны соотношением v_ср = 1,22v_вер).

Из графика видно, что кривая в области больших скоростей довольно быстро прижимается к оси абсцисс (хотя теоретически нигде с ней не сливается). Поэтому число молекул правее прямой FG, соответствующей второй космической скорости v_2к = 11,2 км/с, ничтожно мало (по графику его даже не определить, нужно считать по формуле), порядка 10^–9%. И даже если бы средняя скорость была вдвое больше (кривая B), то и тогда правее FG число молекул все еще было бы только 0,01%.

Таким образом, при v_ср = 2,5 км/с покидает Землю лишь одна молекула из ста миллиардов, причем скорость этой молекулы почти полностью уже растрачена на преодоление земного тяготения. Для того чтобы за счет таких молекул изменить сколько-нибудь заметно орбиту Земли, пришлось бы превратить в ракетное топливо почти всю планету (кстати сказать, это уже не удовлетворяет условию задачи: современные ракеты не могут использовать в качестве топлива песок и глину). Жалкие остатки нашей планеты (окруженные к тому же атмосферой из ядовитых продуктов работы двигателей), которые после этой операции пойдут по новой орбите, вряд ли можно будет продолжать называть планетой Земля.

А нельзя ли затормозить Землю не струей ракеты, прикрепленной к Земле, а «струей», состоящей из ракет, покидающих Землю? Ведь космические ракеты, работающие на современном топливе, способны развить скорость выше 11,2 км/с. Если общий центр масс Земли и ракеты, ушедшей к Марсу, продолжает двигаться по старой орбите, то, следовательно, Земля движется по новой! Дадим залп из миллиарда ракет!

Нетрудно сообразить, что этот способ мало чем отличается от предыдущего. Ракета на современном топливе для достижения нужной скорости должна быть многоступенчатой. Все ступени (и отработанные ими газы), кроме последней, «пружиной» тяготения возвращаются на Землю. Масса же последней ступени, покидающей Землю и поэтому влияющей на орбиту Земли, составляет по-прежнему ничтожно малый процент от первоначальной массы ракеты.

Читатель П. Мелешкевич (Тульская обл.) предложил такой оригинальный способ. Построим башню, подобную построенной в задаче «Автор изобрел вечный двигатель», высотой в 19 земных радиусов (120 000 км). На такой высоте вторая космическая скорость v_2к = 2,5 км/с. Следовательно, если ракету укрепить на вершине башни, то половина молекул будет покидать Землю. Это ценное предложение.

Применительно к распределению Максвелла оно означает следующее. Мы не можем пока растянуть кривую вправо так, чтобы половина молекул оказалась правее FG (кривая C). Для этого понадобилось бы увеличить v_ср в 4,8 раза, т.е. температуру газа в 4,8² ≈ 23 раза. Ну что ж, не можем сдвинуть кривую вправо, тогда давайте сдвинем прямую FG влево! Так, чтобы она совпала с DE. При этом нужный нам результат будет достигнут: половина молекул покинет Землю. И хотя этот вариант не совсем равноценен варианту с кривой C, тем не менее он увеличивает эффективность во много раз. Во-первых, число молекул, покидающих Землю, возрастает примерно в 50 млрд раз (дополнительным преимуществом является то, что атмосфера меньше загрязняется). Во-вторых, скорости молекул будут меньше растрачены в поле земного тяготения. И то, и другое благоприятствует решению задачи. Правда, понадобятся затраты энергии для того, чтобы ракетное топливо доставлять на башню. Но можно показать (да вы и сами чувствуете это), что затраты будут меньше, чем в предыдущих проектах, так как к.п.д. транспорта даже в худшем случае будет порядка 1%, а к.п.д. в первом варианте не превосходил 10^–9%. А если башня (точнее, две башни по обе стороны Земли, иначе вместо укорочения года получим укорочение суток) стоит на экваторе, то затрачивать энергию на подъем топлива нужно только на первых 36 000 км. На бОльших высотах вступает в действие двигатель из задачи «Автор изобрел вечный двигатель», который облегчит решение... Нет, к сожалению, не облегчит. В задаче речь идет о наших ближайших потомках. А им не под силу построить такую башню. В задаче «Автор изобрел вечный двигатель» она предлагалась для далекого будущего, настолько далекого, что даже невозможно предсказать, когда оно наступит и наступит ли вообще. Но в столь отдаленном будущем химические ракеты для такой цели вряд ли будут использоваться. Возможно, что они даже будут забыты*.

Вернемся в нашу задачу, к ближайшим потомкам. Двигатели, дающие скорость струи выше 11,2 км/с, более полезны для решения задачи.

Такими двигателями будут ионные (пока что их мощность и к.п.д. весьма малы и они применяются лишь для коррекции орбит спутников и кораблей) и фотонные. Ионные двигатели извергают струю заряженных частиц – ионов и электронов, ускоряемых с помощью электрических и магнитных полей. При этом легко достижимы скорости в десятки тысяч километров в секунду (электрон уже при ускоряющем поле в 100 вольт приобретает скорость 5930 км/с). Гигантские ускорители заряженных частиц, направленные жерлами в небо, весьма перспективны как двигатели для Земли.

Фотоны излучаются со скоростью 300 000 км/с. Вы можете уже сейчас, без особого труда изменить орбиту Земли, включив карманный фонарик и направив струю фотонов в небо на достаточно большое время**. Только делать это следует при ясном небе, иначе фотоны отразятся от туч обратно, а чтобы ваше предприятие было успешным, фотоны должны покинуть Землю.

* Читатель Михайлов предложил изменить орбиту Земли путем быстрого устранения Луны. При этом нужно израсходовать в качестве топлива всего лишь 1/3 массы Луны, а орбитальная скорость Земли (30 000 м/с) изменится на целых 13 м/с. Читатель Окунев (Киев) предложил изменить орбиту Венеры путем торможения (ядерными взрывами) одного из спутников Сатурна и точного попадания этим спутником в нужную точку Венеры. Конечно, в этих проектах не соблюдаются условия задачи (современность ракет). И, кроме того, удары по небесным телам, скорее всего, приведут к разрушению и Луны, и спутника Сатурна, и Венеры. Однако в смелости полета фантазии читателям не откажешь. Жаль только Луну, уж больно она симпатичная.

** Для недогадливых: автор шутит. Хотя в принципе он и прав, т.е. орбита Земли при этом изменится, но так мало, что всерьез об этом говорить нельзя, Кроме того, несогласованность действий отдельных читателей друг с другом приведет к тому, что они будут сдвигать Землю в разных направлениях. Наконец, отражающие солнечный свет естественные зеркала – водные поверхности (да и суша) – делают это сильнее, чем все читатели, вместе взятые.

Оглавление

А.

Учебники астрономии и космонавтики утверждают, что в поле тяготения Земли тело летит по параболе только при условии, что его скорость равна второй космической (вблизи поверхности Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с). Если же скорость меньше, то тело движется по эллипсу, если больше – по гиперболе. Но вот мы бросаем камень – и он, как утверждают учебники физики, летит по параболе, хотя его скорость всего каких-нибудь 10 м/с, т.е. в тысячу раз меньше второй космической. Как это объяснить?

Б.

Попробуйте рассмотреть, как полетел бы камень дальше, если бы ему не помешала поверхность Земли, т.е. если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре.

В.

Рис. 15.

На рис. 15 показаны траектории тел, вылетевших с различными скоростями из точки P, расположенной вблизи поверхности Земли. Скорость каждого тела в точке P направлена горизонтально. Если скорость тела v такова, что центростремительное ускорение v₂/R равно ускорению свободного падения g, то тело движется по окружности B, центр которой совпадает с центром Земли. Из соотношения

v₂ / R = g

находим, что нужная для этого скорость

v = √[gR].

У поверхности Земли g = 9,81 м/с², R = 6380 км (радиус земного шара). Поэтому

v = √[9,81 · 6 380 000] ≈ 7,9 км/с = v_1к .

Эта скорость называется круговой или первой космической – это тот минимум скорости, который необходим, чтобы тело, брошенное горизонтально, не упало, а совершило полет вокруг Земли (и здесь и дальше мы не учитываем сопротивление воздуха).

Если скорость больше v_1к, то ускорение свободного падения не сумеет искривить траекторию до окружности. Кривизна траектории будет меньше, тело полетит по эллипсу (C₁ или C₂). Удаляясь от Земли, тело израсходует избыток кинетической энергии на подъем. Достигнув максимального удаления (апогей, точка A₁ или A₂), тело начинает расходовать накопленную потенциальную энергию на увеличение своей скорости (на второй половине эллипса), возвращаясь к исходной точке P, которая, таким образом, является перигеем орбиты.

Центр масс Земли находится в ближнем к точке старта фокусе эллипса. Второй фокус находится рядом с апогеем, на таком же расстоянии от A, на каком первый находится от перигея P. Окружность является частным случаем эллипса, у которого оба фокуса совпадают. Чем больше скорость v по сравнению с v_1к, тем больше расходятся фокусы, тем сильнее вытянут эллипс. Наконец, при некоторой скорости v = v_2к второй фокус эллипса оказывается бесконечно далеко от Земли, т.е. орбита оказывается разомкнутой, имеющей форму параболы!). Скорость v_2к называется параболической, второй космической или скоростью убегания. Тело, ушедшее от Земли с такой скоростью, никогда не вернется обратно (если не вмешается какое-либо третье тело, например Луна).

Вторая космическая скорость ровно в √2 раз больше первой космической. У поверхности Земли

v_2к = v_1к · √[2] = 7,9 · 1,41 ≈ 11,2 км/с.

При скорости, превосходящей вторую космическую, тело движется по гиперболе E, которая тем больше приближается к прямой F, чем выше скорость.

Рис. 16.

Рассмотрим теперь поведение тела при скорости, меньшей первой космической (круговой) v_1к. Пусть точка A (рис. 16) находится на большой высоте над Землей (чтобы тело могло чтобы телу было куда падать). Допустим, что скорость тела чуть-чуть меньше первой космической. Тогда оно не сможет идти по круговой орбите и начнет с нее снижаться (G₁). Таким образом, точка старта A в этом случае является самой удаленной точкой орбиты, т.е. ее апогеем. Орбита G₁ также оказывается эллипсом, только теперь центр масс Земли находится в другом, более далеком от точки старта фокусе. Фокусы эллипса как бы поменялись ролями.

С дальнейшим уменьшением стартовой скорости тела эллипс (G₂) начинает пересекать поверхность земного шара M, т.е. полет перестает быть космическим. Этого не произошло бы, если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре. Чем меньше скорость тела в апогее A, тем ближе перигей P к центру масс Земли. При обычных земных скоростях тел (десятки метров в секунду) перигей оказывается в непосредственной близости к центру, а эллипс – чрезвычайно сильно сплющенным.

Теперь можно сравнить траектории тел с v ≈ v_2к и v ≈ 0. Когда скорость тел мы увеличивали до второй космической, то эллипсы всё более и более вытягивались (C₁, C₂ и т.д. на рис. 15), пока не превратились в параболу. Примыкающая к точке старта часть эллипса, так же как и противоположная, тем меньше отличается от параболы D), чем ближе скорость тела к v_2к. Когда скорость тел мы уменьшали до нуля, то эллипсы всё более и более сплющивались (G₁, G₂ и т.д. на рис. 16), что для их формы равносильно вытягиванию. В результате примыкающая к точке старта часть эллипса опять оказывается все больше приближающейся к параболе. При скоростях 0...1000 м/с часть траектории тела, проходящая над поверхностью Земли, практически совпадает с параболой.

В школьных учебниках параболичность траектории камня доказывается без участия законов Кеплера. Это доказательство справедливо, если в пределах всей траектории ускорение свободного падения постоянно по величине и направлению. В условиях полета камня или пули это в высшей степени правильно. Но уже снаряды дальнобойных орудий, а тем более ракеты летят в неоднородном поле тяжести (на пути в 111 км направление силы тяжести меняется на один градус), поэтому здесь уже приходится учитывать, что траектория является отрезком эллипса, в дальнем из фокусов которого находится центр масс Земли.

Интересно в связи с этим заметить, что с принципиальной точки зрения полет Валерия Брумеля над планкой при прыжке в высоту (как, впрочем, и каждого из вас) ничем существенным не отличается от космического полета. Прыгун, разбегаясь и отталкиваясь, выходит на эллиптическую орбиту, в одном из фокусов которой находится центр масс Земли. Во время выхода на орбиту (толчок) он, естественно, испытывает перегрузки. Зато на протяжении всего полета он испытывает самое настоящее (без всякой подделки!) состояние невесомости (если, конечно, пренебречь сопротивлением воздуха*).

Пройдя апогей своей орбиты (высшая точка над планкой), прыгун идет на снижение и, наконец, приземляется, подвергаясь при этом, как и полагается в конце космического полета, перегрузке. Единственное в этом смысле отличие полета Валерия Брумеля от полета Юрия Гагарина состоит в том, что у орбиты Гагарина и апогей и перигей находились вне Земли, в то время как у орбиты Брумеля над планетой находится лишь апогей, а перигей находится внутри планеты, что, естественно, мешает ему закончить полный виток вокруг Земли. Может быть, это удастся Владимиру Ященко?

* Точно так же создается и невесомость в самолете, делающем «горку» по параболической траектории для тренировки космонавтов.

Оглавление

А.

Космический корабль-спутник совершает вокруг Земли 10 оборотов в сутки. По каким-то соображениям ему нужно ускорить свое движение так, чтобы совершать 12 оборотов в сутки. Что должен сделать космонавт: ускорить или затормозить корабль?

Б.

Космонавт должен затормозить корабль, к удивлению тех, кто хорошо знает законы движения наземного транспорта, но не знаком с космонавтикой. Доказать это можно с помощью законов Кеплера.

В.

Третий закон Кеплера применительно к системе Земля – спутник гласит: «Квадраты времен обращения спутников вокруг Земли пропорциональны кубам их средних расстояний от центра Земли». Отсюда следует, что для уменьшения периода обращения необходимо уменьшить среднее расстояние Земля – спутник. Под средним расстоянием r_ср необходимо понимать среднее арифметическое из наибольшего расстояния r_A (в апогее) и наименьшего r_P (в перигее). Пусть для простоты первоначальная орбита спутника была круговой (D на рис. 17).

Рис. 17.

Тогда среднее расстояние равно просто радиусу орбиты:

(r_D)_ср = r_A.

Для эллиптической орбиты B

(r_B)_ср = (r_A + r_P) / 2 < (r_D)_ср;

следовательно, по орбите B спутник будет совершать оборот быстрее, чем по орбите D.

Как же перейти с орбиты D на орбиту B? Для этого спутник, движущийся по круговой орбите D, надо затормозить в момент прохождения через точку A. Тогда его скорости будет недостаточно для продолжения кругового движения, и он начнет снижаться по кривой B. При снижении часть потенциальной энергии спутника преобразуется в кинетическую, отчего скорость его движения в перигее P возрастает. Избыток кинетической энергии заставляет его вновь подняться в апогей A, и т.д.

Рассчитаем, любопытства ради, первоначальную и окончательную орбиты спутника, упоминавшегося в условиях задачи. Из третьего закона Кеплера

t₁² / t₂² = r₁³ / r₂³

следует, что радиус орбиты спутника

можно найти по его периоду обращения t₁, если известны радиус орбиты r₂ и период обращения t₂ какого-нибудь другого спутника Земли. Можно использовать в качестве второго спутника Луну (r₂ = 384 400 км, t₂ = 27,32 суток) или самый близкий из теоретически возможных (при отсутствии атмосферы) искусственных спутников Земли (r₂ = 6380 км – радиус Земли, t₂ = 7900 м/с, t₂ = 2πr2/v = (40·10⁶)/7900 = 5070 с = 84,5 мин).

Принимая во внимание, что

t₁ = 1/10 суток = 144 мин = t_D,

имеем для радиуса орбиты спутника

r₁ = 6380 · √³[1442 / 84,52] = 9120 км = (r_D)_ср,

т.е. спутник находится на высоте

h = 9120 – 6380 = 2740 км.

Найдем теперь среднее расстояние спутника от Земли после торможения (t_B = 1/12 суток = 120 мин):

Перигейное расстояние

r_BP = 2(r_B)_ср – r_BA = 2(r_B)_ср – (r_D)_ср = 2 · 8070 – 9120 = 7020 км,

т.е. высота перигея

h_P = 7020 – 6380 = 640 км.

Рассмотренный маневр космического корабля можно применять для того, чтобы догнать другой корабль. Допустим, на одну и ту же круговую орбиту D (рис. 17) выведены два корабля K₁ и K₂. Они несут на себе различные детали спутника, которые надо собрать воедино. Для этого следует кораблю K₁ догнать корабль K₂. Если на орбите D корабль K₁ отстает от K₂ на 1 минуту пути, то корабль K₁ должен затормозить свое движение, чтобы перейти на такую орбиту B, на которой время обращения на 1 минуту меньше, чем на орбите D. Тогда ровно через один оборот (по орбите В) корабль K₁ догонит корабль K₂ в точке A. Таким образом, чтобы догнать впереди идущий спутник, задний должен уменьшить свою скорость.

Ту же задачу можно решить путем увеличения скорости впереди идущего корабля K₂. Тогда корабль K₂ пойдет по орбите C. Если приращение скорости выбрано правильно, то после одного оборота корабли встретятся в точке K₂.

Не следует, однако, думать, что догнать корабль можно только таким способом. Описанный способ – самый экономичный по расходу топлива и самый простой для штурмана. Если же топлива много или если случай аварийный (нужно догнать немедленно!), то задний корабль может увеличить скорость, а возникающую при этом тенденцию корабля перейти на более высокую орбиту надо пресечь с помощью некоторой переориентации реактивной струи (см. следующую задачу).

Оглавление

А.

В предыдущей задаче корабль совершал вокруг Земли сначала 10, а затем 12 оборотов в сутки. Не так уж много. Можно и больше: Герман Титов облетел за сутки Землю 16 с лишним раз. Хорошо бы побить его рекорд! Например, 20 оборотов в сутки. Ну, как, беретесь?

Б.

– Нет, не беремся! Ведь только что рассмотренный закон Кеплера показывает, что для увеличения числа оборотов надо уменьшить радиус орбиты. И даже если спутник летит на нулевой высоте (r = 6380 км), то и тогда его период обращения составляет 84 мин 30 с, т.е. спутник совершает только 17 оборотов в сутки. Из пропорции

20² / 17² = 6380³ / x³

следует, что 20 оборотов в сутки можно сделать лишь на орбите радиусом x ≈ 5730 км, т.е. на глубине 650 км под поверхностью Земли. Так что мы не беремся. А автор?

В.

А автор берется! Дайте мне точку опоры... Нет, не то! Дайте запас топлива на борт – и прошу садиться! Кто сказал, что нельзя сделать 20 оборотов в сутки? Кеплер? Но он устанавливал законы для небесной механики, а не для космонавтики. Если наш корабль на орбите будет вести себя как небесное тело, т.е. совершенно пассивно отдаваться во власть силы тяготения, то рекорда, конечно, не будет. Однако у нашего корабля, в отличие от других небесных тел, есть двигатель. Разгоним корабль до нужной для рекорда скорости, большей, чем это. требуется для удержания на круговой орбите. Сила инерции при этом будет стремиться сорвать корабль с круговой орбиты и отбросить прочь от Земли, но мы противопоставим ей силу двигателя, направив реактивную струю точно от Земли. Тогда создаваемая двигателем прижимающая к Земле сила дополнит силу тяготения так, что вдвоем они уравновесят силу инерции.

Будем ставить рекорд на орбите радиусом 7000 км, на высоте 620 км над Землей (поскольку мы не отрываемся пока от бумаги, то имеющаяся на этой высоте радиационная опасность нам не страшна).

Если бы не было силы тяготения, то для удержания корабля массой m на круговой орбите радиуса r при угловой скорости ω к нему нужно было бы приложить центростремительную силу

F = mω²r.

На каждый килограмм массы корабля понадобилась бы удельная центростремительная сила

f = ω²r.

Двадцать оборотов в сутки составляют

ω = 20 · 2π / (24 · 60 · 60) = 0,00145 рад/с.

Следовательно, удельная центростремительная сила (или центростремительное ускорение)

f = 0,001452 – 7 000 000 ≈ 14,7 Н/кг = 14,7 м/с².

Учтем теперь силу тяготения, которая возьмет на себя

P = mg,

или на каждый килограмм массы силу тяготения g, где g – ускорение свободного падения на нашей орбите, равное

g = g₀ (r₀² / r²) = 9,8 · (6380² / 7000²) ≈ 8,1 м/с².

Таким образом, на долю прижимающего к орбите двигателя остается

q = f – g = 14,7 – 8,1 = 6,6 Н/кг = 6,6 м/с².

Чтобы не испортить нашего оптимистического настроения, не будем подсчитывать, сколько топлива нам понадобится на борту, чтобы совершить хотя бы суточный такой полет. Отметим только, что двигатели должны быть включены круглые сутки и что топливо будет расходоваться катастрофически быстро, так как масса корабля будет огромной именно по причине необходимости иметь большой запас топлива.

Условия на борту такого космического корабля существенно отличаются от тех, в которых находились первые космонавты. Во-первых, на протяжении всего полета в кабину доносятся шум и вибрация двигателей. Во-вторых, на таком корабле все время существует «весомость» (не правда ли, это несколько непривычно для тех, кто уже освоился с космическим веком!). Правда, в нашем примере она в полтора раза меньше земной (q = 6,6 м/с² ≈ 2/3g₀), что дает одновременно и приятное чувство собственного веса и не менее приятное чувство легкости.

Направлен вектор искусственной тяжести не к Земле, а от нее. Поэтому мы будем постоянно видеть Землю над головой, а под ногами – космическую бездну. В таких условиях не советуем выходить из космического корабля на прогулку без прочного фала: вас унесет с корабля, и вы полетите относительно него с ускорением 6,6 м/с², но не на Землю, а в противоположную сторону. Правда, в рассматриваемом случае вы не улетите от Земли навсегда, а только перейдете на очень вытянутую эллиптическую орбиту (перигей которой будет в той точке, где вы опрометчиво покинули корабль, а апогей – на расстоянии около 70 000 км от центра Земли), но это является слабым утешением. Если же корабль совершает на орбите радиуса 7000 км в погоне за рекордом 16√2 ≈ 22,5 или более оборотов в сутки, то, сорвавшись с такого корабля, любой груз перейдет на гиперболическую орбиту относительно Земли, т.е. превратится в искусственную планету. Это же произойдет и с самим кораблем, если его двигатель выйдет из строя.

Заметим, что полет с угловой скоростью более 22,5 оборота в сутки на этой орбите будет сопряжен уже не просто с весомостью, а с постоянной перегрузкой, тем большей, чем больше число оборотов (или радиус орбиты).

Полезно для сравнения рассмотреть обратную задачу: облететь на космическом корабле вокруг Земли со скоростью, меньшей той, которую диктуют законы Кеплера. Это тоже возможно, но теперь реактивная струя должна быть направлена все время к Земле, создавая подъемную силу. Собственно говоря, именно так летит самолет: для того чтобы не сорваться с «круговой орбиты» (полета на постоянной высоте), самолет с помощью двигателя и крыльев создает подъемную силу, помогающую слабой центробежной силе инерции уравновесить силу тяготения. На самолете имеет место «весомость», лишь чуть-чуть уменьшенная за счет удаления от центра Земли и за счет силы инерции (если самолет летит на восток, попутно с вращением Земли). Груз, покинувший самолет, падает на Землю, да и сам самолет при отказе двигателей падает туда же. Правда, благодаря крыльям и наличию атмосферы траектория его падения отличается от кеплеровской.

Достижения космонавтики за последнее двадцатилетие кажутся нам огромными и потрясающими. Но это лишь первые космические шаги человечества, и мы радуемся им так, как радуется ребенок, сделавший свой первый шаг. Человечество еще не победило силу тяготения, оно только сумело приноровиться к ней. Мы еще не можем пренебречь этой силой. Наоборот, находясь на орбите, мы целиком отдаемся ее власти. Мы можем создать силу тяги, превосходящую силу тяготения, но лишь на короткое время; тяготение же действует непрерывно.

Пройдет некоторое время – и во власти космонавта будут новые, могучие, неиссякаемые источники энергии, которые позволят развивать большую мощность в течение длительного времени. Тогда пилот не будет беспокоиться о тщательной коррекции орбиты, о точном моменте включения двигателей и о точной ориентации реактивных струй, так же как грибник, прогуливающийся по лесу, не рассчитывает каждый свой шаг. Космический корабль сможет, если надо, остановиться на орбите и повернуть обратно, установить описанный выше рекорд скорости или, заметив встречный метеорит, развернуться, догнать его и взять с собой. Такому кораблю будут доступны «мертвая петля» и другие фигуры высшего пилотажа. На корабле будут совершаться туристические путешествия с облетом каждой из планет Солнечной системы в течение месячного отпуска. Стоимость путевки умеренная, оплачивается профсоюзом.

Оглавление

А.

Можно ли достичь Луны в ракете, удаляющейся от Земли со скоростью автомашины?

Б.

Из каждых десяти опрошенных двое-трое считают это невозможным. Для полета на Луну нужна вторая космическая скорость – и баста!

Космический век уже создал свои, космические, предрассудки. Надо от них освобождаться. Предыдущая задача показала, что законы небесной механики и законы космонавтики – не одно и то же. Попробуйте преодолеть гипноз космических скоростей: опишите полет к Луне с постоянной умеренной скоростью и ваши впечатления о нем. Вам поможет аналогия: чтобы перебросить камень через 10-метровое дерево, надо придать камню вертикальную скорость порядка 15 м/с; в то же время комар достигает его вершины, двигаясь со скоростью 0,1 м/с.

В.

Вы уже знаете, что совершить круговой полет вокруг Земли можно в принципе с любой скоростью – и больше, и меньше первой космической. Но при этом понадобится держать двигатели все время включенными. Первая космическая скорость нужна для кругового полета с выключенными двигателями.

Это же верно и для полета к Луне. С выключенными двигателями можно достичь Луны только при условии, что у Земли корабль приобрел вторую космическую скорость*. А полет с постоянно включенными двигателями позволяет добраться до Луны при любой скорости.

Теперь о впечатлениях. Ракета летит равномерно и прямолинейно. Следовательно, в ней нет ни перегрузок, ни невесомости. Состояние такое же, как если бы она была неподвижна в той же точке. Существует естественная весомость в соответствии с законом всемирного тяготения. По мере удаления от Земли сила тяготения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Именно так нужно регулировать и силу тяги двигателей: сумма сил тяготения и тяги должна равняться нулю, иначе полет перестанет быть равномерным и прямолинейным.

Когда до Луны останется одна десятая часть пути, сила тяги должна обратиться в нуль, так как в этой точке земная сила тяготения уравновешивается лунной и не нуждается в уравновешивании силой тяги. Ракета движется равномерно по инерции. Наступила невесомость. После этого лунное тяготение начинает преобладать над земным. Чтобы поддержать равномерность движения, разверните двигатель соплом к Луне и тормозите. Сила тяги должна быть равна силе тяготения Луны (за вычетом остатков земного тяготения). По мере сближения с Луной сила тяготения возрастает обратно пропорционально квадрату расстояния до Луны. И если так же растет и сила тяги (торможения) двигателей, то движение остается равномерным, а невесомость в корабле постепенно превращается в лунную весомость – около одной шестой от земной.

Стало традицией упрекать Жюля Верна за то, что при описании полета из пушки на Луну он допустил ошибку. Да, он упустил из виду, что в его снаряде невесомость будет на протяжении всего полета. Но зато если бы на место его снаряда поставить ракету из нашей задачи, то жюльверновское описание ощущений космонавтов оказалось бы идеально точным (если не считать непрерывной вибрации от двигателей).

Итак, полет к Луне можно осуществить с комфортом: без перегрузок и почти без невесомости. Такие условия может перенести любой нетренированный человек. Почему же современные корабли летают иначе: с сильной перегрузкой на активном участке полета и с полной невесомостью на орбите? Только из-за необходимости экономить топливо. Для непрерывной работы двигателя при равномерном движении к Луне топлива не хватит. В этом смысле вариант хуже, чем движение с малой постоянной скоростью, придумать нельзя. Впрочем, можно: пусть ракета зависнет неподвижно над Землей. Для поддержания ее в неподвижности потребуется непрерывная работа двигателя. При этом топливо может расходоваться сколь угодно долго, а продвижения вперед не будет.

Этот крайний абсурдный случай показывает, чтО надо делать. Нужно как можно быстрее придать ракете необходимую скорость, чтобы топливо сгорело как можно раньше и не было бы лишних затрат энергии на его подъем на высоту. Циолковский показал, что идеальным является мгновенное сгорание топлива и мгновенный разгон ракеты до нужной скорости. Лучше всего приближается к идеалу пушечный выстрел. «Из пушки на Луну» – довольно экономичный способ космического полета. Но это другая крайность, невозможная из-за недопустимо больших перегрузок космонавтов. Сейчас в космонавтике применяется компромиссный вариант, одинаково далекий от обеих крайностей: на активном участке полета космонавт подвергается большим перегрузкам, но в пределах допустимых, а затем наступает невесомость.

Впрочем, в полете к Луне с постоянной автомобильной скоростью имеется и одно существенное неудобство: при скорости 100 км/ч путешествие к Луне будет длиться 3800 часов, т.е. около 160 суток. И хотя движение к Луне с постоянной скоростью довольно комфортабельно, но эту скорость надо выбирать намного выше.

Прежде чем расстаться с задачей, надо сделать одну оговорку: мы не учитывали, что цель нашего путешествия – Луна – сама движется, причем довольно быстро – со скоростью порядка 1 км/с. Это больше скорости «Москвича», но это не значит, что на Луну нельзя попасть со скоростью автомашины. Орбитальная скорость Луны направлена под прямым углом к трассе нашего «авто» (с небольшими периодическими отступлениями от прямого угла в обе стороны из-за эллиптичности орбиты). И если ракета будет хорошо нацелена в точку встречи с Луной и будет строго выдерживать заданные скорость и направление, то она рано или поздно достигнет Луны при любой скорости удаления от Земли.

При обычном (обычном!) космическом полете (например, вроде того, с помощью которого на Луну доставлен наш вымпел) учет движения Луны необходим. И вы не должны из сноски № 16 делать вывод, что для достижения Луны достаточно прибыть в нейтральную точку между Землей и Луной без запаса скорости в надежде, что дальше Луна сама привлечет вас к себе. Ракета, неподвижная относительно Земли, двигалась бы там относительно Луны со скоростью около 1 км/с, а эта скорость на таком расстоянии от Луны является гиперболической (относительно Луны). Иными словами, Луна так быстро убежала бы от ракеты, что та не успела бы разогнаться к Луне ее полем тяготения и, совершив петлеобразное движение, вынуждена была бы вернуться восвояси к Земле. Для достижения Луны ракета должна зайти за нейтральную точку со скоростью 1 км/с, направленной попутно с Луной (и нейтральной точкой). Тогда ракета окажется в неподвижности относительно Луны и, находясь все время в ее поле тяготения, будет ею притянута.

* Точнее, несколько меньшую. Вторая космическая скорость нужна для параболической орбиты, по которой корабль может уйти от Земли бесконечно далеко. Для полета же к Луне достаточно эллиптической орбиты, апогей которой будет в сфере действия Луны, т.е. там, где тяготение Луны больше тяготения Земли. Массы Земли и Луны относятся как 81 : 1; поэтому точка, где силы тяготения Земли и Луны равны, делит прямую Земля – Луна в отношении √[81] : √[1] = 9 : 1.

Оглавление

А.

Большие стационарные искусственные спутники Земли с лабораториями, обсерваториями и жилыми помещениями будут монтироваться непосредственно на орбите из деталей и блоков, доставленных на орбиту порознь.

Представьте, что на круговой орбите один из монтажников, собирающих спутник, нечаянно уронил свой инструмент в космос. (Для любителей острых ощущений рекомендуем другой вариант: представьте, что это не инструмент, а вы сами, забыв прикрепиться к спутнику, нечаянно оттолкнулись от него.) Какова дальнейшая судьба инструмента (или любителя острых ощущений)?

Б.

– Если молоток бросить на Земле, то он полетит по параболе, потому что он участвует в двух движениях: равномерном и прямолинейном по инерции и в вертикальном равноускоренном падении под действием притяжения Земли. Молоток, брошенный со спутника, будет удаляться от него равномерно и прямолинейно, так как второй причины – притяжения со стороны спутника – практически нет.

Мы согласились бы с вами, если бы в космосе, кроме корабля и молотка, ничего больше не было. Но ведь есть еще Земля, Солнце и т.д.

– Влияние Земли и Солнца на взаимное расположение спутника и молотка можно не учитывать, потому что они одинаково влияют и на спутник, и на молоток, – возразите вы.

Мы и с этим согласились бы, если бы спутник и молоток все время находились в непосредственной близости друг к другу. Но ведь молоток, как вы сами утверждаете, удаляется от спутника равномерно и прямолинейно. Когда он отойдет от спутника на заметное расстояние, то Земля будет влиять на них не одинаково уже хотя бы потому, что направления сил тяготения, действующих на спутник и молоток, не параллельны, а пересекаются в центре Земли. Правильный ответ на вопрос можно получить из законов Кеплера.

В.

Допустим, монтажник бросил молоток назад по орбите. Тогда орбитальная скорость молотка станет меньше орбитальной скорости спутника. Следовательно, молоток не сможет удержаться на круговой орбите и пойдет к Земле по эллипсу, подобному эллипсу B на рис. 17. Первое время он будет отставать («равномерно и прямолинейно»). Прежде всего, видно, что молоток, совершив оборот вокруг Земли, вернется в ту точку A, в которой он отделился от спутника. Но продолжительность полета по эллипсу B короче, чем по окружности D, так как среднее расстояние молотка до Земли меньше, чем спутника. Поэтому молоток вернется в точку A раньше спутника, опередив его на время t.

В дальнейшем и спутник и молоток будут регулярно возвращаться в точку A, но в разное время. После двух оборотов молоток придет на время 2t раньше спутника, после трех – на время 3t. Если, например, период обращения спутника 10 000 секунд, а молотка – на t = 10 секунд меньше, то через 1000 оборотов спутника молоток опередит его на 1000 t = 10 000 секунд, т.е. ровно на один оборот, и, следовательно, они встретятся! Поскольку скорость молотка в точке A, являющейся для орбиты молотка апогеем, меньше скорости спутника, то спутник «догонит» молоток, т.е. молоток упадет на спутник со стороны, противоположной той, куда его бросали. Скорость столкновения будет равна той, с которой был брошен молоток.

Разумеется, на практике такая встреча маловероятна. Во-первых, может оказаться, что за один оборот спутника молоток совершит иррациональное число оборотов (например, √[1001]/√[1000] оборотов). Тогда молоток никогда больше не встретится со спутником, хотя иногда будет проходить рядом с ним весьма близко*. Во-вторых, в силу нестрогой шарообразности Земли и неравномерности распределения масс внутри земного шара плоскость орбиты спутника не сохраняет свое положение в пространстве неизменным: она медленно поворачивается. Плоскость орбиты молотка также будет поворачиваться, но в силу неодинаковости орбит повороты обеих плоскостей также будут неодинаковыми. Поэтому через некоторое время спутник и молоток будут вращаться вокруг Земли уже в разных плоскостях.

Можете представить, в какое трудное положение попадет космонавт, неосторожно оттолкнувшийся от спутника и не запасшийся ракетным двигателем. Ему придется совершить в одиночестве много оборотов вокруг Земли, пока он не приблизится к спутнику на расстояние, с которого товарищи на спутнике заметят его и сумеют принять спасательные меры. Впрочем, не все еще потеряно. Вынимайте из карманов, что есть, и с силой швыряйте от себя, тщательно обдумав, в каком направлении бросить, чтобы сила реакции вернула вас к кораблю. В первую очередь бросайте портсигар... У вас нет портсигара? А жаль, портсигар в космосе, как видите, крайне полезная вещь; и вообще это, кажется, единственное применение портсигара, приносящее пользу – поверьте курильщику. Но хватит ли портсигара? Если его масса равна 0,2 кг и вы бросили его со скоростью 20 м/с, то ваше количество движения изменилось на 4 кг·м/с. А если ваша масса 100 кг и вы удаляетесь от корабля со скоростью 1 м/с, то, чтобы вернуться к нему, вы должны бросить не менее 25 портсигаров.

Строго говоря, каждый новый портсигар будет придавать космонавту чуть-чуть бóльшую добавку скорости, так как по мере расходования портсигаров (служащих «топливом» в нашем реактивном двигателе) ускоряемая масса убывает. Правда, это верно только при условии, что космонавт не устал и придает каждому портсигару одну и ту же скорость.

Вернувшись на корабль, вы получите крупную нахлобучку за халатность в работе и засорение космоса: каждый брошенный вами предмет создает смертельную опасность для других кораблей.

* Это верно для «точечных» спутника и молотка. Обладая же конечными размерами, Они встретятся когда-нибудь и при иррациональном соотношении.

Оглавление

А.

В научно-фантастическом рассказе Артура Кларка «Сделайте глубокий вдох» события происходят на большом стационарном искусственном спутнике Земли. Обслуживающий персонал живет там многие месяцы, поэтому для удобства людей создана искусственная тяжесть за счет центробежных сил, вызванных медленным вращением спутника-колеса. По окружности колеса к спутнику прикреплены каюты, в которых сотрудники отдыхают.

И вот однажды двое отдыхающих проснулись от пронзительного свиста: воздух через микроскопическую пробоину уходил из каюты. Выглянув в иллюминатор, потерпевшие увидели, что каюта оторвалась, отброшена центробежной силой и продолжает удаляться от спутника.

– Прежде чем нас найдут и отбуксируют к станции, мы будем мертвы, – это мрачное высказывание одного из потерпевших имеет под собой солидное основание: двигатели у каюты не предусмотрены, пробоину заделать невозможно, радиосвязи нет.

Вам предлагается выпутаться из этого положения. Только без паники!

Б.

В рассказе все заканчивается благополучно: посланный за потерпевшими корабль находит их, догоняет и берет к себе на борт. Соль рассказа состоит в том, что спасатели с помощью сварочного аппарата прорезают в каюте люк, через который потерпевшие молниеносно прыгают в шлюз спасательного корабля, причем прыгают, как сами понимаете, через космический вакуум (что при отсутствий скафандров скорее фантастично, чем научно). Сами потерпевшие полностью пассивны вплоть до решительного прыжка, составляющего кульминацию рассказа.

Для вас этот путь, естественно, отрезан, поскольку вы должны быть оригинальны. Вы сами должны вернуть каюту к спутнику (в этом соль нашего рассказа).

У вас нет двигателя? Надо найти.

В.

В качестве двигателя надо использовать реакцию струи вырывающегося из пробоины воздуха. Следует только направить ее в сторону, противоположную спутнику (перемещаясь внутри каюты в одну сторону, космонавты смогут поворачивать ее в другую).

Предложение кажется фантастичным, поэтому придется подкрепить его расчетами. Пусть в каюте содержится 10 м³ воздуха при атмосферном давлении, масса каюты (вместе с космонавтами) M = 300 кг, температура 300 K. При этой температуре средняя скорость молекул воздуха составляет приблизительно 450 м/с (у азота чуть-чуть больше, у кислорода – меньше). Именно с этой средней скоростью молекулы вырываются из каюты через пробоину.

Поскольку при расширении газа в вакуум температура оставшегося газа не понижается (точнее, почти не понижается), то от начала до конца молекулы будут вылетать с постоянной средней скоростью. Правда, реактивная сила нашего двигателя со временем будет убывать, но по другой причине: постепенное понижение давления в каюте понижает не скорость вылетающих молекул, а их число. Нас это может не интересовать, так как общее количество движения вылетающих молекул (и, следовательно, изменение количества движения каюты) мы уже можем подсчитать.

Один кубометр воздуха при 300 K и нормальном атмосферном давлении имеет массу 1,2 кг. Масса 10 м³ воздуха m = 12 кг. Следовательно, реактивная сила вытекающей струи, если ее своевременно и полностью использовать, изменит скорость каюты на

V = mv / M = 12 450 / 300 = 18 м/с

(при строгом решении задачи в числителе должна стоять сумма произведений массы каждой молекулы на ее индивидуальную скорость с учетом того, что направления вылета молекул не совсем одинаковы).

Если каюта оторвалась со скоростью 5 м/с, то, выпустив 5/18 всего воздуха в противоположном движению направлении, потерпевшие остановят каюту (относительно спутника). Выпустив еще 5/18 атмосферы, они придадут ей обратную скорость 5 м/с (в принципе следовало бы еще учитывать, что из-за потери воздуха масса каюты убывает и на обратном пути она меньше, но мы этим пренебрегаем). Оставшийся воздух будет иметь давление 8/18 ≈ 0,45 атм, и еще можно будет с грехом пополам дышать. Сейчас бы самое время заткнуть пробоину. Но если это невозможно, то надо продолжать ориентировать струю от спутника, увеличивая свою скорость (и шансы на спасение) и уменьшая давление воздуха (и шансы на спасение).

Ну, а если каюта удаляется с большой скоростью? Кстати сказать, у Кларка скорость каюты 30 миль в час (около 15 м/с). Тогда дела наши хуже. Но бороться надо: ведь реактивная струя в этом случае может по крайней мере остановить каюту. Следовательно, каюта не уйдет слишком далеко и ее скорее найдут. Наше бездействие было бы неразумным еще и потому, что неконтролируемая струя, возможно, разгоняет каюту. Теперь, даже если помощь запоздает, мы погибнем с гордым сознанием, что сделали все, на что способен человек в данной ситуации (впрочем, возможно, мы еще что-нибудь и упустили).

Отметим, что из задачи следует и менее героический, но вполне практичный вывод: если вам предоставят на выбор несколько кают, то выбирайте ту, в которой больше воздуха и меньше массы. Авось пригодится!

На этом можно было бы и закончить. Но трудно удержаться, чтобы не обсудить некоторые романтические подробности, упущенные Артуром Кларком (который обычно редко их упускает).

Направление пробоины случайно. Может случиться так, что струя будет выходить почти по касательной к поверхности каюты. Тогда каюта придет во вращение, причем с ускорением! Да и удаляться от спутника она будет по замысловатой кривой.

Есть ли выход из этого нового затруднения? Теперь нужно не просто развернуть каюту в требуемом направлении, но сначала остановить ее вращение. Вот выход: надо сделать вторую пробоину! Причем так, чтобы создаваемый второй струей вращающий момент (произведение силы на плечо) был противоположен вращающему моменту от первой струи.

Рис. 18.

На рис. 18 показана цилиндрическая каюта и пробоина 1. Центр масс O находится в стороне от линии действия реактивной силы струи 1. Это и привело к вращению каюты (против часовой стрелки). Новая струя 2 должна проходить по другую сторону центра масс. Тогда она сможет раскручивать каюту в обратном направлении (струя 3 только помогала бы струе 1).

Если у пробоин 1 и 2 по абсолютной величине вращающие моменты одинаковы, то они скомпенсируются, и вращение... нет, не прекратится, а только перестанет ускоряться. Для остановки вращения момент струи 2 должен быть больше момента струи 1. Тогда вращение начнет замедляться. Но если вы вовремя не уменьшите вращающий момент струи 2, то каюта, остановившись, начнет раскручиваться в противоположную сторону. Следовательно, в момент остановки необходимо или срочно пробить отверстие 3 нужных размеров, или, что разумнее, уменьшить отверстие 2. Вывод: пробоину 2 нужно делать так, чтобы она была доступна регулировке.

Добившись остановки вращения, разверните каюту (перемещаясь внутри нее или тонко регулируя отверстие 2) так, чтобы струи были направлены от спутника, к которому вы намереваетесь приблизиться.

Заметим, что остановить раскрутку каюты можно было бы и с помощью струи 4. Но струи 1 и 4 направлены встречно, они компенсировали бы друг другу не только раскрутку, но и поступательное движение, поэтому они не годились бы для главного – возврата каюты к спутнику. Струи 1 и 2 направлены попутно, и поэтому они наилучшим образом пригодны для поступательного разгона каюты.

Фу-у! Наконец-то мы сделали все, что могли. Теперь можно вытереть пот со лба и ждать, чем все это кончится. Впрочем, вытирая лоб, вы перемещаете руку, а вместе с нею и центр масс вашего «корабля», отчего вращающие Моменты двух струй перестанут компенсироваться и каюта начнет вращаться.

Разумеется, делать новые пробоины очень рискованно. Неосторожный удар – и пробоина может оказаться намного больше, чем требуется. Воздух улетучится слишком быстро, и наступит смерть. Компенсировать вращение лучше все-таки с помощью перемещения космонавтов внутри каюты. При этом расход воздуха будет минимальным (единственная пробоина), возможность дышать будет более продолжительной и шансы дождаться спасения – выше. Однако от космонавтов потребуется необычная ловкость: бег по кругу с ускорением* в условиях невесомости при сохранении общего центра масс в определенном месте.

Правда, от бега можно избавиться, если есть возможность сместить центр масс в точку выше прямой 1–4 (в точку O', например). При этом струя 1 начнет раскручивать корабль в обратную сторону (по часовой стрелке), т.е. затормаживать вращение, приобретенное в то время, когда центр масс находился в точке O. Когда вращение затормозится полностью, центр масс надо перенести на прямую 1–4. Такая возможность управления «кораблем» тем вероятнее, чем ближе прямая 1–4 проходит к геометрическому центру корабля.

И последнее: постарайтесь не удариться о спутник, если каюта к нему вернется.

* Дополнительным преимуществом бега является то, что вы согреетесь и согреете воздух, отчего скорость вылета его молекул станет выше и ваш «двигатель» – мощнее. Эта шутка имеет и серьезный аспект: если у вас найдется электроподогреватель, поставьте его поближе к отверстию.

Оглавление

А.

Космонавт вышел из корабля в космос и с помощью индивидуального ракетного двигателя совершает прогулку по окрестностям. Возвращаясь, он несколько передержал двигатель включенным, подошел к кораблю с избытком скорости и стукнулся о него коленом. Будет ли ему больно?

Б.

– Не будет: ведь в невесомости космонавт легче перышка, – такой можно услышать ответ.

Ответ неправилен. Когда вы на Земле падали с забора, вы тоже были в состоянии невесомости. Ио при ударе о земную поверхность вы ощутили заметную перегрузку, тем бóльшую, чем тверже то место, на которое вы упали, и чем больше была ваша скорость в момент контакта с землей.

В.

Невесомость и весомость не имеют отношения к удару. Здесь важны масса и скорость, а не вес.

Будем считать удар о землю неупругим (при упругом ударе тело отскакивает, как мячик). При неупругом ударе вся ваша кинетическая энергия относительного движения обращается в нуль. Она расходуется частично на нагрев ударившихся тел, частично на их деформацию – на перелом ноги, например. Но в формулу кинетической энергии входят только масса и относительная скорость и совсем не входит сила тяжести. Правда, при падении с забора причиной вашей скорости было ускорение свободного падения. Но скорость есть скорость, независимо от причины, ее породившей. Поэтому не имеет значения, что при падении на корабль скорость определялась не ускорением свободного падения, а ускорением тяги ракетного двигателя. Ведь и на Земле вы могли удариться и при падении с высоты, и при быстром беге, – с одинаковыми последствиями. На этом примере особенно наглядно видна принципиальная разница между массой и весом тела. Космонавт ничего не весит, но масса его остается такой же, как и раньше.

И все-таки космонавту при ударе о корабль будет не так больно, как вам при ударе о землю (при прочих равных условиях: одинаковых массах, относительных скоростях и одинаковой твердости препятствий). Масса корабля намного меньше массы Земли. Поэтому при ударе о корабль заметная часть кинетической энергий космонавта будет превращена в кинетическую энергию корабля, а на долю деформаций останется меньше. Корабль приобретет дополнительную скорость, а болевое ощущение космонавта будет не таким* сильным большим.

Правда, поскольку масса корабля в десятки раз превосходит массу космонавта, то это уменьшение болевого ощущения представляет только академический интерес. И в невесомости можно набить шишку на лбу! А то, что лоб защищен скафандром, не дает вам права на беспечность: трещина в гермошлеме может привести даже к худшим последствиям, чем трещина в черепе.

* Для полноты решения следовало бы учесть, что при падении с забора сила тяготения действует не только во время падения (увеличивая скорость), но и во время удара (увеличивая перегрузку на 1g). Но эта поправка невелика. Падая с высоты h = 2 м и тормозясь на пути Δ = 2 см (сравнительно мягкий грунт), человек должен испытать во время торможения стократную перегрузку. Добавление к 100g величины 1g практически ничего не меняет, Правда, эти расчеты верны только для «абсолютно твердого» человека.

Оглавление

А.

Можно ли запустить искусственный спутник Земли без ракеты, так сказать, вручную, за счет своей мускульной силы?

Б.

Надо подняться на башню, описанную в задаче «Автор изобрел вечный двигатель». Подняться можно (в принципе) за счет мускульной силы, правда, при условии, что на каждом километре высоты имеется столовая, а через каждые три – пять километров – гостиница. Ну и, разумеется, при условии, что уже есть сама башня. Поскольку при строительстве башни можно обойтись без ракет, то использование башни не противоречит условиям задачи.

Рис. 19.

На какую же высоту надо подняться? Если вы считаете, что нужно подняться на высоту H = 35 800 км, то вы правы лишь отчасти. Отпустив на этой высоте (точка Д башни Б, в плоскости рис. 19 – экваториальное сечение Земли) какой-нибудь груз, вы превратите его в спутник с круговой орбитой и 24-часовым периодом обращения Радиус такой орбиты равен H + R₀ ≈ 35 800 + 6 380 = 42 180 км, где R₀ – радиус Земли. При этом спутник все время будет висеть рядом с вами (если вы, отпуская его, не придали ему руками дополнительной скорости). Но от вас не требовалось создания такого высокого спутника. С какой минимальной высоты можно запустить спутник вручную?

В.

С меньшей высоты спутник с круговой орбитой вручную запустить нельзя (мы пренебрегаем той добавочной скоростью, которую ваши руки могут придать спутнику). Но можно придать ему эллиптическую орбиту. Поскольку линейной скорости башни (вращающейся вместе с Землей) на меньших высотах (точка А) недостаточно для круговой орбиты, то отпущенный предмет будет падать на Землю. Но упадет ли? Ведь башня придает ему горизонтальную составляющую скорости.

Как ясно из предыдущих задач, точка отпускания спутника будет апогеем А его орбиты. Высота отпускания должна быть такой, чтобы перигей Π орбиты оказался не внутри земного шара. Зададимся допустимым расстоянием перигея от центра Земли порядка (R_П)_доп = 7000 км (с запасом на толщину атмосферы и на погрешности расчетов на логарифмической линейке). Теперь остается вычислить апогейное расстояние R_А.

Для расчета можете использовать данные предыдущих задач, а недостающие сведений взять, например, в журнале «Квант» (№ 11 за 1974 г. и № 2 за 1975 г.). Здесь мы, чтобы не повторяться, применим несколько иной метод путь. Этот метод путь не проще и не точнее других и, кроме того, требует от вас некоторых дополнительных знаний, но он менее стандартен, а знать нестандартные методы пути намного полезнее, чем еще раз воспользоваться стандартным. Воспользуемся тем, что эллипс обладает симметрией относительно своих большой и малой осей. В силу симметрии кривизна эллипса в апогее и перигее должна быть одинакова. Требуемый радиус кривизны R_к в перигее нам задан перигейным расстоянием (R_П)_доп = 7000 км, (но не равен ему, а зависит также и от R_А). Мы будем задаваться величиной R_А и вычислять соответствующие ей R_к и R_П. Если при этом окажется, что R_П ≥ (R_П)_доп, то задача будет решена.

Кругом кривизны в точке A кривой называется предельное положение круга, окружность которого проходит через A и две другие бесконечно близкие точки кривой Н и М, когда Н → А и Μ → А (рис. 19). Радиус кривизны кривой в точке А есть радиус R_к круга кривизны. Центр кривизны для точки А есть центр этого круга О₂, он лежит на нормали к кривой в точке А. В силу симметрии эллипса радиусы кривизны для апогея А и перигея П одинаковы. Из свойств эллипса известно, что для точек А и П

где a и b – большая и малая полуоси эллипса, p – его фокальный параметр (половина хорды ВГ, проведенной через фокус F₁ перпендикулярно к большой оси, см. рис. 19). Эксцентриситет эллипса

и, с другой стороны,

Возводя формулу (2) в квадрат, подставляя в нее (1) и (3), получаем

ε2 = (a² – b²) / a² = 1 – (b²/a²) = 1 – (p/a) =

1 – (R_к/a) = 1 – 2R_к / (R_А + R_П) = ([R_А – R_П] / [R_А + R_П])²,

откуда

Задаваясь определенным R_А и вычисляя для него R_к (некоторым независимым образом), мы из формулы (4) можем вычислить R_П:

Зададимся R_А = 30 000 км и рассмотрим поведение предмета, отпущенного в точке А. Ускорение свободного падения g обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли (здесь R₀ – радиус Земли, g₀ – ускорение свободного падения на ее поверхности):

Начальная горизонтальная скорость отпущенного предмета равна скорости точки А башни (здесь Ω – угловая скорость вращения Земли и башни, стоящей на экваторе):

Рис. 12.

А теперь главное. Ищем радиус кривизны в точке A. В момент t₀ = 0 отпускаем предмет из рук. Если бы не было тяготения, то он полетел бы равномерно и прямолинейно по касательной к окружности, которую описывает точка А вращающейся башни (рис. 20). В течение t = 1 с он пролетел бы

Наличие земного тяготения заставит предмет опуститься по направлению к центру Земли на

в результате чего он окажется в точке Н (рис. 20).

Сделаем важную оговорку. На рис. 20 отрезок ΔR отложен по направлению к О₂, т.е. к центру кривизны, а не к центру Земли F₁. Это неправильно, но погрешность ничтожна. Углы на рис. 20 сильно преувеличены: если за сутки башня совершает один оборот, то за час она поворачивается на 15°, за минуту – на 15', за секунду – на 15''. Углы α и β ненамного больше. Поскольку искомое перигейное расстояние порядка 7000 км, то β будет порядка 1', и разницей в направлениях на F₁, на О₂ и на F₂ можно пренебречь.

Итак, мы имеем две точки А и Н, лежащие на окружности кривизны, радиус R_к которой мы ищем. Для построения окружности нужна третья точка. Ее можно получить либо как положение Q предмета через t = 2 с, либо как точку М, положение которой нам уже известно из соображений симметрии. В первом случае мы найдем кривизну для средней точки Н, во втором – для искомой А, однако при столь малых t это практически одно и то же. По определению круга кривизны точки Н и М должны быть бесконечно близкими к А. Чтобы обойтись без дифференциального исчисления, мы берем точки не бесконечно близкие, а очень близкие к А. То, что вытекающая отсюда погрешность ничтожна, легко проверить: вычислив R_к при t = 1 с, можно повторить вычисления для t = 100 с; при этом погрешность от конечности t все еще не превосходит погрешности логарифмической линейки. Это позволяет считать нижеследующие расчеты R_к приемлемыми по точности. Из прямоугольного треугольника EАО₂ следует, что

(R_к + ΔR)² = R_к² + R_t².

Раскрывая скобки и пренебрегая слагаемым ΔR² << 2R_кΔR, имеем

и, согласно (5),

R_П = R_АR_к / (2R_А – R_к) = 30·10,6·10¹² / ([2·30 – 10,6]·10⁶) = 6,45·10⁶ м.

Это лишь на 80 км больше радиуса Земли, и, следовательно, предмет, отпущенный с точки А при R_А = 30 000 км, пойдет по эллипсу, огибающему Землю на высоте h = 80 км, т.е. сгорит в плотных слоях атмосферы и спутником не станет. Итак, мы немножко не угадали правильное R_А.

В качестве второй попытки выбираем несколько большее R_А = 30 500 км. Теперь, согласно формулам (6...10), имеем

g = 0,429 м/с², v_А = 2210 м/с, R_t = 2210 м, ΔR = 0,215 м, R_к = 11,3·10⁶ м

и, следовательно,

R_П ≈ 7000 км = (R_П)_доп.

Задача решена. Наименьшее R_А ≈ 30 500 км, что соответствует высоте над поверхностью Земли

Н_А = R_А – R₀ ≈ 30 500 – 6370 = 24 130 км.

Сверим наше решение с традиционным, которое опирается на закон сохранения энергии. Для спутника, не растрачивающего энергию на трение и др., этот закон записывается как постоянство суммы кинетической и потенциальной энергий:

где m и M – массы спутника и Земли, γ – универсальная гравитационная постоянная, γM = 3,97·10¹⁴ м³/с². Из второго закона Кеплера следует, что

С учетом этого формула (11) дает v²_А(R_А + R_П) = 2γM R_П / R_А, или

R_П = R_А² / (2γM/v²_А – R_А) ≈ 30,52·10¹²/(2·3,97·10¹⁴/[2210]² – 30,5·10⁶) ≈ 7000 км.

Таким образом, энергетический метод и метод, основанный на радиусе кривизны, эквивалентны.

Итак, поднявшись на высоту 24 130 км (8 000 001-й этаж), можно смело бросаться вниз головой (в скафандре). Через 7 часов (3-й закон Кеплера) вы пронесетесь над Землей на высоте 630 км и затем снова вознесетесь туда, откуда вы нырнули в космос. И через 14 часов вы легко и непринужденно, с относительной скоростью, равной нулю, вернулись бы на все тот же этаж башни, если бы башня оставалась на месте. Но ее там уже нет и встретитесь вы с нею на месте старта только через 7 суток (в конце 12-го витка), если Луна за это время не повернет вашу орбиту так, что вы проскочите мимо башни.

Впрочем, нет! Вы встретитесь с ней намного раньше. За 35 ч вы совершите 2,5 оборота, а башня – чуть-чуть меньше 1,5 оборота. Следовательно, незадолго перед этим, примерно через 34 ч после старта, число оборотов ваше и башни будет различаться ровно на один оборот. Это значит, что вы встретитесь с ней недалеко от перигея (в точке P на башне CP, показанной на рис. 19 пунктиром). Скорость башни в точке P в R_А/R_П раз меньше, чем в А, т.е. порядка 500 м/с. Ваша скорость – в то же число раз больше, чем в А, т.е. около 9500 м/с. Поэтому ваша встреча с башней не будет легкой и непринужденной. Вам следует позаботиться о своем спасении несколько раньше. Пожалуй, до того, как вы прыгнете с башни**.

И вообще эта башня – дьявольское изобретение. Вращаясь в экваториальной плоскости, она будет сшибать все, что встретится на ее пути. А поскольку орбита любого спутника пересекает экваториальную плоскость, то рано или поздно все спутники, высота орбиты которых меньше высоты башни, будут ею сбиты. У подножья башни будут лежать обломки почти всей космонавтики.

Итак, по-видимому, прежде чем строить башню, надо сделать выбор: космонавтика или башня. Выбор произошел уже сам собой: техника созрела для космонавтики гораздо раньше, чем она созреет для башни.

* Поскольку, однако, башня продолжает вращаться, то от башни предмет не удалился бы, а только приподнялся бы на 8 см (настолько точка, движущаяся по касательной, отодвинется за секунду от окружности, с которой она сорвалась).

** А хорошо бы, прыгая с R_А = 30 000 км и входя в плотные слои атмосферы, применить крылья, с помощью которых можно постепенно гасить свою космическую скорость (то погружаясь в атмосферу и нагреваясь, то рикошетируя от нее в вакуум и остывая), а затем на парашюте мягко приземлиться! То-то нам позавидовали бы прыгуны в воду, прыгуны с трамплина, прыгуны на батуте, прыгуны с парашютом и прыгуньи через веревочку!

Оглавление

А.

Спутник выведен на круговую полярную орбиту, т.е. такую, в плоскости которой находятся оба географических полюса. Как выглядит проекция его орбиты на поверхность земного шара?

Б.

Рис. 21.

Многие утверждают, что проекция орбиты спутника совпадает с тем меридианом, вдоль которого он движется. Но тогда второй виток, как продолжение первого, должен проходить по тому же меридиану.

Другие, учитывая, что плоскость орбиты спутника должна быть неподвижной в пространстве, а Земля вращается вокруг своей оси, проходящей через полюсы, считают, что спутник пересекает все меридианы под некоторым углом. Но тогда возникают парадоксы: как можно уйти с полюса под углом к меридианам, если все направления с полюса – меридианы? И как спутник попадет с Северного полюса на Южный?

Встречается и такой контрвопрос: а обязательно ли спутнику, проходящему над Северным полюсом, попадать еще и на Южный? Обязательно! По первому закону Кеплера плоскость орбиты спутника содержит центр Земли. Если к тому же эта плоскость содержит в себе и один из полюсов, то она содержит и весь отрезок полюс – центр, на продолжении которого находится второй полюс.

Чтобы задача стала нагляднее, представьте, что Земля строго шарообразна (с радиусом r₀) и оклеена белой бумагой (как глобус), а спутник летит на высоте, равной нулю, и вертикально вниз с него направлен карандаш, который чертит на бумаге его след. И пусть при этом трение карандаша о бумагу никак не сказывается ни на ориентации карандаша, ни на скорости спутника.

В.

Начнем с момента пролета спутника над Северным полюсом. Спутник C движется вдоль некоторого меридиана М₀ (рис. 21) со скоростью v_c ≈ 8 км/с, а Земля под ним поворачивается с угловой скоростью

Спустя время t спутник С оказывается на некоторой широте θ, продвинувшись от полюса на угол γ = π/2 – θ. Радиус малого круга параллели θ равен

За счет вращения Земли меридиан М₀ отойдет от спутника С на восток (для земного наблюдателя, стоящего на М₀, спутник отойдет на запад) на величину дуги малого круга

где Ω_Зt – длина этой дуги в радианах. Угол γ есть отношение дуги L к ее радиусу:

Таким образом, окончательно, согласно (3) и (4),

На рис. 21 жирной линией ориентировочно показана кривая, которую прочертит полярный спутник на поверхности вращающегося земного шара за время первого полувитка (в горизонтальном направлении масштаб кривой преувеличен примерно вдвое). Спутник начинает свое движение от полюса строго по меридиану, но тут же, за счет вращения Земли, начинает и отклоняться, сначала еле заметно (мала линейная скорость уходящего от спутника меридиана), затем все быстрее. Наибольшая скорость расхождения спутника и меридиана (линейная скорость поверхности Земли v_З) – на экваторе:

Угол α, под которым траектория спутника пересекает экватор, можно найти из прямоугольника скоростей (см. рис. 21): tg α = vc/v_З, что для спутника на нулевой высоте дает

Откуда α ≈ 86°45'. После экватора v_З вновь убывает, и траектория спутника вблизи Южного полюса идет почти точно по меридиану М₁, отличному от начального М₀ на угол поворота Земли за время, соответствующее полувитку спутника:

В малой окрестности полюса, где sin γ ≈ γ, формула (5) дает

т.е. начальная часть траектории является параболой, касающейся меридиана (при условии, что соответствующий участок шаровой поверхности удалось бы распрямить на плоскости без разрывов).

В случае полета на высоте H > 0 нужно рассматривать поведение на поверхности Земли не спутника, а подспутниковой точки (точки, для которой спутник находится в зените). Чем больше H, тем меньше орбитальная скорость спутника. Угловая же скорость (относительно центра Земли) подспутниковой точки

Рис. 22.

убывает еще быстрее, так как в формуле (10) не только убывает числитель, но еще и растет знаменатель.

Любопытно поведение кругового спутника с радиусом орбиты r = 42180 км. За сутки (звездные) он совершает ровно один оборот. Если он движется по экваториальной орбите попутно с Землей (на восток), то земному наблюдателю кажется висящим неподвижно над некоторой точкой экватора, так как Ω_с = Ω_З. Если же его вывести на полярную орбиту, то, начиная свое движение, например, от полюса по нулевому меридиану, за четверть оборота он достигает экватора и пересекает его на 90° западнее под углом

α = arctg (Ω_с/Ω_З) = arctg 1 = 45°.

К Южному полюсу он подходит по 180-му меридиану (рис. 22, б), после чего уходит от полюса вновь по нулевому меридиану (являющемуся продолжением 180-го). Продолжая отклоняться от него по-прежнему к западу, спутник пересекает экватор в той же точке: от экватора до экватора спутник совершил пол-оборота в полярной плоскости, а Земля за это время – тоже пол-оборота в экваториальной и подставила под спутник ту же самую точку. В результате на Земле подспутниковая точка за один оборот описывает «восьмерку», пересекая на экваторе свою собственную траекторию под углом 90°. На рис. 22, а показан вид этой траектории сбоку; сплошной линией показано движение подспутниковой точки на ближней к нам стороне земного шара, пунктирной – на обратной (пунктир должен совпадать со сплошной линией; подробнее с поведением подспутниковой точки для спутников разной высоты и наклонения можно познакомиться по книге: Штернфельд А. Искусственный спутник, 2-е изд. – М.: Гостехиздат, 1958).

Оглавление

А.

На круговые полярные (но разные) орбиты в независимые друг от друга моменты времени выведено N = 1000 спутников-кораблей с экипажами. В некоторый случайный момент на все корабли поступает приказ Земли: «Немедленное приземление!» Где больше приземлится кораблей – в Антарктиде или в Африке?

Даем некоторые пояснения. Причиной приказа может быть, например, информация Службы Солнца: на нем обнаружена сильная вспышка, которая через несколько минут или часов (заряженные частицы от Солнца летят несколько медленнее света) создаст большую радиационную опасность для экипажей. Поэтому будем предполагать, что на выбор места посадки нет времени, команда исполняется немедленно. Второе: при оптимальном торможении двигатели разворачиваются соплами точно вперед по направлению полета, поэтому их работа не придает приземляющемуся объекту боковой скорости, и траектория приземления лежит в плоскости орбиты.

Для наглядности обе эти оговорки можно было бы заменить одной, простейшей, но не совсем реальной: корабли приземляются в той точке, над которой их застиг приказ.

Б.

Подавляющее большинство решающих рассуждает так. Спутники запущены в случайные, не связанные между собой моменты, команда на приземление застигает их в случайном положении, поэтому все точки приземления равновероятны. Площадь Африки S_Аф = 29·10⁶ км², Антарктиды – S_Ан = 14·10⁶ км², поэтому в Африке приземлится кораблей больше в

Решение ошибочно. За один оборот каждый полярный спутник пролетает и над полюсом, и над экватором. Но полюс – точка, а экватор – линия, состоящая из бесконечного множества точек. Одинаково ли часто какой-нибудь конкретный спутник пролетает над Килиманджаро и Южным полюсом?

В.

Для спутника с полярной круговой орбитой равновероятны не все точки Земли, а все широты. В самом деле, двигаясь равномерно, спутник одинаковое время находится между параллелями 0...1° и 89...90°. Значит, при внезапном приземлении в приэкваториальное «кольцо» 0...1° длиной 40 000 км и шириной 111 км приземлится столько же кораблей, сколько в приполярное «кольцо» 89...90° (внутренний радиус этого кольца бесконечно мал) такой же ширины, 111 км. (Мы считаем Землю строго шарообразной, поэтому приполярный градус широты в километрах равноценен приэкваториальному.)

В приполярном кольце с площадью S_пол плотность кораблей будет в

больше, чем в приэкваториальном с площадью S_экв (r₀ – радиус Земли). Заметим, что если бы мы взяли возле экватора и полюса кольца в 10 раз более узкие, то числитель формулы (2) уменьшился бы в 10 раз, а знаменатель – в 100, отчего дробь возросла бы в 10 раз. Уменьшая и далее, мы обнаруживаем, что для бесконечно узких колец вероятность приземления в некоторую точку у полюса, хотя сама по себе и бесконечно мала, но, тем не менее, в бесконечность раз больше, чем в некоторую конкретную точку у экватора*.

Дадим несколько иное объяснение этого, неожиданного для многих, эффекта. Остановим суточное вращение земного шара. Теперь каждый полярный спутник движется строго по своему меридиану (см. предыдущую задачу), поэтому густота приземлившихся спутников для любой местности пропорциональна густоте сетки меридианов. А густота возрастает к полюсам (посмотрите на глобус). Нетрудно видеть, что оговорку о мгновенности приземления, данную в условии, можно снять. Во время приземления спутник пролетает вперед несколько тысяч километров, но с меридиана не сворачивает. Пусть все спутники однотипны (их траектории приземления идентичны). Тогда немгновенность их приземления эквивалентна мгновенности плюс одинаковый для всех сдвиг команды во времени, который не имеет никакого значения (команда поступает в случайный момент). Если же приземляются спутники нескольких типов, то полученное выше распределение плотности справедливо для каждого типа в отдельности, поэтому и суммарное распределение будет иметь тот же характер.

Снимем оговорку о неподвижности Земли. Суточное вращение. Земли не влияет на текущую широту спутников и поэтому не меняет и плотности приземления. Смещение же с одного меридиана на другой не имеет значения, так как от номера меридиана (долготы) плотность не зависит.

Теперь исходная задача об Африке и Антарктиде становится ясной и уже, казалось бы, малоинтересной. Однако при решении ее всплывают некоторые детали, заслуживающие внимания.

Если бы Африка и Антарктида имели форму колец, то решение можно было бы получить по аналогии с формулой (2). На самом деле решение значительно сложнее, в основном за счет неправильных контуров континентов. Мы дадим приближенное решение.

Вычисление для Африки можно провести путем разбиения ее параллелями на узкие «ленты», вычисляя число приземлений внутри каждой из них. Плотность приземления в разных лентах различна, но внутри любой из них приблизительно постоянна. Чем уже ленты, тем точнее результат. Полный результат для Африки есть сумма приземлений во всех лентах.

Рис. 23.

Однако мы поступим иначе. Из любви к искусству попробуем подогнать фигуру Африки под удобную для вычислений, не нарушая, конечно, распределения кораблей по площади. Плотность точек приземления симметрична относительно экватора. Воспользуемся этим. Отобразим в плоскости экватора, как в зеркале, Западную Африку А (левее нулевого меридиана, заштрихована на рис. 23). Получим ее зеркальное изображение Б. Ни площадь Б, ни распределение плотности по ней неотличимы от А. Следовательно, «усеченная» Африка плюс «остров» Б эквивалентны первоначальной Африке.

Поскольку все меридианы (в отличие от параллелей) в отношении плотности приземления равноправны, то мы можем передвинуть «остров» Б на новые меридианы без нарушения условий задачи, если только широты точек «острова» при этом не изменятся. Можно придвинуть «остров» Б к Африке либо зеркально отразить его относительно меридиана 0°. Полученный при этом «полуостров» В почти точно дополняет «усеченную» Африку до «бочонка» ДЕЖЗ. Правда, остается Гвинейский залив и полуостров Сомали. Их широты слегка различны, но поскольку оба они находятся в непосредственной близости к экватору, где плотность с широтой меняется крайне медленно, то мы, в нарушение строгости, закроем залив полуостровом.

Опираясь на географический атлас, примем угловую полувысоту «бочонка» равной 35°. Найдем теперь угловую ширину «бочонка» φ, исходя из его равновеликости Африке. Вся поверхность земного шара равна

S_ш = 4πr₀² = (2πr₀)²/π = (40·10³)²/3,14 = 510·10⁶ км².

Часть поверхности шара от Северного полюса до 35-й параллели

S₁ = 2πr₀h = 2πr₀ (r₀ – r₀ sin θ) = 40·10³·6380 (1 – 0,573) = 119·10⁶ км².

Часть поверхности шара между двумя 35-ми параллелями

S₂ = S_ш – 2S₁ = (510 – 2·119)·10⁶ = 272·10⁶ км².

Африка составляет от нее долю

S_Аф/S₂ = 29/272 = φ/360° = 38,2°/360° = 0,106.

Итак, ширина «бочонка» в градусах φ = 38,2°. На пояс S₂ приходится

n₂ = N·2θ/360° = 1000·70/180 = 390 кораблей,

на Африку –

n_Аф = n₂φ/360° = n₂S_Аф/S₂ = 390·0,106 ≈ 42 корабля.

Рис. 24.

На рис. 24 показаны контуры Антарктиды (масштаб крупнее, чем у Африки). Пунктиром показан контур «круга», по площади равновеликого Антарктиде, он охватывается 70,7°-й параллелью. Доля кораблей, приземлившихся внутрь этого круга, равна доле широт, попавших внутрь круга:

n_Ан/N = (90° – 70,7°)/180° = 0,107.

Число приземлившихся кораблей

n_Ан = 0,107·N = 107.

Для круга это число правильное, для Антарктиды – завышенное, так как на море, попавшее внутрь круга, сядет больше кораблей (Δn₁), чем на равновеликую ему сушу (Δn₂), находящуюся вне круга: вне круга плотность меньше, чем внутри. Уточнить решение можно, вычислив Δn₁ и Δn₂ с помощью подходящих аппроксимаций (кольцевыми «лентами») и вычитая разницу Δn₁ – Δn₂ из числа n_Ан. Мы заниматься уточнением не будем.

Средняя плотность кораблей, приземлившихся в Африке и Антарктиде.

P_Аф = n_Аф/S_Аф; P_Ан = n_Ан/S_Ан,

а их отношение

P_Ан/P_Аф = (n_Ан/n_Аф)·(S_Аф/S_Ан) = (107/42)·(29/14) = 5,3.

Для других, неполярных, спутников ситуация срочного приземления не менее любопытна. Так, экваториальные спутники приземляются только на экваторе и нигде больше (разве что с небольшим разбросом за счет неточности ориентации тормозных двигателей). В случае спутников, плоскость орбиты которых составляет угол θ₀ с экваториальной плоскостью, максимум плотности приходится на широты ±θ₀, к экватору же плотность P(θ) симметрично убывает (рис. 25, б). При |θ| > |θ₀| плотность равна нулю, так как в эти широты спутники не залетают.

Рис. 25.

Поведение плотности P(θ) поясняется рис. 25, а, где широты и долготы составляют декартову систему координат. Траектория подспутниковой точки изображается кривой, напоминающей синусоиду (но из-за сферичности Земли не совпадает с ней; вычислить ее можно методами сферической тригонометрии). Вблизи экватора время пролета спутником кольца шириной 10° равно τ₁, вблизи широты θ₀ оно значительно больше (τ₂ >> τ₁), так как крутизна кривой там наименьшая. Этим определяется вероятность пребывания спутника в соответствующих широтах и плотность точек приземления (рис. 25, б) при срочной посадке. На рис. 25 показан случай θ₀ = 50°.

Аналогично описывается время (и вероятность) пребывания качающегося маятника на различных расстояниях от вертикали. То же можно сказать о распределении мгновенных значений синусоидального напряжения.

Из этой задачи следует, что вероятность столкновения на орбите для полярных спутников наибольшая над полюсами (если других, неполярных, спутников нет), для спутников с наклонением орбиты θ₀ – над широтами ±θ₀. В последнем случае, при строго идентичных орбитах, скорость «столкновения» над широтами ±θ₀ равна нулю.

* Отметим один парадокс. Над Южным полюсом спутник проходит один раз за оборот, над экватором – два! Следовательно, вероятности для них различаются вдвое? Парадокса нет, пока мы рассматриваем вместо полюса (точки) сколь угодно близкую к нему параллель (линию), которую, как и экватор, спутник пересекает дважды. Парадокс возникает только тогда, когда мы линию пытаемся заменить неравноценным ей геометрическим объектом – точкой. Более глубокое обсуждение этого парадокса выходит за рамки данной книги. Можем лишь посоветовать обратиться к парадоксам теории множеств, Там ваше удивление возрастет еще больше.

Оглавление

А.

Уже сейчас можно послать корабль к звездам. Но почему-то везде пишут, что для полета к звездам нужны корабли с околосветовой скоростью. Таких кораблей нет. Когда их удастся разработать – неизвестно. Может быть, через 1000 лет. Стоит ли так долго ждать? Давайте пошлем к звездам уже сейчас то, что можем! Например, к Проксиме («Ближайшей») Центавра пошлем корабль, покидающий Солнечную систему со скоростью v₁ = 30 км/с. Есть возражения?

Б.

Рассчитайте, когда корабль достигнет Проксимы Центавра, расстояние до которой 4,2 св. года. А затем представьте, что через 50 лет можно будет послать корабль со скоростью ν₂ = 100 км/с. Когда он достигнет той же звезды?

В.

Корабль движется медленнее света в c/v₁ = 300 000/30 = 10 000 раз, следовательно, расстояние до цели он преодолеет за t₁ = 4,2c/v₁ = 42 000 лет. Если же подождать t_v = 50 лет (?), когда будет достигнута v₂ = 100 км/с, то t₂ = 4,2c/v₂ = 12 600 лет, а от сегодняшнего дня

t_v + t₂ = 50 + 12 600 = 12 650 лет,

т.е. корабль, посланный на 50 лет позже, достигнет цели на 29 350 лет раньше.

Если же дожидаться v₃ ≈ 0,9∙c нужно t_v = 1000 лет, то

t_v + t₃ = t_v + 4,2c/v₃ = 1000 + 4,2/0,9 = 1004,7 года.

Здесь второе слагаемое уже существенно меньше первого. Значит, минимум величины t_v + t_n можно было бы получить раньше. Например, если спустя t_v = 300 лет будет достигнуто v₄ = 0,05c, то

t_v + t₄ = t_v + 4,2c/0,05c = 300 + 84 = 384 года.

Из этих примеров видно, что посылать корабли к звездам сейчас бессмысленно, причем не просто потому, что они будут лететь слишком долго, а потому, что корабли, посланные несколько позже (на 100...300 лет), достигнут цели значительно раньше (на десятки тысяч лет). Не говоря уже о более раннем свершении мечты, мы к тому же получим большую вероятность того, что аппаратура не одряхлеет в пути.

Заметим, что к более далеким звездам разумнее лететь несколько позже, когда будет достигнута еще большая скорость.

Казалось бы, с помощью вычислений, подобных приведенным выше, можно узнать точную дату отлета к любой звезде, обеспечивающую минимум t_v + t_n. Да, если бы мы могли точно предсказать зависимость доступной человеку скорости кораблей от времени работы над их усовершенствованием t_v. В порядке упражнения можете задаться квадратичной зависимостью

v/c = (t_v / 1000)²,

где t_v – в годах. На самом же деле эта функция не будет ни квадратичной, ни линейной, ни экспоненциальной. Помимо общего сравнительно плавного роста, она будет наверняка содержать несколько революционных скачков, предсказать для которых место на оси времени мы не беремся. И главное, по мере приближения v к c дальнейший прогресс будет осложняться релятивистским увеличением массы.

Оглавление

А.

Два космонавта вышли из корабля поразмяться с баскетбольным мячом. (Как относится к такой игре спортивная космическая медицина, автору не известно.) Играют они по упрощенным правилам: перебрасываются мячом, пока один из них не удалится от корабля на некоторое «штрафное» расстояние, означающее проигрыш. Пользоваться двигателями нельзя до окончания игры. Опишите ход игры и определите, могут ли такие правила игры считаться справедливыми.

Б.

Правила игры несправедливы, если выигрывают не за счет спортивных качеств (силы, ловкости, сообразительности), а за счет какого-либо отклонения физических данных: роста, веса и т.д. Например, если бы на ринге (ковре, помосте) допустили к соревнованию между собой боксеров (борцов, штангистов) различных весовых категорий, то это было бы несправедливо по отношению к атлету более легкого веса.

В.

Итак, игроки заняли исходные позиции в одном метре от корабля и друг от друга. Судья – в корабле. Свисток! – и спортсмены... остаются на местах, так как в вакууме звук не распространяется.

Разумеется, это шутка. Судья подает световой сигнал (или же свисток по радио). Первый игрок бросает мяч в сторону партнера и... оказывается в проигрыше, так как сила реакции отбрасывает его в противоположную сторону, к штрафному рубежу*. Достаточно второму игроку уклониться от мяча, как первый терпит поражение. Итак, за право первого броска бороться не стоит. Ну, что ж, судьбу первого броска, как и на Земле, можно решить жребием, только космическое счастье противоположно земному.

Впрочем, сумеет ли противник уклониться от мяча? Ведь пользоваться двигателем запрещено, а без двигателя спортсмен не может уйти в сторону, он может только изогнуться. И если вы бросили в него мяч без промаха, то удар мяча придаст сопернику приблизительно такое же количество движения, какое первому придал бросок, при условии, что противник схватил мяч. Если же мяч отскочил от него обратно, то количество движения, переданное противнику, будет даже вдвое больше! Следовательно, противник должен во что бы то ни стало поймать летящий в него мяч, иначе он проиграл: удаляясь со скоростью, вдвое большей, он выйдет в аут первым! Игра приобретает спортивный интерес.

Мяч пойман. Что делать: бросать его или держать? Если бросать, то поточнее: промах равносилен поражению, так как приводит к удвоению скорости бросившего и не прибавляет скорости первому игроку. А если не бросать? Тогда у второго сохраняется преимущество, полученное на старте: первый игрок начал удаляться раньше на 0,1 с (время пребывания мяча в полете t = 1 м : 10 м/с = 0,1 с). Хватит ли этого преимущества для победы? Вполне хватило бы, если бы оба игрока после первого броска удалялись с одинаковыми скоростями (относительно корабля).

Позвольте, а почему скорости неодинаковы? Ведь мяч встретился со вторым игроком в точности с той же скоростью, с какой расстался с первым? Нет, ко второму игроку он пришел со скоростью 10 – 0,1 = 9,9 м/с, хотя относительно первого его скорость равна 10 м/с (ведь первый уже удаляется со скоростью 0,1 м/с). Это дает второму дополнительное преимущество: схватив летящий в него мяч, он приобретет скорость только 0,098 м/с. Но может быть и другая причина неравенства скоростей: массы обоих игроков могли оказаться разными, и тогда игрок с меньшей массой приобрел бы бóльшую скорость. Следовательно, игра несправедлива: выигрывает более массивный (правда, может выиграть и легковес, но за счет неспортивного поведения: он должен словчить и прихватить с собой в карман груз поувесистее).

Впрочем, в земном баскетболе тоже мало справедливости. Правда, там масса дает мало преимуществ, но зато их определяет такой далеко не спортивный фактор, как рост. Команда баскетболистов среднего роста проиграет команде рослых игроков того же спортивного класса. Пора бы осознать законодателям баскетбола, что людей среднего роста нельзя считать неполноценными, что они тоже хотят быть чемпионами – в своей «ростовой категории».

Вернемся, однако, с грешной земли на небо. Чтобы пресечь злоупотребления и уравнять шансы игроков, нужно перед началом состязания уравнять их массы. Такое дополнение к правилам делает игру более справедливой**. А если дополнить их еще условием, что игрок не имеет права держать мяч, допустим, более 5 с, то второй игрок лишается преимущества, накопленного в начале игры: бросая мяч первому, он увеличивает свою скорость. Однако до справедливости еще далеко. Второй игрок может соблюсти правила, но бросить мяч с такой малой скоростью, что тот не окажет на него сколько-нибудь заметного воздействия (и, разумеется, не долетит до первого игрока). Более того, второй может схитрить: бросить мяч в противоположную сторону. Этим он остановит собственное движение и предоставит первому игроку верный проигрыш. Нужно ввести еще два правила: скорость мяча относительно бросающего должна быть не меньше, например, 5 м/с, угол отклонения траектории мяча от направления на противника не должен превосходить, допустим, 10°. Как видите, чтобы следить за соблюдением правил, судье понадобятся уже локатор и вычислительная машина.

А еще нужно расположить игроков так, чтобы прямая, их соединяющая, была перпендикулярна направлению на Солнце. Тогда мяч для каждого из игроков будет выглядеть одинаково (полумесяц). Иначе для одного из игроков мяч будет представляться узким серпом, а остальное будет черным, как космическое небо, и поэтому почти невидимым (эффект покрытия мячом звезд и обратный эффект освещения мяча отраженным от корабля и космонавтов светом невелики). Для второго же игрока черным будет только серп, а остальное – ярким, что несправедливо.

Итак, в этой игре, по-видимому, проиграет тот, кто промахнется или не сумеет схватить идущий на него мяч. Ну, а если игроки бросают мяч без промаха? После каждого броска относительная скорость разбегания игроков возрастает. В конце концов, она станет настолько большой, что сравняется с той скоростью, какую игроки способны придать мячу. Мяч «выбывает из игры»: при очередном броске он останется в поле, не в силах достичь адресата. На каком броске это случится? На сотом? Так кажется только невнимательному читателю, считающему, что если от первого броска игрок приобрел скорость 0,1 м/с, то 10 м/с он наберет за сто бросков (по 50 бросков с обеих сторон). Если бы это было так, то достаточно было бы с обеих сторон по 25 бросков: ведь каждый бросок увеличивает скорость обоих игроков. Но это не так: каждый последующий бросок придает игрокам всё меньшую добавку скорости, так как скорость разбегания игроков растет, и мяч, бросаемый с одной и той же скоростью относительно бросающего, будет достигать принимающего каждый раз с меньшей скоростью, Что затянет процесс теоретически до бесконечности.

На практике игра не бесконечна: она закончится на том броске, скорость которого случайно окажется меньше требуемой (из-за неумения игроков выдерживать постоянство скорости бросания). Впрочем, может оказаться, что игра наскучит еще раньше: игроки разлетятся на большое расстояние, мяч в полете будет находиться утомительно долго, а там, смотришь, произойдет промах, после которого придется прекращать игру, включать двигатели и догонять мяч***.

Любопытно познакомиться с техникой броска. Прежде всего, в невесомости мяч между игроками летит равномерно и прямолинейно**** (относительно игроков, но не относительно Земли). Значит, земные параболы и баллистические кривые нужно забыть, и чем скорее, тем лучше для игры. Прицеливаться в игрока нужно без всяких поправок на криволинейность полета. Но если вы для удобства прицеливания будете бросать мяч с уровня глаз, то будете наказаны: в момент броска ваше тело придет во вращение, ногами вперед. Вы увидите Вселенную вращающейся вокруг вас. Это весьма лестное для вас обстоятельство помешает, однако, следить за партнером, принимать от него мяч и правильно его отпасовывать. Кроме того, не известно, какую штуку при этом выкинет ваш вестибулярный аппарат и как долго он позволит вам безнаказанно считать себя центром Вселенной.

Чтобы избежать вращения, мяч нужно бросать так, чтобы ваш центр масс был на продолжении траектории полета мяча. Не забудьте, что если в момент броска ваши ноги были поджаты, то центр масс переместился из области живота ближе к груди.

Ну, а если вы ловите мяч? Вряд ли партнер попадет мячом точно в ваш центр масс. Удар придется где-то в стороне, и вы начнете вращаться. Чтобы остановить вращение, вызванное попаданием мяча в голову, вы должны бросить противнику мяч от колен.

Между прочим, вращение игрока при нецентральном ударе можно использовать для победы. Если часть энергии мяча тратится на вращение игрока, то, следовательно, на поступательное движение остается меньше. А ведь только поступательное движение может увести игрока за штрафную линию. Таким образом, выигрывает тот, кто последним броском приведет себя в наибольшее вращение, причем попадет мячом в противника так, чтобы остановить вращение последнего. Несомненно, такая виртуозная игра доставит болельщикам много веселых минут.

Вращение, в силу закона сохранения импульса, не оказывает влияния на движение центров масс игроков, которое только и определяет исход игры. От него можно отвлечься. Можно считать, что игроки и мяч все время находятся на одной прямой, принимаемой далее за ось X. Общий центр масс игроков и мяча остается неподвижным. Пусть он совпадает с центром «поля», на котором совершается игра. В силу теоремы о движении центра масс Mx₁ – Mx₂ + mx = 0 или x₁ – x₂ = –mx/M, где M – масса игрока, m – масса мяча, x₁ и (–x₂) – координаты игроков (x₁ > 0 и x₂ > 0), x – координата мяча. Если x > 0, то x₁ < x₂. Значит, если первый игрок выиграл, то в момент выигрыша мяч будет находиться на его половине. То же относится ко второму игроку.

* Бросив, например, мяч массой 1 кг со скоростью 10 м/с, космонавт массой 100 кг полетит в противоположную сторону со скоростью 0,1 м/с (точнее, относительно судьи мяч полетит со скоростью 9,9009900 м/с, а космонавт – в обратную сторону со скоростью 0,0990099 м/с).

** Для полной справедливости массу первого игрока следовало бы сделать большей (добавить в карман массу мяча), чтобы компенсировать те потери, которые он будет нести на протяжении всей игры: ведь в каждой новой паре бросков его бросок будет первым, т.е. менее выгодным.

*** Любопытно, что в игре спортсмены могут только удаляться друг от друга. Сблизиться за счет перебрасывания мячом невозможно. И только если игроков много, то некоторые из них могут сблизиться за счет бросков крайним игрокам, которые будут удаляться. Если же перебрасываться как попало, то разлетится вся команда. Именно так разлетаются молекулы газа, выпущенного в вакуум (правда, у них нет мячика, они сами играют роли мячиков и игроков). Заметим, что если игроками равномерно заполнена вся Вселенная, то с помощью мяча они могут собраться в любые по размерам группы, но только не в одну. И, наконец, космогонический нюанс: если группа будет очень большой, то за счет взаимного тяготения игроки своими телами образуют планету или звезду, отчего им не поздоровится.

**** Если размеры космического стадиона не очень велики, то можно пренебречь теми тонкостями, на которых основана задача «Человек за бортом!».

Оглавление

А.

Предыдущая задача убедила нас, что для спортивных игр космос является вполне подходящим местом. Ну, а для танцев? Представим, что из корабля вышли девушка и юноша и с помощью двигателей заняли исходную позицию: лицом к лицу, держась за руки, неподвижно относительно корабля (без поступательного перемещения и без вращения). Музыка играет медленный вальс. Как велики возможности, предоставляемые космосом для танца? Какие па и фигуры можно сделать? Сумеют ли танцующие кружиться? Разумеется, двигатели на время танца выключены, чтобы не обжечь бальный скафандр партнера.

Б.

Любители танцев относятся к этой задаче оптимистично: дескать, выпустите только нас на орбиту, а там мы вам покажем такое, что у вас зарябит в телевизорах.

Любители физики намного пессимистичнее. Ну какие тут танцы? Кружиться невозможно: закон сохранения момента количества движения не позволяет. Пройтись из конца в конец по танцплощадке нельзя: нет опоры, не от чего оттолкнуться. Даже отпустить руку партнера рискованно: отпустишь – не поймаешь! Привязаться друг к другу фалом? Не эстетично!

Прежде всего отметим, что в земных танцах фал как средство соединения партнеров используется давно и широко. Правда, под другими названиями: шарф, лента, платочек. Поэтому фал из нейлоновой ленты вполне уместен и в космическом танце.

Солистке в космическом танце действительно вроде нечего делать: кружиться и передвигаться она без двигателей не сможет. Почему же на Земле она все это может делать? А потому, что если разобраться, как следует, то на Земле солистка всегда выступает фактически в дуэте: в качестве партнера ей служит земной шар. Вращаться она может только потому, что заставляет земной шар вращаться в противоположную сторону, отталкиваясь – отталкивает и его, притягиваясь – притягивает. Действие равно противодействию! Правда, земной шар – особый партнер: он очень массивен, а поэтому малоподвижен и служит надежной опорой для солистки. Кроме того, у него большие и сильные руки – сила притяжения, – поэтому нет опасности, что балерина, отделившись от Земли, в дальнейшем к ней не вернется.

Космический партнер менее массивен. Но это не принципиальное отличие, а только количественное. Следовательно, наличие партнера в космосе позволяет принципиально осуществить, так или иначе, все земные фигуры сольного танца. Анализируя их имейте в виду, что живой партнер участвует в танце сознательно и поэтому может сделать многое из того, что не может сделать земной шар.

В.

Рис. 26.

Начнем для простоты все-таки с одиночного танцора в космосе. Его центр масс неподвижен относительно корабля (мчится по той же орбите), и сдвинуть его без внешних сил нельзя. Следовательно, если солист опустит руки (рис. 26а), то голова его и корпус приподнимутся так, чтобы общий центр масс остался на месте. Если поднимет руки – корпус опустится. Это «прыжки на месте». Если солист выбросит обе руки влево (рис. 26б), то корпус сместится вправо, причем несколько наклонится, так как реакция от рук на корпус приложена на уровне плеч, т.е. выше центра масс.

С помощью мышц корпуса можно «пойти вприсядку» (рис. 26в). Если солист приведет руки во вращение (рис. 26г), то его корпус получит медленное обратное вращение. Остановив вращение рук, он немедленно остановится и сам: суммарный момент количества движения рук и корпуса все время равен исходному, т.е. нулю. А вот если бы он вращал на длинном тросе груз, передавая его, например, из правой руки в левую перед грудью, а из левой в правую – за спиной, а затем отпустил его, то он сохранил бы полученное вращение корпуса (вправо) и приобрел бы поступательное движение в направлении, противоположном грузу.

Теперь о дуэте. Наличие партнера неизмеримо расширяет возможности космического танца. Покажем это на нескольких примерах.

Рис. 27.

Из исходной позиции (рис. 27а) можно с помощью рук перейти в позицию б, затем, оттолкнувшись носками от носков, – в позиции в и г, а, оттолкнувшись каблуками от каблуков, – вернуться обратно. Впрочем, все это можно выполнить и без отталкивания, за счет мышц рук, только более медленно. Можно также зафиксировать любую из этих позиций.

Главный признак вальса – вращение. Его можно создать за счет вращения партнера в обратную сторону. Вращая руку дамы вокруг продольной оси руки (рис. 27д), можно привести даму во вращение; при этом кавалер будет вращаться в противоположном направлении. На рис. 27е, ж, з (вид «сверху») показано типичное вальсообразное вращение. Кавалер (черный гермошлем) переносит руки на талию дамы (белый гермошлем) и поворачивает ее по часовой стрелке. При этом он сам начинает вращаться вокруг общего центра масс против часовой стрелки (для наглядности левая рука дамы показана сплошной прямой, правая – пунктирной). В фигуре 27д можно отпустить руки и вращаться отдельно. В фигуре 27е этого сделать нельзя: силы инерции заставят партнеров удаляться друг от друга.

Рис. 28.

Для совместного вращения* в одну сторону необходимо, чтобы хотя бы один из партнеров имел вращение в исходной позиции. Если партнеры соединены шарфом и один из них бросит какой-нибудь груз в направлении, перпендикулярном к шарфу, то сам он начнет двигаться в противоположном направлении, благодаря чему пара начнет вращаться вокруг общего центра масс. Сближаясь с помощью шарфа, танцующие будут увеличивать скорость вращения, расходясь – уменьшать. При этом Вселенная также будет участвовать в танце, вращаясь в обратную сторону то быстрее, то медленнее. Если вращения не было, то, потянув легонько шарф на себя, оба партнера могут смело выпускать его из рук, так как теперь они будут сближаться сами собой.

В качестве элемента танца можно использовать и свободный полет партнера с посылаемым ему вдогонку «лассо» – концом шарфа (рис. 28а).

На рис. 28б показана группа из четырех человек. Кавалеры Б и Г потянули за шарфы, соединяющие их с дамой А. В результате они сами двинулись в точку А (по стрелкам), а дама А – по равнодействующей – к даме В. Встретившись и попарно оттолкнувшись, танцующие разлетаются до натяжения шарфов. Многообразие фигур, образуемых в дальнейшем танцующими, неисчерпаемо, особенно если усилия, прилагаемые к шарфам, менять от фигуры к фигуре.

Автор – не очень крупный специалист по танцам, поэтому он описал, возможно, не самые грациозные фигуры. Однако нет сомнения, что космос дает в руки балетмейстера много интересного материала.

Можно быть уверенным, что в будущем танцы в космосе будут пользоваться не меньшим успехом у телезрителя, чем сейчас танцы на льду.

* Прошу извинить за надоедливое повторение слова «вращать»: его синонимы – кружить, вертеть и др.– до некоторой степени легкомысленны, а танец – дело серьезное, особенно если он – по законам небесной механики.

Оглавление

А.

Представим, что вы участвуете в проектировании автоматической лунной обсерватории, которая должна прилуниться где-то в районе кратера Птолемей. После мягкого прилунения обсерватория должна направить в сторону Земли антенны, фото- и кинокамеры и многие другие приборы. Таково задание. Вы, конечно, знаете, как это обеспечить: с помощью какой-либо автоматической следящей системы, которая наводится по световым, тепловым или радиосигналам Земли. Это довольно сложная система, которая к тому же потребует источников питания, будет иметь заметные габариты и вес, а все это на борту обсерватории обходится недешево.

Кроме того, система может выйти из строя и этим сорвать выполнение задания всей обсерватории.

Нельзя ли обойтись без этой следящей системы и без сигналов Земли и тем не менее ориентировать все, что требуется, в сторону Земли?

Б.

Разыщите на карте Луны кратер Птолемей*. Перенеситесь мысленно в этот кратер и отыщите взглядом Землю. Где она? Если и это не помогает, обратитесь за советом к Козьме Пруткову.

В.

Не подумайте, что Козьма Петрович грубиян. Это он дает вам подсказку, как всегда, в присущей ему изящной и лаконичной манере.

Кратер Птолемей находится в центре видимого «диска» Луны (если смотреть с Земли). Это означает, что если вы окажетесь в этом кратере, то увидите Землю над головой, в зените. Луна обращена к Земле всегда одной стороной. Следовательно, Земля с точки зрения лунного наблюдателя всегда занимает одно и то же положение относительно лунного горизонта, а именно – для упомянутого кратера она всегда в зените. (Строго говоря, в центре видимого диска Луны находится не кратер Птолемей, а так называемый Срединный залив Океана Бурь, но автор боится, что на тех картах Луны, которыми вы располагаете, название этого залива отсутствует, и поэтому называет ближайший к нему крупный кратер, наверняка отмеченный на всех картах.)

Итак, Земля в зените. Причем всегда в зените. Ну, а как навести какую-либо ось в зенит, вы должны сообразить. На Земле на это способен элементарный инструмент – отвес. Чтобы нацелиться фотоаппаратом с Луны в зенит, на Землю, нужно укрепить на одном конце стержня фотоаппарат Ф, а на другом – противовес Π и подвесить стержень на шарнире А (рис. 29) так, чтобы он мог поворачиваться в двух плоскостях. Тогда сила лунного тяготения P_Л заставит противовес опуститься в самое нижнее положение, отчего стержень П_Ф будет ориентирован фотоаппаратом в зенит.

Рис. 29.

Рассмотренная система наведения несовершенна. Прежде всего, противовес является инертной массой, не приносящей другой пользы, кроме наведения фотоаппарата на Землю. И хотя это само по себе уже немало, но можно потребовать от него еще больше. Ведь не обязательно, чтобы противовес был обычной гирей. Его роль может выполнить любой полезный груз. Если, например, роль противовеса поручить телевизионной передающей камере, объектив которой смотрит перпендикулярно к стержню, а на другом конце стержня укрепить остронаправленную антенну**, то мы получим готовую систему для телевизионной передачи на Землю лунных пейзажей.

Показанное на рис. 29 устройство некомпактно. Можно представить себе иную конструкцию обсерватории – в виде известной игрушки «ванька-встанька», которая из любой ситуации выходит с высоко поднятой головой***.

На рис. 30 показана шарообразная станция, верхняя половина которой прозрачна для радиоволн и содержит антенну А, а нижняя половина заполнена аппаратурой и поэтому тяжелее верхней. Такой шар можно выбросить на Луну (последней ступенью ракеты) в любом положении, однако он неизбежно сам направит антенну А в зенит, а телевизионные объективы Т – в горизонтальную плоскость.

Вставляя «ваньку-встаньку» в пустое полушарие, гладкое внутри и шиповатое снаружи, можно усовершенствовать систему так, чтобы и на склоне лунного холма она устанавливалась антенной в зенит.

Гравитационная система ориентации обладает одним уникальнейшим свойством: «ванька-встанька» может утонуть в океане пыли (или воды), тем не менее даже там, на многокилометровой глубине, он развернется головой в зенит, так как принцип его действия опирается на силу лунного тяготения, которую ничто не может замаскировать. Любая другая система ориентации (световая, радиотехническая, тепловая, рентгеновская) в этих фантастически трудных условиях отказала бы, так как никакой сигнал с Земли (разумной интенсивности) не достигнет дна океана пыли. Однако это преимущество, по-видимому, не имеет практического значения, так как, во-первых, исследования Луны все более склоняют ученых к мысли, что океанов пыли там нет, и, во-вторых, сигнал со дна океана пыли, вряд ли пробился бы наружу, несмотря на то, что антенна будет ориентирована вверх.

Рис. 30.

Какой ширины (а на рис. 30) должен быть радиолуч, чтобы наша система бесперебойно поддерживала связь с Землей? Если бы угол α определялся только угловыми размерами Земли, то луч можно было бы сузить до 1,8°. Такая антенна посылала бы энергию в сторону Земли в 15 000 раз интенсивнее, чем ненаправленная, при той же мощности передатчика. К сожалению, луч придется взять значительно шире. Дело в том, что Луна обращена к нам не строго одной стороной, а слегка покачивается в обеих плоскостях. Эти покачивания называются либрациями.

Либрация по долготе (вправо – влево) происходит потому, что Луна вокруг своей оси вращается строго равномерно, а вокруг Земли – по эллипсу, ускоряя свое движение в перигее и замедляя в апогее. И хотя время оборота вокруг своей оси строго равно времени обращения вокруг Земли (при малейшем неравенстве Луна показывала бы Земле обратную сторону хотя бы раз в тысячелетие), тем не менее, в пределах одного оборота неравенство мгновенных угловых скоростей имеет место, отчего Луна позволяет земному наблюдателю заглянуть слева и справа немного на обратную сторону. Наблюдатель, находящийся в центре лунного «диска», по этой причине увидит Землю покачивающейся в обе стороны от зенита на 7°54' с периодом, равным промежутку времени между двумя прохождениями Луны через перигей – аномалистический месяц (27 сут 13 ч 18 мин 33 с).

Либрация по широте вызывается тем, что плоскости лунной я земной орбит и лунного экватора не совпадают. Поэтому Луна земному наблюдателю показывает то северный, то южный полюс. В результате этой либрации Земля будет совершать в небе Луны второе кажущееся колебание в другой плоскости, отклоняясь от зенита в обе стороны на 6°40'. Период либрации по широте равен промежутку времени между двумя последовательными прохождениями Луны через восходящий узел (т.е. через ту точку своей орбиты, в которой она, пересекая плоскость орбиты Земли, переходит из южного полушария в северное). Этот период называется драконическим месяцем (27 сут 5 ч 5 мин 36 с).

Если бы аномалистический и драконический месяцы были равны, то Земля совершала бы в небе Луны кажущееся движение по небольшому эллипсу. Неравенство двух месяцев приводит к тому, что кривая кажущегося движения Земли становится более сложной. Приблизительное представление об этой кривой дает рис. 31 (аналогичную фигуру Лиссажу рисует электронный луч на экране осциллографа, когда на две пары его отклоняющих пластин будут поданы два синусоидальных напряжения, имеющих слегка неравные периоды). Под действием либрации центр земного «диска» для лунного наблюдателя совершает движение внутри четырехугольника со сторонами 15°48' и 13°20'. Диагональ этого четырехугольника имеет величину около 20°. Именно такой должна быть ширина радиолуча (его след на небе показан окружностью на рис. 31), если мы хотим, чтобы он всегда захватывал Землю. При этом степень концентрации энергии антенной будет более скромной (≈ 130), но вполне достаточной, чтобы наше изобретение еще не утратило практического значения.

Рис. 31.

Все это хорошо, скажете вы, но где гарантия, что обсерватория прилунится в центре видимого диска Луны? А если она сядет в стороне? Тогда Земля будет не в зените и все наши труды напрасны.

Пусть посадка совершена на расстоянии Δ от центра. Тогда Земля будет отстоять от зенита на угол (в градусах)

φ = (Δ/R_Л)·(360°/2π),

где R_Л = 1738 км – радиус лунного шара.

Современная космонавтика позволяет осуществить прилунение в заданную точку с высокой точностью. Но даже при ошибке Δ = 100 км величина φ = 3°20', т.е. еще мала. Расширяя радиолуч до 27°, мы позволяем обсерватории при высадке ошибиться на 100 км в любую сторону от центра. Радиолуч шириной 27° концентрирует энергию в 70 раз.

Любопытно, что гравитационная ориентация полезна даже тогда, когда обсерваторию запланировано высадить вдали от центра. Пусть, например, прилунение намечено на краю диска, т.е. там, где Земля видна не в зените, а вблизи горизонта. В этом случае антенну на стержне с противовесом надо укрепить так, чтобы ее радиолуч был перпендикулярен к стержню. Этим обеспечивается горизонтальность луча. Теперь, чтобы направить его на Землю, достаточно одного мотора, поворачивающего антенну в горизонтальной плоскости.

При отсутствии гравитационной системы ориентации Землю пришлось бы искать по обеим угловым координатам с помощью двух моторов.

Не кажется ли вам несколько странным, что мы навели антенну на Землю, не пользуясь никакими сигналами Земли? Значит, можно навестись на что-либо, не имея о нем никакой информации? Так сказать, методом телепатии? Нет, конечно. Мы пользовались информацией о направлении на Землю, но только не прямой (от Земли), а косвенной (от Луны). В следующей задаче этот вопрос вы сможете уточнить.

* Для тех, у кого нет карты Луны: этот кратер находится в центре видимого диска Луны.

** Если антенна излучает во все стороны одинаково, то она называется ненаправленной (иногда – всенаправленной). На такой дальней линии связи, как Луна – Земля, ненаправленная антенна неэкономична. Лучше взять остронаправленную, т.е. такую, которая концентрирует излучаемую энергию в узком конусе, в данном случае – в сторону Земли. Это позволит осуществить более помехоустойчивую связь либо уменьшить мощность бортового передатчика.

*** «Ванька-встанька» был предложен автором для Луны (см., например, Техника–молодежи, 1962, № 6), однако, по сообщениям печати (Барашев П. На космической верфи – Правда, 19 октября 1967 г.), он нашел применение и на Венере. Хотя Венера и не обращена к Земле одной стороной, но вращается так медленно, что использование этого способа ориентации в течение ограниченного времени оказывается возможным.

Оглавление

А.

На Луне на тонкой прочной нити горизонтально подвешена «гантель» – стержень с двумя одинаковыми массами на концах (рис. 32а). Точка подвеса совпадает с центром масс гантели. Отклоните слегка гантель от горизонтального положения (рис. 32б) и отпустите ее. Какое положение примет гантель?

Рис. 32.

Б.

Обычно отвечают так: поскольку центр масс совпадает с точкой подвеса, то гантель находится в безразличном равновесии. Следовательно, она останется в том положении, в которое мы ее установим: в наклонном, горизонтальном, вертикальном. И добавляют, что законы физики одинаковы на Луне и на Земле, а поэтому для постановки этого опыта не обязательно было забираться на Луну.

Согласен, этот опыт можно было бы поставить и на Земле, но только под колпаком, из-под которого откачан воздух, иначе движение воздуха могло бы раскачивать гантель и замаскировать те тонкие эффекты, которые должны проявиться в этой задаче. Таким образом, в задаче используется не столько Луна, сколько вакуум, существующий над ее поверхностью.

Теперь подсказка по существу задачи. Вес и масса – далеко не одно и то же: вес есть произведение массы на ускорение свободного падения. Обязательно ли центр тяжести совпадает с центром масс?

В.

В горизонтальном положении на две половинки гантели действовали одинаковые ускорения свободного падения (благодаря чему центр тяжести совпадал с центром масс), в наклонном – различные: в соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона нижняя половина гантели будет тяжелее верхней, так как она ближе к центру Луны. В результате центр тяжести всей гантели сместится по стержню вниз от центра симметрии (а центр масс, всегда совпадающий с центром симметрии, останется на месте!), и стержень из наклонного положения начнет все быстрее и быстрее поворачиваться в вертикальное. С разгону он пройдет это положение, но затем затормозится и, совершив большое число колебаний, остановится в вертикальном положении, когда энергия его колебаний израсходуется на трение о нить в точке подвеса. Вертикальное положение стержня будет положением устойчивого равновесия, так как центр тяжести займет самое низкое из всех возможных положений. Горизонтальное же положение было положением неустойчивого равновесия.

Вычислим разницу в силах, действующих на обе половины гантели в момент, когда ее стержень, имеющий длину l, уже установился вертикально. Будем полагать, что стержень невесом, а вся масса сосредоточена на его концах. Сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния от центра тяготения (в данном случае от центра Луны):

Здесь P₁ и P₂ – веса обеих половинок, a₁ и a₂ – их ускорения свободного падения, R₁ и R₂ – их расстояния от центра Луны.

Примем R₁ = 1750 км (несколько больше радиуса Луны) и длину стержня l = 100 м. Так как l << R₁, то третьим слагаемым в числителе формулы можно пренебречь по сравнению с первыми двумя. Тогда формула упрощается:

P₁/P₂ = a₁/a₂ = l + 2l/R₁.

Поскольку и 2l << R₁, то, казалось бы, можно пренебречь и вторым слагаемым. Но если бы мы так сделали, то наша задача полностью исчезла бы: мы пришли бы к равенству P₁ = P₂, характеризующему однородное поле тяжести. Наша задача держится именно на наличии второго слагаемого, т.е. на том факте, что поле тяжести неоднородно. После подстановки численных значений l и R₁ имеем

a₁/a₂ = 1 + 2 · 0,1 / 1 750 = 1,000114.

Разница в весе невелика (а в исходном наклонном положении она еще меньше), но в условиях вакуума и слабого трения нити этого достаточно, чтобы повернуть стержень в вертикальное положение.

На Земле (R₁ ≈ 6 380 км) относительная разница в весе была бы еще меньше, хотя абсолютная (при одной и той же массе гантели) была бы больше, чем на Луне. Интересно, что на Земле, в условиях наличия атмосферы, положением устойчивого равновесия было бы или вертикальное, или горизонтальное положение, в зависимости от плотности материала, из которого сделана гантель. Дело в том, что в этом случае пришлось бы принимать во внимание не только закон Ньютона, но и закон Архимеда. Поскольку плотность атмосферы убывает с увеличением высоты, то на нижнюю половину гантели действовала бы бОльшая сила Архимеда, чем на верхнюю, и это противодействовало бы силам Ньютона. Для стальной гантели положение устойчивого равновесия – вертикальное, для пробковой – горизонтальное (на малых высотах над Землей, где атмосфера достаточно плотна).

Разумеется, в условиях атмосферы эти силы из-за своей малости не могут дать о себе знать, так как силы трения о воздух и особенно силы, вызванные перемещениями воздуха, существенно больше. Однако это не значит, что рассмотренные здесь явления не имеют практического значения. Ведь существует среда, в которой нет ни ветра, ни воздуха вообще и в которой гантель может быть «подвешена» без нити. Это космическое пространство. Если на экваториальную орбиту вывести спутник, имеющий форму гантели, то на ближнюю к Земле половину спутника будет действовать большее ускорение свободного падения, чем на дальнюю, отчего спутник должен установиться стержнем по направлению к центру Земли и сохранять такую ориентацию вечно (рис. 33а...г). Практическое значение такой ориентации состоит в том, что на ближнем к Земле конце гантели можно укрепить фотоаппарат, телевизионную камеру, и они будут все время направлены на Землю, что позволит вести из космоса непрерывный репортаж о нашей планете (например, о состоянии облачности на всем земном шаре). Можно укрепить остронаправленную антенну.

Рис. 33.

В космосе стержень гантели может быть очень тонким (струна): на орбите благодаря невесомости стержень будет растягиваться не всей силой тяжести гантели, а только разницей в силах тяжести, действующих на обе половинки гантели. Это позволяет удлинить «стержень» вплоть до километров, что увеличивает разницу в силах тяготения на его концах.

Как мы уже видели раньше, гантель, прежде чем занять устойчивое вертикальное положение, совершает вокруг него постепенно затухающие колебания. Спутник-гантель тоже будет колебаться* вокруг прямой, соединяющей его с центром Земли (рис. 33д). Но затухать сами собой эти колебания не могут: в космосе нет трения. Как же их потушить? Для этой цели предложено несколько вариантов. Один из них состоит в том, чтобы вместо стержня соединять две половины спутника пружиной (рис. 33г). Колебания спутника вызовут переменные центробежные силы, которые заставят растягиваться и сжиматься пружину, отчего энергия колебаний постепенно израсходуется на разогрев пружины, и колебания прекратятся. Точно так же будут погашены колебания, вызванные ударами о спутник космических пылинок.

Заметим, что у Земли давно уже существует спутник-гантель. Это Луна. Она не совсем шарообразна и этим чуть-чуть напоминает гантель: всегда направлена на Землю своей большой осью. Ее вращение и колебания были заторможены трением приливов, вызываемых в лунной коре тяготением Земли. И Луна ориентировалась на Землю своей большой осью**. А уж потом мы (в предыдущей задаче) ориентировали радиолуч вдоль этой большой оси с помощью тяготения Луны.

Для тех, кто еще не потерял интереса к задаче, предлагаем доказательство того, что центр тяжести гантели, подвешенной на нити на Луне, при колебаниях перемещается по окружности.

Рис. 34.

Пока гантель была в горизонтальном положении, веса обеих ее половин, P₁ и P₂, были одинаковы, поэтому центр тяжести находился на середине стержня, на расстоянии l/2 от его концов (рис. 34). При отклонении стержня на угол φ вес нижней части гантели P₁ возрос, вес верхней части P₂ уменьшился. Центр тяжести M есть точка приложения веса тела P, который является равнодействующей весов P₁ и P₂. Точка приложения равнодействующей двух параллельных сил (а они почти параллельны) делит расстояние между точками приложения составляющих на части, обратно пропорциональные этим составляющим:

P₁/P₂ = (l/2 + Δ) / (l/2 – Δ),

где Δ – расстояние центра тяжести от точки подвеса.

Концы гантели при отклонении на угол φ разнесены по высоте на величину h, которая и определяет различие весов P₁ и P₂, как это было показано раньше:

P₁/P₂ = 1 + 2h/R₁.

Учитывая, что h = l∙sin φ, и приравнивая две формулы, имеем

(l/2 + Δ) / (l/2 – Δ) = 1 + ([2l∙sin φ]/R₁).

Решаем уравнение относительно Δ. Это дает

Δ = (l/2) · ([2l sin φ] / 2R₁ + 2l sin φ).

Пренебрегая вторым слагаемым знаменателя (поскольку 2l∙sin φ << 2R₁), получаем окончательно

Δ = l²∙sin φ / 2R₁.

Для тех, кто знаком с полярной системой координат, уже ясно, что это окружность: ведь полусинусоида в полярной системе координат выглядит, как окружность в декартовых. Для остальных же придется продолжить доказательство.

Найдем максимальное значение Δ. Как видно из формулы Δ = max, если sin φ = max = 1, т.е. если φ = 90°. Подставляя φ = 90°, получаем

Δ_max = l²/2R₁

Отложим Δ_max вертикально вниз от точки O (рис. 34, отрезок OK) и разделим отрезок OK точкой L пополам, обозначив две половинки OL и LK буквой b:

b = Δ_max/2 = l²/4R₁.

Соединим центр тяжести M и точку L прямой ML = a. Если нам удастся доказать, что при любом значении φ a = b = const, то это будет означать, что точка M при любом значении φ отстоит от точки L на постоянную величину, т.е. перемещается по окружности. Из треугольника MOL по теореме косинусов

т.е.

или

a = l²/4R₁ = b.

Итак, действительно a не зависит от φ, и, следовательно, кривая, по которой движется центр тяжести M, есть окружность, отрезок a – ее радиус, а точка L – центр.

Разумеется, размеры окружности на рис. 34 сильно преувеличены. Ее диаметр в случае рассмотренной нами лунной гантели равен всего лишь

d = Δ_max = l²/2R₁ = (100 · 100) / (2 · 1 750 000) = 0,0028 м = 2,8 мм.

но при увеличении l в 10 раз d возрастает в 100 раз.

При очень больших l (десятки и сотни километров) приведенные выше формулы перестают быть правильными, так как силы P₁ и P₂ становятся заметно непараллельными и, кроме того, в формуле (1) нельзя уже будет пренебречь и третьим слагаемым. Не учитывая этого, мы при l = 5000 км получили бы d ≈ 7000 км > l, что означало бы, что центр тяжести вышел за пределы длины гантели. Это абсурд.

* С периодом, близким по величине к периоду обращения вокруг Земли и почти не зависящим от размеров и формы гантели.

** Впрочем, в последнее время эту ориентацию объясняют эксцентричностью ядра, обнаруженной радиолокационными измерениями движения центра масс Луны.

Оглавление

А.

Филателисты высоко ценят марку, имеющую какую-либо особенность. Например, надпечатку (поправку, внесенную уже после изготовления марки, но до ее поступления в обращение). Перед вами – одна из марок с надпечаткой (рис. 35). Ее официальное название «На Луне». Однако после точки видна буква В – начало какого-то дополнения к названию, запечатанного так, чтобы надпечатку можно было принять за теневую деталь на Луне*.

Рис. 35.

С помощью любимого орудия Шерлока Холмса – лупы – на просвет можно прочесть (на оригинале, конечно, но не в книге) запечатанную фразу: «Восходит Земля» (призываю в свидетели редактора!). Итак, полная надпись: «На Луне. Восходит Земля». И действительно, из-за лунного горизонта выглядывает половина земного шара, и космонавты приветственно машут своей далекой Матери-Земле. Спрашивается: чем руководствовался тот, кто вычеркнул слова «Восходит Земля», и как поступили бы вы на его месте?

Б.

Очевидно, вычеркивавший нашел слова «Восходит Земля» ошибочными. В самом деле, кто сейчас не знает что Луна повернута к нам всегда одной стороной, а обратную сторону удалось впервые увидеть только в 1959 г. – на снимках, переданных на Землю станцией «Луна-3». А если так, то Земля в небе Луны неподвижна и, следовательно, не может восходить и заходить. Видимо вычеркивавший знал это слишком твердо, принимал за абсолютную истину, в то время как это всего лишь первое приближение к ней.

Второе, более точное приближение (тоже, однако, не претендующее на абсолютную истину) вы уже встречали в задаче «Радиолуч с Луны ищет Землю».

В.

Для очистки совести отметим, что у одного из наших с вами учителей, Я.И. Перельмана, восход и заход Земли на Луне качественно обсуждался еще в 20-е годы в книге «Занимательная астрономия». Нам остается лишь добавить подробности и подкрепить их цифрами.

Как мы видели в задаче «Радиолуч с Луны ищет Землю», благодаря либрациям Земля относительно горизонта Луны описывает довольно сложную траекторию (рис. 35) в прямоугольнике со сторонами 15°48' (запад – восток) и 13°20' (север–юг). Если лунная экспедиция высадилась не в центре лунного диска, а на краю, то фигура рис. 35 опустится к горизонту, и космонавты смогут наблюдать восход Земли. Высадка в районе полюса позволяет наблюдать верхнюю (или нижнюю) половину прямоугольника, вблизи экватора – левую (или правую).

Рис. 36.

На рис. 36 показано загадочное и грандиозное сооружение инопланетян... Виноват, увлекся! Показано поведение Земли относительно лунного горизонта, если наблюдатель находится недалеко от края диска в средних широтах (поэтому прямоугольник рис. 35 здесь повернут на угол, равный широте места высадки). Земля показана шариком, время зарисовки – спустя сутки после восхода. Угловые размеры Земли при наблюдении с Луны – порядка 2°. Сейчас она восходит почти вертикально, поднимется примерно на 12° и затем зайдет в точке горизонта, находящейся на 6...7° правее точки восхода.

В другие месяцы кажущаяся траектория восхода – захода будет иной.

На рис. 36 показаны отрывки траекторий, соответствующие не соседним месяцам, а несколько разнесенным (иначе пришлось бы рисовать траектории гуще). На экваторе от одного восхода Земли до другого проходит аномалистический месяц, т.е. примерно 27 земных суток и 13 часов (см. задачу «Радиолуч с Луны ищет Землю»), на полюсе – драконический месяц (на 8 часов короче). Таким образом, восход Земли и ее заход – довольно медленные явления. Если «большая ось» эллипсовидной траектории составляет около 15...20° и весь «эллипс» Земля проходит за 27 суток, то собственный угловой диаметр (2°) она проходит примерно за двое суток (здесь неравномерность кажущегося движения по «эллипсу» учтена на глазок). Такой и будет длительность вертикального восхода (или захода). У наклонного она будет еще больше.

Разумеется, чем дальше экспедиция углубляется на «невидимую» сторону Луны (удаляется от картины рис. 36), тем глубже под горизонт опускается вся картина, и где-то наступит ситуация, в которой восход Земли невозможен. И наоборот, двигаясь к картине, т.е. от края «диска» к центру видимой с Земли стороны, космонавты будут видеть всю картину движения Земли поднимающейся над горизонтом, и где-то наступит ситуация, в которой Земля вообще перестанет заходить. Промежуточная зона поверхности Луны, в которой Земля восходит и заходит, представляет собой огромное «кольцо» неправильной формы. Ширина «кольца» на экваторе порядка 16°, на полюсах – около 13 (по дуге большого круга), а в средних широтах доходит до 20° (диагональ прямоугольника рис. 35).

Если представить, что любая точка прилунения равновероятна, то шансы увидеть восходы – заходы Земли определяются отношением поверхности «кольца» к поверхности всей Луны. Прямые вычисления поверхности «кольца» очень громоздки, но мы можем вычислить ее косвенно, через другие данные, взятые из учебника астрономии.

Благодаря либрациям с Земли удается наблюдать около 60% поверхности Луны. Следовательно, Землю с Луны увидеть нельзя лишь на 40% лунной поверхности. Там нет восходов – заходов потому, что Земля никогда не присутствует в небе. Аналогично, на 40% поверхности Луны (середина видимой стороны) нет восходов – заходов потому, что там Земля никогда не уходит с неба. Остальные 20% поверхности Луны и есть площадь того «кольца», где наблюдаются восходы и заходы.

Жаль, конечно, что авторам марки не удалось отстоять слова «Восходит Земля». От этого пострадал смысл изображения, пропала романтика. Словами «На Луне» сегодня нас уже не прошибешь! А слова «Восходит Земля» для человека, находящегося на Луне (хотя бы мысленно), означают очень многое.

* Автор благодарит доцента Г.И. Никитина, подсказавшего идею задачи и презентовавшего марку для нашей книги.

Оглавление

А.

В научно-фантастической повести Г. Уэллса «Первые люди на Луне» для космического полета используется пластина из специального вещества – кэйворита, экранирующего силу тяготения. Уэллс так описывает испытания первого образца кэйворита:

«Печные трубы взлетели на воздух, за ними последовали крыша и мебель... Деревья раскачивались и вырывались из земли... Над нашим кэйворитом давление воздуха сверху прекратилось, воздух же по сторонам кэйворита продолжал давить... Образовался как бы атмосферный фонтан... бьющий в небесное пространство! Через него улетучилась бы вся земная атмосфера!»

Допустим, что в вашем распоряжении действительно есть лист кэйворита диаметром 5 м, лежащий на земле. Произойдет ли все то, что описано Уэллсом?

Б.

Нарисуйте все составляющие силы тяготения, действующей на молекулу воздуха, находящуюся на высоте 10 м над лежащим на земле листом кэйворита.

В.

На рис. 37 показан лист кэйворита K и молекула A, висящая над листом. Видно, что молекула A экранирована от той части земного шара, которая находится в конусе BAC, но по-прежнему притягивается остальными частями земного шара. Близкие к горизонту части Земли дают силы 1 и 1', почти диаметрально противоположные друг другу и поэтому почти полностью компенсирующиеся. Близкие к конусу BAC части Земли дают силы 2 и 2', почти параллельные друг другу и поэтому при сложении дающие заметную равнодействующую, направленную вертикально (сквозь лист кэйворита!). Стрелки, направленные из-под горизонта к молекуле A, показывают силы, с которыми отдельные части Земли притягиваются к молекуле A в соответствии с третьим законом Ньютона. Итак, экранирование равнодействующей, как это ни удивительно для многих, не равноценно экранированию ее составляющих. Здесь особенно отчетливо видна разница между составляющими сил, существующих физически, и их равнодействующей, вводимой в физику как некоторая математическая абстракция, удобная в большинстве случаев, но непригодная в рассматриваемом.

Рис. 37.

Легко видеть, что для молекул, находящихся на большей высоте (например, 100 м) над листом, экранируемая часть силы тяготения оказывается существенно меньше: конус BAC будет иметь угол при вершине примерно в 10 раз меньше, отчего телесный угол конуса и экранируемая часть земного тяготения уменьшаются примерно в 100 раз. В итоге на высоте порядка 100 м экранирующим действием кэйворита уже практически можно пренебречь.

Таким образом, мнение Уэллса, что «над нашим кэйворитом давление воздуха сверху прекратилось... Образовался как бы атмосферный фонтан... бьющий в небесное пространство», ошибочно. А поэтому ошибочна и вся грандиозная картина катастрофы. Некоторое ослабление веса воздуха будет только на нескольких десятках метров над листом.

Это дает эффект «тяги» примерно такой же, как у горящего костра, через который, однако, атмосфера не улетучивается в межпланетное пространство и деревья с корнем не вырываются.

Полное экранирование тяготения будет только для молекул воздуха, «лежащих» на самом листе. Но даже это не означает, что они не будут давить на лист. Лежащая молекула возможна только при абсолютном нуле температуры. При обычных температурах молекулы движутся весьма быстро и давление на препятствие есть результат бомбардировки препятствия быстрыми молекулами. Даже лежащая на кэйворите молекула быстро пришла бы в движение под действием ударов, полученных прямо или косвенно от молекул, движущихся вне конуса экранировки. Поскольку температура воздуха (определяющая скорость молекул) на листе та же, что и вдали от него, то атмосферное давление на кэйворите было бы практически тем же, что и рядом с ним. Ничтожный эффект экранировки как бы размазывается на значительно большее пространство посредством обмена ударами между молекулами.

Можно ли, однако, применить кэйворит для космического полета, как это сделано у Уэллса? (О возможности изготовления самого кэйворита мы с вами не будем высказываться, чтобы не прослыть ретроградами.) Можно, но для этого нужно использовать его не в форме листа, а в форме кастрюли. Крышку ее можно сделать из обычных материалов.

Борта кастрюли будут экранировать ее содержимое от тех составляющих силы тяготения, с которыми не справился рассмотренный ранее лист. Если кастрюля герметизирована, то ее поведение в воздухе сначала будет напоминать поведение аэростата. Правда, наш аэростат наполнен не гелием, не водородом, а невесомым газом, однако подъемная сила его лишь незначительно превысит подъемную силу водородного аэростата. В самом деле, подъемная сила F для некоторого газа равна разности веса воздуха, вытесненного газом, и веса самого газа. Удельная подъемная сила для водорода

F₁ = 1,29 – 0,089 ≈ 1,20 кгс/м³ = 11,8 Н/м³,

для невесомого газа

F₂ = 1,29 – 0 = 1,29 кгс/м³ = 12,7 Н/м³.

Правда, скорость подъема нашей кастрюли будет заметно выше, так как на ней нет тормозящего груза внешней гондолы, да и сама оболочка (кэйворит) ничего не весит. Однако она не будет бесконечно большой: кэйворит экранирует силу тяжести, но не уничтожает массу. Содержимое кастрюли – космонавты, аппаратура и др.– будет той массой, к которой приложена подъемная сила. Если у обычного аэростата подъемная сила, например, вдвое превышает вес, то аэростат, если пренебречь аэродинамическим сопротивлением воздуха, будет подниматься с ускорением g (а полная нагрузка на космонавтов – 2g). Аэростат из кэйворита при прочих равных условиях будет подниматься с ускорением 2g (нагрузка на космонавтов – по-прежнему 2g). Обычный аэростат остановится на некоторой равновесной высоте (плотность воздуха и подъемная сила убывают с высотой); аэростат из кэйворита будет подниматься дальше, с меньшим ускорением, но возрастающей скоростью, а за пределами атмосферы будет двигаться с постоянной скоростью по инерции. Разумеется, учет аэродинамического сопротивления воздуха привел бы к менее эффектным результатам.

Рис. 38.

Поднявшись на высоту, с которой земной шар виден под небольшим углом, можно было бы уже вместо кастрюли обойтись и листом из кэйворита (рис. 38). Теперь он полностью экранирует земное тяготение (в конусе OAB). Однако если вы хотите бросить прощальный взгляд на Землю и для этого высунете голову из конуса (кэйворит непрозрачен!), то голова будет притягиваться к Земле и ваше сооружение под действием силы P перевернется. Конечно, не составляет труда изобрести стабилизирующие устройства, но этим заняться лучше потом, после изобретения кэйворита (а вдруг он окажется прозрачным для света и высовываться не понадобится!). А удастся ли высунуть голову? Студент Е.С. Сметанников (Мозырь) вполне законно требует соблюдения закона сохранения энергии (но не от Г. Уэллса, а от кэйворита). В конусе тени OAB потенциальная энергия головы (разумеется, речь идет не о творческом потенциале разума, а о механике) равна той, которая была на старте, так как при подъеме вне поля тяготения (на кэйворите) она не могла возрасти. Высунувшись же, голова вдруг обретает потенциальную энергию, определяемую полем тяготения и высотой. Это парадокс, который разрешается читателем так: граница гравитационной тени кэйворита является энергетическим барьером, на пробивание которого изнутри требуется потратить все, что мы сэкономили при подъеме, но зато при возвращении в конус вновь приобрели. Это остроумно, но тогда возникает другой парадокс: воздух, в котором поднимается кэйворит, должен засасываться внутрь конуса беспредельно (потенциальная яма!), но не вырываться из конуса (барьер!), а уплотняться и разогреваться (за счет превращения его потенциальной энергии в кинетическую энергию молекул). Причем у Земли этого не будет, а с ростом высоты этот эффект усиливается. А при спуске на кэйворите в шахту (отрицательная высота) – все наоборот?

Видимо, что-то важное должно происходить на старте, как только мы заносим ногу на кэйворит. А что? Кем-то сказано: «Все правдоподобно о неизвестном!» Хорошо сказано. Подождем, повторяюсь, изобретения кэйворита.

Оглавление

III. Летим мы по вольному свету