А.

Имеется один литр горячей воды с температурой t₁ и один литр холодной с температурой t₂. При помощи горячей воды нагревают холодную. Можно ли сделать так, чтобы окончательная температура литра нагреваемой воды стала выше окончательной температуры нагревающей воды?

Б.

Обычно немедленно и категорически отвечают:

– Нельзя! Процесс теплопередачи прекратится, когда температура обоих литров воды станет одинаковой. Чтобы процесс шел дальше, нужно, чтобы тепло передавалось от холодного тела к более горячему, а это противоречит второму началу термодинамики! Если бы это было возможно, то возможен был бы и «вечный двигатель».

Мы уважаем второе начало термодинамики и вовсе не предлагаем вам его нарушить. Клаузиус прав*! Тем не менее рекомендуем вам попытаться изобрести способ решить задачу. Малую часть (1 см³) холодной воды с помощью литра горячей мы могли бы нагреть почти до t₁. Вот стóящая идея! Надо попробовать разделить нагреваемую воду на части и нагревать их поочередно.

В.

Пусть в термосе А (рис. 143) находится горячая вода, в термосе Б – холодная. Нальем в сосуд В с тонкими теплопроводными стенками часть холодной воды и опустим сосуд В в горячую воду (термос А). Через некоторое время температура воды в А и В сравняется, причем установится некоторая промежуточная температура x, так что

t₁ > x > t₂.

Выльем нагретую до x воду из В в термос Г. Нальем в сосуд В оставшуюся холодную воду (с температурой t₂) и опять погрузим В в А. Температура в А и В снова сравняется и станет равной y, причем x > y > t₂.

Рис. 143. Процессы, происходящие при разделении нагреваемой воды

Перельем воду из В в Г. Там в результате смешивания обеих частей нагреваемой воды, имеющих температуры x и y, получим некоторую среднюю температуру z:

x > z > y.

В воде же, которая была горячей, установится температура у, которая меньше z. Именно это и требовалось условиями задачи. Проследите еще раз за всеми рассуждениями, чтобы убедиться, что мы не нарушали законов термодинамики, а, наоборот, все время ими руководствовались.

Пример: если t₁ = 95°C и t₂ = 5°C, то, разделяя холодную воду на две равные части и применяя к ней изложенную выше процедуру, имеем

x = (2t₁ + t₁) / 3 = (2 · 95 + 5) / 3 = 65°C;

y = (2x + t₂) / 3 = (2 · 65 + 5) / 3 = 45°C.

Это и будет окончательная температура «горячей» воды. А для «холодной»:

z = (x + y) / 2 = (65 + 45) / 2 = 55°C > 45°C.

Из-за неизбежных потерь тепла на нагрев посуды эта разница (а главным образом сами значения y и z) будет несколько меньше. Но знак неравенства сохранится.

То же самое произошло бы, если бы мы разделили пополам не холодную, а горячую воду.

Отметим, что, разделяя холодную воду не на две, а больше частей, можно получить окончательную ее температуру еще более высокой. Эта возможность в более совершенном воплощении используется в технике при теплопередаче от одного жидкого или газообразного тела к другому. Если нагреваемую и нагревающую жидкости пустить по внутренней Б и внешней А трубам попутно (рис. 144, а), то на выходе температура обеих жидкостей будет приблизительно одинаковой. Если же пустить жидкости по трубам навстречу друг другу (рис. 144, б), то при достаточно длинных трубах и правильно выбранных сечениях и скоростях жидкостей последние почти целиком обменяются температурой (не считая начальной и конечной порций воды, соответствующих переходным процессам включения и выключения установки).

Рис. 144. Процессы, происходящие в установке с разделением потоков воды: а) нагреваемая и нагревающая жидкости движутся попутно; б) жидкости движутся навстречу

На графиках по оси абсцисс отложено расстояние вдоль трубы, по оси ординат – температура. Стрелками в трубах показано направление движения жидкости, стрелками на кривых – ход температуры. Из рис. 144, б видно, что z >> y, т.е. окончательная температура нагреваемой жидкости существенно выше окончательной температуры нагревающей.

В таком виде задача впервые была опубликована автором в журнале «Физика в школе» (1956, № 3). В дальнейшем, при перепечатке в сборниках парадоксов, некоторые из авторов сделали к ней небольшое дополнение, к сожалению, ошибочное. О нем сейчас пойдет речь.

Вернемся от труб со встречными потоками жидкостей к двум неподвижным литрам и рассмотрим вопрос: что будет, если холодную (или горячую) воду разделить не на две, а на десять, сто, тысячу или более частей? Интуитивно чувствуется, что температура холодной воды будет все выше и выше. Что же будет при бесконечно мелких частях? Загипнотизированные случаем с трубами, все в один голос заявляют, что горячая и холодная вода полностью (или «почти полностью») обменяются температурой!

То, что это неверно, легко показать без всяких вычислений. Только первая бесконечно малая порция холодной воды приобретет первоначальную температуру горячей. Последняя же порция приобретет температуру, равную окончательной температуре горячей. Значит, различные части холодной воды нагреются до разных температур, при их смешении температура окажется некоторой средней. А чтобы холодный литр приобрел первоначальную температуру горячего, нужно, чтобы эту температуру приобрели все его порции, что невозможно.

Теперь немного вычислений. Пусть t₁ = 100°C и t₂ = 0°C (с такими круглыми цифрами легче считать). Разделив холодную воду на десять равных частей, после первого теплообмена получаем температуру горячей воды

x₁ = 10 / (10 + 1) t₁,

после второго

x₂ = (10 / 11) x₁ = (10 / 11) 2t₁,

а после десятого

y = x₁₀ = (10 / 11)¹⁰ t₁ ≈ 100°C / 2,59 ≈ 38,5°C.

Окончательную температуру «холодной» воды можно найти смешивая все ее десять частей:

z = (x₁ + x₂ + ... + x₁₀) / 10.

Но еще проще ее найти из того условия, что при равенстве масс и теплоемкостей холодная нагреется на столько, на сколько остынет горячая, т.е.

z = t₂ + (t₁ – y) = 0 + 100 – 38,5 = 61,5°C.

Любопытно, что дальнейшее дробление холодной воды уже мало что дает для ее нагрева: разделив на сто частей, мы получили бы

y = x₁₀₀ = (100 / [100 + 1])¹⁰⁰ t₁ ≈ 37,2°C; z ≈ 62,8°C.

Это только на 1,3°C выше, чем при делении на 10 частей. В общем случае, деля воду на n равных частей, мы получаем

y = xn = (n / [n + 1])ⁿ t₁ = ([n + 1] / n) – n t₁ = (1 + [1/n])^–n t₁.

Студенты первого курса института уже знают (а школьники узнают, когда будут студентами), что знаменатель последнего выражения при неограниченном возрастании n не растет неограниченно, а стремится к вполне определенному числу. Это число для математики и физики не менее важно, чем знаменитое число π, и, подобно π, этому числу дано свое обозначение. Его называют основанием натуральных логарифмов и обозначают буквой e:

e = 2,71828...

Итак, окончательная температура «горячего» литра не может спуститься ниже

y = t₁ / e = 100 / 2,71828... = 36,787...°C,**

а «холодного» – подняться выше z = 100 – 36,787 = 63,213°C, т.е. литры не обменялись температурами ни полностью, ни «почти полностью». Отметим, что эти цифры получены в предположении, что теплоемкость воды не зависит от температуры, что не совсем верно.

В общем случае, когда температура «холодной» воды не 0°C, а t₂, формула для окончательной температуры «горячей» воды имеет вид

y = (t₁ – t₂) / e + t₂.

Мы рассмотрели случай, когда на части делится или холодная или горячая вода. Читатель В.Д. Шнайдер (Дубна) показал, что если на части делится и холодная и горячая вода, то теплообмен происходит глубже. Однако для этого нужно не только разделить оба литра на порции, но еще и делать теплообмен встречно: выстроить из горячих порций один «поезд», а из холодных – другой, и пустить эти «поезда» навстречу друг другу по теплообменнику. Нетрудно видеть, что, мельча порции до бесконечно малых и двигая их навстречу друг другу, мы получаем теплообменник рис. 144, б, работа которого уже описана и который действительно лучше в силу встречности потоков.

* По крайней мере пока речь идет о литре, а не о десятке-другом молекул воды.

** То, что это число неплохо совпадает с такой важной константой, как нормальная температура человеческого тела, читателей, склонных к мистике может настроить на размышления о гармонии, ниспосланной свыше. Чтобы подлить масла в лампаду, отметим, что совпадение имеет место на всех шкалах температуры, в том числе Реомюра, Фаренгейта и Кельвина. Однако магическую силу этого числа в корне подрывает то обстоятельство, что у кур, например, нормальная температура 42°C. Правда, можно возразить, что венцом мироздания являются все-таки не куры, а человек. Но такое возражение в данном случае не имеет силы, так как оно сделано человеком. Вполне возможно, что куры об этом иного мнения. Впрочем, может быть, в формулу нужно подставлять температуру плавления и кипения не воды, а растворов солей, входящих в состав человеческой и соответственно куриной крови, – и мы получим физико-физиологический закон, которому подчиняются все теплокровные животные?

Оглавление

А.

Как известно, чтобы нагреть 1 кг воды на 1°C, требуется 1 ккал тепла (это точно при 20°C, но приблизительно верно и при других значениях температуры).

Можно ли прокипятить 100 л воды, имеющей температуру 20°C, затратив только 3000 ккал и не прибегая к другим источникам энергии?

Б.

– Знаем мы эти штучки! Поднимем воду на надлежащую высоту – и она закипит. Температура кипения зависит от давления. С помощью 3000 ккал 100 л можно нагреть на 30°C, т.е. до 50°C. Если это сделать там, где атмосферное давление составляет лишь 100 мм рт.ст. (т.е. на высоте порядка 14 км), то вода закипит при 50°C. А можно и не подниматься на такую высоту, а просто поставить воду под колпак, из-под которого откачать воздух. Если постараться, то можно добиться такого давления, при котором вода закипит даже без всяких добавочных калорий при 20°C.

Эти способы не соответствуют условиям задачи: чтобы поднять воду на высоту или откачать из-под колпака воздух (и образующиеся при кипении водяные пары), понадобится дополнительная энергия.

Требуется прокипятить воду в обычных условиях, на обычной высоте. Прочитайте еще раз задачу «Холодная вода теплее горячей». Она подскажет способ решения или по крайней мере даст вам полезную уверенность, что чудеса на свете все-таки бывают.

В.

Довести одновременно до температуры 100°C все 100 л воды с помощью отведенного нам тепла невозможно. Но в задаче нет требования, чтобы вся вода кипела одновременно. Будем доводить ее до кипения по частям, а недостающее для подогрева холодной воды тепло будем извлекать из уже прокипевшей. Остывая, она не перестанет быть кипяченой (не потеряет своего главного достоинства, ради которого ее обычно кипятят, – отсутствия живых микробов). Задача легко решается путем небольшой переделки устройства, изображенного на рис. 144 (см. задачу 96).

Холодная вода поступает в отверстие А (рис. 145, а) наружной трубы, движется по трубе вправо, постепенно нагреваясь, кипит в точке Б (источник тепла Т показан условно) и по внутренней трубе идет к В, отдавая тепло движущейся навстречу холодной воде (для лучшей отдачи внутреннюю трубу можно выполнить в форме змеевика). Таким образом, на вход А подается холодная сырая вода, а с выхода В снимается холодная кипяченая.

Рис. 145. Устройство для кипячения воды по частям: а) схема устройства; б) график распределения температуры вдоль трубы

На рис. 145, б показано распределение температуры t вдоль трубы (нижняя ветвь графика – для внешней трубы, верхняя – для внутренней). Крутизна графика в каждой точке (скорость изменения температуры) пропорциональна разности температур Δt в этой точке. С помощью графика можно определить, какая часть воды имеет ту или иную температуру. Так, если, например, в каждой из труб по 10 л воды, то не более 2 л имеют температуру от 90 до 100°C (определяется отрезком оси l, находящимся под той частью графика, где 90°C < t < 100°C), и т.д. Видно, что средняя температура воды, находящейся в трубах, порядка 50°C, а средняя для всех 100 л – намного меньше, потому что еще не вошедшая и уже вышедшая вода (80 л) имеет температуру, очень близкую к 20°C. Следовательно, отпущенной нам энергии хватит для реализации замысла.

Правда, этот график является только иллюстрацией, но не доказательством. Он не учитывает того, что при кипении много тепла можно потерять на парообразование. Воду надо только доводить до кипения и тут же отправлять ее во внутреннюю трубу. Не учитывается, что часть тепла будет потеряна на нагрев трубы. Кроме того, последние литры воды, прокипев, будут возвращаться неостывшими (холодная вода кончилась), что тоже снижает эффективность нашего кипятильника. Впрочем, последние два недостатка несущественны, если кипятильник работает очень долго, т.е. кипятит не 100 л с помощью 3000 ккал, а, например, 100 000 л с помощью 3 000 000 ккал.

Оглавление

А.

Океанский пароход отправляется из Ленинграда через Гибралтар в Одессу. Ввиду ожидающихся в Бискайском заливе штормов строго запрещено перегружать пароход. Между тем капитан разрешил продолжать погрузку, хотя ватерлиния (линия на корпусе судна, отмечающая допустимую глубину погружения) уже скрылась под водой. Что это: лихачество или точный расчет?

Б.

Если вы думаете, что капитан учел ту массу топлива и продовольствия, которая будет израсходована в пути до Бискайского залива, то имейте в виду, что это мелочь. Если вы хотите привлечь к объяснению центробежную силу инерции (вследствие вращения Земли), которая в Бискайском заливе больше, чем в Ленинграде, то учтите, что она одинаково действует и на пароход, и на воду и не влияет на положение ватерлинии.

В.

В Ленинградском порту вода пресная (в этом виновата полноводная Нева и мелководная Балтика). Плотность ее можно принять за единицу. В Бискайском заливе вода соленая, плотность – около 1,03. В соответствии с законом Архимеда в Бискайском заливе по сравнению с Ленинградом корабль тех же размеров может быть на 3% тяжелее при той же осадке. А если полезный груз составляет только половину всей массы корабля, то 3% от массы всего корабля составляют 6% полезного груза. После того как корабль в Ленинграде нагружен до ватерлинии, можно прибавить еще 6% груза (считая уже размещенный груз за 100%).

Часто для облегчения расчетов при погрузке на корпусе корабля наносятся две ватерлинии, одна из которых соответствует пресной речной воде, вторая – соленой морской.

Оглавление

А.

Сидя на набережной у деревянных мостков, понаблюдайте за концом мостков, когда на него набегает волна. Доска поднимается, но затем, когда волна сбегает, возвращается на старое место. Почему?

Б.

– Закон Архимеда! Доска просто всплывает!

Но ведь доска прибита гвоздями к столбу, заколоченному в дно водоема. Еще более решительное возражение: почему гранитные ступени набережной Невы у подножия сфинксов тоже поднимаются и опускаются в такт с волной?

В.

Как известно, загадки сфинкса невозможно отгадать. Наша загадка менее замысловата: нужно принимать во внимание не закон Архимеда, а закон преломления света.

Рис. 146. Свет преломляется и ступенька кажется приподнятой

Если ступенька A (рис. 146) свободна от воды (уровень воды 11'), то наблюдатель O видит ее по прямой OA. Если вода поднимается до уровня 22', то луч света от точки A сможет попасть в глаз только по ломаной ABO, т.е. направление OB, в котором глаз видит точку A, поднимается вверх на угол γ, отчего ступенька кажется приподнятой. Если вода поднимется еще выше (33'), то и ступенька поднимется больше (δ > γ).

В качестве курьеза можно отметить, что если бы вы были более упрямы, то могли бы настаивать на том, что и гранитная ступенька поднимается под действием закона Архимеда, – и вы были бы отчасти правы. И это несмотря на то, что гранит намного тяжелее воды. Представим, что ступенька укреплена на упругом основании (толстый слой резины) и нависает над водой. Ступенька согнула резину и опустилась. Когда набежит волна, ступенька потеряет часть веса, отчего прогиб резины уменьшится и каменная ступенька поднимется! Любое основание обладает определенной упругостью, правда, меньшей, чем резина. Поэтому любитель поспорить может утверждать, что и каменная ступенька, укрепленная в грунте, немножко поднимается.

Оглавление

А.

Рис. 147. Будет ли эта зубчатая передача работать?

На рис. 147 вы видите зубчатую передачу. Самая большая шестерня является ведущей. Она вращает вторую, меньшую; та в свою очередь – третью, еще меньшую, и т.д. Наконец, последняя шестерня находится в зацеплении с первой. Будет ли эта зубчатая передача работать?

Б.

– Нет, не будет! – дружно отвечают все, и автор с этим согласен. Но невозможно согласиться с объяснением причин неработоспособности соединения, которые приводит большинство читателей. Вот это объяснение.

Пусть самую большую шестерню мы вращаем медленно. Число зубьев второй шестерни меньше, чем первой. Следовательно, число оборотов ее больше. Число оборотов третьей шестерни еще больше, и т.д. В результате последняя шестерня вращается сама и должна вращать первую с огромной скоростью. Но ведь мы условились, что первая вращается медленно. Не может же она вращаться одновременно и медленно, и быстро!

То, что это неправильный ответ, выясняется из простого расчета. Передаточное число каждой пары шестерен равно отношению их чисел зубьев z, или отношению их радиусов. Для пар шестерен 1–2, 2–3, 3–4, 4–5, 5–1 передаточные числа равны соответственно

z₁ / z₂, z₂ / z₃, z₃ / z₄, z₄ / z₅, z₅ / z₁,

а их произведение

z₁z₂z₃z₄z₅ / z₂z₃z₄z₅z₁ = 1,

так как все сомножители числителя сокращаются с соответствующими сомножителями знаменателя. Значит, число оборотов, которое пятая шестерня задает первой, равно собственному числу оборотов первой шестерни. Следовательно, первую шестерню никто не заставляет вращаться одновременно с двумя скоростями разной величины.

Еще проще это доказывается тем, что поворот первой шестерни на один зуб должен вызвать поворот остальных (в том числе и пятой, а следовательно, и снова первой) тоже именно на один зуб, так как они находятся в зацеплении.

Модули линейных скоростей всех шестерен одинаковы! Различаются лишь угловые скорости.

И все-таки эта передача работать не может! Но дело тут в другом.

В.

Передача не может работать потому, что последняя шестерня будет пытаться повернуть первую в направлении, противоположном тому, которое мы ей задаем.

Зададим, например, первой шестерне вращение по часовой стрелке. Тогда вторая будет вращаться против часовой стрелки, третья – по стрелке, четвертая – против, пятая – по часовой стрелке и будет пытаться повернуть первую против часовой стрелки, причем в точности с тем же усилием, с которым мы поворачиваем ее по стрелке. В результате нашим усилиям, как бы они ни были велики, всегда противостоит равное по величине и противоположное по направлению усилие пятой шестерни (или, если угодно, второй: ведь эту же передачу можно рассматривать и в обратном порядке).

Передачи, подобные рассмотренной, могут работать только при четном количестве шестерен.

Все свойства зубчатых (и других) передач описываются более полно, если передаточным числам приписывается не только величина, но и знак, причем минус соответствует изменению направления вращения. Пара шестерен в зацеплении имеет отрицательное передаточное число. Рассматриваемая передача содержит пять зацеплений, а произведение пяти отрицательных чисел есть отрицательное число (в данном случае это –1).

Оглавление

А.

Ночные бабочки для своей навигации используют Луну. Приняв намерение лететь из точки A в точку F по прямой, бабочка «измеряет» угол φ между направлением на Луну AL (рис. 148) и направлением на цель своего полета AF.

Рис. 148. Навигация ночной бабочки по Луне

В дальнейшем, чтобы лететь по прямой, бабочка просто поддерживает этот угол постоянным, т.е. летит так, чтобы Луна держалась в ее поле зрения строго фиксированным образом*.

А какова будет траектория полета бабочки, если она вместо Луны ошибочно использует уличный фонарь?

Б.

Луну в данной задаче можно рассматривать как бесконечно далекий источник света. Направления на Луну из всех точек трассы бабочки (AL, BL, CL, ...) параллельны друг другу. Благодаря этому поддержание постоянства угла φ и обеспечивает прямолинейность полета. Фонарь же находится на конечном расстоянии. Поэтому направление на фонарь (а при постоянстве угла φ и направление полета) непрерывно меняется. Постройте траекторию полета бабочки вокруг фонаря.

В.

Направления на фонарь O (рис. 149) из точек A, B, C, ... не параллельны. Бабочка, в точке A взявшая курс под углом φ к направлению на фонарь, летит к точке B. Поскольку в точке B направление на фонарь изменилось на угол α (AOB), то, выдерживая φ = const, бабочка вынуждена изменить свое первоначальное направление полета также на угол α (CBC'). То же она вынуждена повторить в точках C, D, ...

Рис. 149. Траектория бабочки, корректирующей направление полета по фонарю

Если бы бабочка корректировала свою траекторию только в точках B, C, ..., то ее путь изобразился бы ломаной ABC... На самом деле направлений на фонарь меняется непрерывно, что вынуждает бабочку также непрерывно корректировать направление полета. В результате ее путь изображается плавной кривой (например, M). Кривая, пересекающая под постоянным углом все радиусы, исходящие из данной точки, называется логарифмической спиралью. Она уже встречалась нам в задаче «Путешествие на северо-восток». Там она представляла собой последний, околополярный участок пути туриста, отправившегося на северо-восток.

Двигаясь по логарифмической спирали, бабочка будет или непрерывно сближаться с фонарем, если φ < 90°, или непрерывно удаляться от него (по «разматывающейся» спирали), если φ > 90°. Если она выберет φ = 90°, то ее путь вокруг фонаря будет окружностью. Чем ближе угол φ к 90°, тем теснее друг к другу витки спирали, описываемой бабочкой. Точно так же летел бы самолет, ориентирующийся по некоторой наземной радиостанции (с помощью радиокомпаса) и соблюдающий условие φ = const.

Вы, разумеется, не раз видели это явление в действии. Замечали и отступления от нарисованной картины. Бабочка рано или поздно замечает, что «Луна» ведет себя странным образом; увеличивается в размерах, начинает ярче светить и даже греть. Заподозрив, что с Луной что-то неладно, бабочка принимает решение изменить навигационный угол φ, отчего она переходит на другую спираль, более крутую или более пологую. Приняв φ > 90°, она удалится от фонаря, но при первой же попытке лететь под углом меньше 90° она снова приблизится к нему.

Это явление можно положить в основу световой ловушки для некоторых видов вредных насекомых.

Есть и другая причина, отклоняющая бабочку от идеальной логарифмической спирали. Это сила инерции. При пользовании настоящей Луной бабочка летит по прямой, чему инерция не препятствует. При полете по логарифмической спирали на бабочку действует сила инерции, сбивающая ее со спирали, особенно на внутренних, очень искривленных витках.

Мы рассмотрели плоскую картину. На самом деле фонарь и бабочка находятся в трехмерном пространстве. Рассмотрите трехмерный случай сами.

Советуем вам проделать забавный и поучительный эксперимент. Для этого необходимо иметь два источника света с выключателями. Когда в комнату залетит ночная бабочка и начнет кружить вокруг одной из ламп, выключите эту лампу (вторая должна остаться включенной, иначе вы в темноте не увидите, дальнейшего поведения бабочки). В момент выключения бабочка переходит со спирали на прямой полет по касательной к этой спирали и, как правило, на полном ходу врезается в стену. Ошарашенная случившимся (Луна погасла! И синяк на лбу!), она некоторое время осмысливает эти странные события с философских позиций. Впрочем, философствует она недолго. Обнаружив свет второй лампы, она решает, что никакой катастрофы во Вселенной не было, и начинает кружить вокруг второй лампы. Более того, если бабочка при выключении первой лампы избежит удара головой о стену, то она вообще не находит повода для сомнений и сразу же переходит к другой лампе.

Кроме предмета забавы, в поведении бабочки есть предмет и для восхищения: навигационная система бабочки весит доли миллиграмма, для ее функционирования достаточно мельчайшей росинки нектара; причем в работе она очень надежна. Навигационные системы, создаваемые человеком для решения аналогичных задач, весят пока десятки килограммов, потребляют киловатты энергии и на удар о стену реагируют весьма болезненно. Впрочем, может быть, принцип навигации бабочки совсем иной? Будем надеяться, что бионика узнает это в свое время. И тогда мы сумеем перенести принципы, выработанные за многие миллионы лет естественного отбора кибернетическим устройством, управляющим полетом бабочки, в наши навигационные, системы.

* Как известно, глаз насекомого состоит из множества ячеек (омматидиев), напоминающих трубочки, каждая из которых способна принимать свет только с одного направления. Бабочка должна держать Луну в поле зрения одних и тех же трубочек, и тогда ориентация ее головы будет выдерживаться постоянной.

Оглавление

А.

Вы находитесь в комнате и наблюдаете отражение лампового абажура (или другого крупного предмета) в оконном стекле. Почему, когда открывают дверь, изображение абажура на мгновение уменьшается, когда закрывают – увеличивается (в некоторых комнатах – наоборот)?

Б.

Проделайте этот эксперимент в комнатах с дверью, открывающейся наружу и внутрь комнаты. Посмотрите, в какой из комнат изображение при открывании двери увеличивается, а в какой, наоборот, уменьшается. Если вас постигнет неудача и вы не увидите этого загадочного явления, то не отчаивайтесь: немного воображения, размышлений – и вы сумеете не только объяснить это явление, но даже уверенно предсказать, как должна выглядеть комната, в которой эксперимент получится наиболее выразительно. Ну, а если теоретизирование все же не помогает, то нажмите на стекло пальцем.

В.

Если дверь открывается в коридор, то, открывая ее, мы создаем разрежение воздуха в комнате. Давление воздуха на оконное стекло извне оказывается больше, чем изнутри. Стекло прогибается внутрь комнаты и превращается для нас из плоского зеркала в выпуклое, отчего размеры изображения уменьшаются. Через мгновение давление выравнивается, и изображение принимает первоначальные размеры. При закрывании дверь захватывает в комнату часть воздуха из коридора, давление в комнате возрастает, зеркало оконного стекла становится вогнутым, отчего изображение увеличивается. Однако и это состояние длится лишь мгновение: через оконные и дверные щели избыточный воздух быстро уходит из комнаты, и давление выравнивается.

В тех комнатах, где дверь открывается не наружу, а внутрь комнаты, все происходит наоборот: в момент открывания двери изображение увеличивается, в момент закрывания – уменьшается.

Описанное явление тем сильнее выражено, чем меньше толщина и больше площадь каждого стекла и чем герметичнее и меньше комната. Опыт лучше удается зимой, когда все щели законопачены.

В двойном окне видны два изображения, разнесенные по глубине на двойное расстояние между стеклами. Дальнее изображение (в дальнем стекле) деформируется существенно меньше ближнего. Это и не удивительно: при одинаковом прогибе обоих стекол объем воздуха между стеклами не изменился бы, а значит, не изменилось бы и давление на внешнее стекло. Но тогда прогиб внешнего стекла был бы равен нулю. Налицо противоречие, которое разрешается при меньшем прогибе внешнего стекла.

* Обращаем внимание специалистов кибернетики на то, что это высказывание Пруткова является первой в мировой литературе и предельно четкой формулировкой проблемы «черного ящика», а также первым в этой области опубликованным результатом эксперимента.

Оглавление

А.

Источник сильного гамма-излучения (не обязательно ядерный взрыв) находится в точке A (рис. 150). В распоряжении наблюдателя B для защиты от излучения имеется толстый цилиндр бетона, у C - тонкий цилиндр той же длины (но с сечением, достаточным для того, чтобы за ним полностью спрятаться).

Расстояния наблюдателей, как и цилиндров, от источника A одинаковы и велики, оси обоих цилиндров ориентированы точно на источник. Какой из наблюдателей надежнее защищен?

Рис. 150. Какой из наблюдателей надежнее защищен?

Б.

Инстинктивно хочется спрятаться за цилиндр потолще, но потом начинает брать верх здравый смысл, который подсказывает, что поскольку сечение тонкого цилиндра тоже достаточно велико, чтобы в него вписался человек, то, следовательно, безразлично, куда прятаться.

А теперь вспомним, что у кванта гамма-излучения, вошедшего в толщу бетона, судьба троякая: либо он будет поглощен (1 на рис. 151), либо пройдет сквозь преграду беспрепятственно (2), либо, столкнувшись с электроном вещества, отклонится на некоторый угол (3). Все зависит от случая. При большом количестве квантов наверняка произойдет и то, и другое, и третье в пропорции, зависящей от энергии кванта. Эта пропорция может нас не интересовать, если задача решается только качественно. Из показанных на рис. 151 квантов опасным для наблюдателя C оказался только квант 2.

Рис. 151. Траектории движения квантов гамма-излучения в бетоне

Будем считать окружающий цилиндр воздух полностью прозрачным для квантов. Это вполне допустимо, если учесть, что поглощение в воздухе намного слабее, чем в бетоне.

Советуем, чтобы придать задаче наглядность, заменить мысленно бетон матовым стеклом, а невидимые и поэтому несколько таинственные гамма-кванты - более привычными нам световыми квантами (можно было бы сильно раскритиковать такую замену, но для качественного решения задачи она приемлема). Какой из наблюдателей будет сильнее освещен?

В.

Матовый цилиндр будет освещать наблюдателя торцовой стенкой. У толстого цилиндра эта стенка больше, а ее яркость будет приблизительно той же. Поэтому наблюдатель B будет освещен сильнее. Правда, здесь нужно было бы учесть роль полного внутреннего отражения от боковых стенок цилиндра и некоторые другие явления, протекающие неодинаково для световых и гамма-лучей.

Рис. 152. Поведение отдельных гамма-квантов

Рассмотрим поведение отдельных гамма-квантов. На рис. 152 показан большой цилиндр и пунктиром - вписанный в него маленький, причем судьба квантов 1, 2 и 3 показана такой же, как и на рис. 151. Если бы цилиндр был тонким, то все остальные (из показанных на рис. 152) кванты двигались бы в воздухе параллельно цилиндру и, следовательно, не представляли бы для наблюдателя В никакой опасности. Опасным был бы только квант 2.

Но толстый цилиндр захватывает и другие кванты. Проследим за судьбами тех квантов, которые проходят внутри большого (но вне малого) цилиндра. Среди них найдутся такие, которые будут поглощены сразу (4, 5) или после отклонения (6) и поэтому не повлияют на степень облучения наблюдателя B. Найдутся такие, которые пройдут без поглощения и рассеяния (7, 8) и тоже не попадут к наблюдателю. Самое интересное - поведение рассеянных квантов. Некоторые из них, претерпев одно (9), два (10, 14) или более отклонений, уйдут из цилиндра в безопасном для наблюдателя направлении. Но найдутся и такие, которые после одного (11), двух (12, 13) или более отклонений пойдут точно на наблюдателя, увеличив дозу его облучения. Еще раз подчеркиваем: если бы цилиндр был тонким, то кванты 11, 12, 13, двигаясь в воздухе прямолинейно, прошли бы мимо наблюдателя.

В ядерной физике это явление, а точнее, геометрические условия, возникающие в толстом цилиндре, получили название "плохой геометрии". Условия в тонком цилиндре, если он настолько тонок, что радиус цилиндра меньше средней длины пробега кванта от столкновения до столкновения, называют "хорошей геометрией". Поскольку обычно средняя длина пробега гамма-квантов измеряется сантиметрами, то за цилиндром с "хорошей" геометрией можно спрятать только мышь. Наш "тонкий" цилиндр обладает, так сказать, "посредственной" геометрией (внутри него вполне вероятны многократные отклонения квантов), что, конечно, лучше, чем "плохая".

Рис. 153. Прятаться за цилиндром лучше не у самого торца

Интересно, что прятаться за цилиндром лучше не у самого торца (рис. 153, точка B), а на некотором отдалении (точка D). При этом вы получите меньшую дозу тех квантов, которые рассеяны цилиндром, так как на большом расстоянии большинство их траекторий будут уже расходящимися и поэтому интенсивность облучения ими будет меняться обратно пропорционально квадрату расстояния от облучающего вас торца цилиндра (на не очень больших расстояниях эта зависимость не такая резкая, поскольку торец еще нельзя рассматривать как точечный источник).

Для наглядности можно опять привлечь матовое стекло: освещенность наблюдателя будет убывать по тому же закону, что и телесный угол, под которым наблюдатель видит торец. Слегка уменьшится и полученная вами доза квантов, прошедших сквозь цилиндр без рассеяния (она тоже обратно пропорциональна квадрату расстояния, но не от цилиндра, а от первичного источника гамма-квантов).

Однако не ошибитесь: на большом расстоянии от цилиндра вы можете не заметить, что сдвинулись из его тени (в точку E, например) и попали под прямые гамма-лучи, проходящие мимо цилиндра.

Оглавление

А.

В октябре случается, что выпадет снег и день-два устойчиво держится мороз в 1...2°C. Тем не менее, когда снова наступает потепление, многие растения оказываются живыми, зеленеющими и даже цветущими. Как им удается устоять? Ведь они не менее чем на 80% состоят из воды, а вода замерзает при 0°C. За двое суток они могли промерзнуть насквозь, и кристаллики льда, имеющие больший объем, чем вода, должны были бы разорвать ткани растения изнутри.

Б.

- Ну, это уже ботаника, а мы специалисты по точным наукам - математике и физике. Может быть, это "теплокровные" растения. Откуда нам знать тонкости биологии?

Мы не требуем от вас этих тонкостей. Достаточно, если вы перечислите физические причины морозостойкости растения. Попробуйте заморозить, хотя бы мысленно, выжатую из растения "воду".

В.

Первая и самая естественная физическая причина: растение заполнено не водой, а тем или иным физиологическим раствором. Любой из водных растворов замерзает при температуре ниже той, при которой замерзает чистая вода. Так, например, 3%-ный раствор щавелевой кислоты замерзает при -0,8°C, 13%-ный раствор сахара - при -0,9°C и т.д., а смеси разных растворов - при еще более низких температурах.

Можно назвать еще несколько чисто физических причин. Пока растение не замерзло, в нем продолжается подъем растворов по капиллярам (хотя и очень медленно из-за слабого испарения вблизи точки замерзания). При этом температура соков, исходящих от подземной части растения, намного выше нуля. Кроме того, многие растения покрыты волосками, в которых задерживается движение воздуха. В результате создается неподвижный слой воздуха, являющегося хорошим изолятором (шуба, хотя и очень тонкая).

Иногда высказывается мнение, что некоторые растения (подснежники) предохраняет от замерзания высокое давление сока в клетках (Вильчек Лех. Красочные встречи.- Варшава, 1965). Этот вопрос недостаточно изучен. Известно, что с повышением давления температура замерзания воды понижается. Но чтобы понизить ее хотя бы на 1°C, необходимо увеличение давления более чем на 100 атм. Следовательно, этот фактор не может быть решающим.

Все написанное относилось к однолетним растениям, которым при наступлении более серьезных морозов суждено все-таки погибнуть.

Многолетние растения (деревья, кустарники) переносят сильные морозы и вновь зеленеют весной. Для этого чисто физических средств уже недостаточно. Оказывается, эти растения осенью проводят целый комплекс физико-физиологических мероприятий по подготовке к зиме. Прежде всего, они сбрасывают то, что менее морозоустойчиво - листья, предварительно переведя из них основные ценности в ствол. Далее, многие растения осенью интенсивно накапливают сахар, понижая этим точку замерзания раствора. Но самым главным, пожалуй, является то, что клетки растения обезвоживаются: вода уходит из клеток в межклеточные пустоты, и лед внутри клетки почти не образуется.

Любопытно, что при быстром замораживании некоторые растения (смородина и др.) выдержали температуры, близкие к абсолютному нулю, потому что при этом образуется иная разновидность льда, отличающаяся от обычной тем, что она тяжелее воды, т.е. замерзание приводит не к расширению, а к сжатию, при этом кристаллики льда клеток не разрушают.

Оглавление

А.

Кубок по футболу разыгрывается по олимпийской системе; ничьих не бывает, к следующему туру допускается только победившая команда, проигравшая же выбывает из розыгрыша. Для завоевания кубка команда должна победить во всех турах.

Рис. 154. График розыгрыша

На участие в розыгрыше кубка поданы заявки от 16 389 команд. Сколько матчей будет сыграно, пока определится обладатель кубка? (Не путать число матчей с числом туров!)

Б.

- Сейчас подсчитаем! - охотно говорят любители футбола и затем, как правило, начинают строить график розыгрыша (рис. 154), отмечая точками матчи, подводя к ним снизу по две линии, изображающие команды-участницы, и отводят от них вверх по одной, изображающей команду-победительницу.

- Итак, должна победить одна команда. Следовательно, в финальном матче играют две команды (один матч), в полуфинальных - четыре (два матча), четвертьфинальных - восемь (четыре матча) и т.д.

Быстро убедившись, что график довести до конца не удастся, переходят к заменяющей его таблице. Удваиваются и удваиваются цифры, заполняются колонки, и, наконец, обнаруживается, что если бы число заявок было на пять меньше (16 384), то таблица была бы очень изящной (в двоичной системе счисления число 16 384 = 2¹⁴ оказывается круглым: 100 000 000 000 000). Но деваться от пяти "лишних" команд некуда: никто не хочет считать себя лишним. Придется бросить жребий: какие-то десять команд должны пройти еще одну ступень борьбы (см. самый нижний этаж рисунка), сыграть матчи между собой и этим уменьшить число оставшихся команд на пять и добавить самую нижнюю строку в таблицу.

- Ну, вот, самое трудное позади. Теперь остается сложить все цифры в колонке "Число матчей" - и ответ готов!

Правильно, конечно, но уж больно длинно. Нельзя ли найти ответ без таблицы и без сложных расчетов? Одним махом! А?

В.

Ответ прост: число всех матчей равно числу заявок минус единица! Надо считать не те команды, которые побеждают, а те, которые выбывают. После каждого матча выбывает одна команда: в этом, собственно, и состоит назначение каждого матча. Следовательно, надо сыграть 16 389 - 1 = 16 388 матчей, чтобы осталась одна команда-победительница. Вот и все!

Конечно, не следует умалять и роли графика и таблицы. Они позволяют ответить на многие другие интересные вопросы. Так, из таблицы видно, что для завоевания кубка нужно выиграть не так уж много матчей, как это могло показаться вначале, - всего лишь 15 (и то это относится только к тем десяти командам, жребий которых оказался менее счастливым; остальным же достаточно победить 14 раз). Из графика видно даже, кому с кем предстоит встречаться на каждой ступени... если на нее удастся взобраться. Все это полезно и интересно, но все это лишнее в рамках поставленной задачи.

Оглавление

А.

Приметы есть разные. В некоторых из них заключен многовековой опыт народа. Некоторые поддерживаются суеверными людьми. Есть и приметы-шутки: "Не садись за столом напротив утла: семь лет замуж не выйдешь!" Вам предлагаются три известные приметы:

1. Бутерброд на пол падает обязательно маслом вниз.

2. Две бомбы в одну воронку не падают.

3. Журавли осенью летят на юг в холодный день.

Есть ли в этих приметах рациональное зерно?

Б.

Вместо подсказки будем искать это зерно на примере первой приметы.

Итак, "закон бутерброда". Лучший способ исследования в смысле объективности - поставить эксперимент. Нужно ронять на пол бутерброды до тех пор, пока вы не придете к определенному выводу. Но это негигиенично, неэкономично и неэтично. Верный результат можно получить и с помощью мысленного эксперимента. Правда, при условии, что вы умеете доводить мысленный эксперимент до конца.

Представим, что мы роняем бутерброд с достаточно большой высоты, чтобы в воздухе он перевернулся достаточно большое и непредсказуемое число раз. При этом можно считать равными шансы, что он при падении сделает целое число оборотов или на полоборота больше (меньше). В первом случае он упадет маслом вверх, во втором - вниз (если исходное состояние - вверх). Оговоримся, что под целым числом n мы понимаем результат округления угла поворота n∙360°±Δα, где Δα < 90°, под нецелым - (n + 1/2)∙360°±Δα, иначе мы упустим из рассмотрения все промежуточные случаи, составляющие большинство.

Вторая оговорка. В самóм бутерброде при его падении не возникает никаких сил, которые давали бы предпочтение одной из двух ситуаций: трение воздуха о масло и о хлеб одинаково, плотность хлеба и масла одинакова (хлеб, "намазанный" толстым слоем золота, стремился бы перевернуться золотом вниз).

Итак, вероятности обеих ситуаций одинаковы и равны 0,5 и 0,5. И примета неверна?

А довели ли вы свой мысленный эксперимент до конца? Давайте понаблюдаем (мысленно) за бутербродом дальше. Ударившись о пол, он имеет намерение подпрыгнуть, так как хлеб упруг. Если он упал маслом на пол, то подпрыгнуть ему не удастся: масло вязкое и липкое. Если же он упал маслом вверх, то обязательно подпрыгивает. Подпрыгивая, он может перевернуться или не перевернуться. Пусть шансы этих событий тоже одинаковы. Если перевернется - прилипнет. Тогда вероятность того, что он после подпрыгивания оказывается маслом вверх, составляет 0,5 от 0,5, т.е. 0,25 (если бы подпрыгиваний было несколько, то шансы остаться маслом вверх были бы еще меньше). А вероятность того, что он будет лежать маслом вниз, - остальное, т.е. 0,75. Мы пренебрегаем вероятностью того, что бутерброд окажется стоящим на ребре. Кстати, любопытная деталь: ломоть, отрезанный от батона, как правило, имеет вид усеченного конуса, и намазывают маслом обычно его более широкое основание; при падении на ребро у него больше шансов перевернуться вниз меньшим основанием, т.е. маслом вверх, однако этот эффект невелик.

Итак, в примете есть смысл. Хотя и не всегда, но все-таки в большинстве случаев бутерброд падает маслом вниз. Эта примета, как и многие другие, иллюстрирует так называемый принцип максимального невезения, имеющий шутливую формулировку: "Если какая-нибудь неприятность может случиться, то она обязательно случится, причем в наихудшем из возможных вариантов". Разумеется, принцип максимального невезения - шутка, но очень многие принимают его всерьез: случаи, когда все идет как надо (бутерброд вообще не падает), не запоминаются, а как не надо - запоминаются и влияют на мнение субъективных людей.

В.

Вторая примета: две бомбы в одну воронку не падают - имела широкое хождение среди солдат на фронте и многим из них спасла жизнь, так как воронки использовались как укрытия.

Представим, что бомбы освобождаются с интервалом 1 с из бомболюка самолета, летящего на высоте 300 м со скоростью 300 м/с. Тогда действительно они не будут падать в одну воронку, а будут ложиться почти правильной цепочкой, лишь слегка искаженной неравномерностями полета, неоднородностями воздуха и небольшими различиями в форме бомб и их стабилизаторов. Но использовать воронку для укрытия от бомб именно этого самолета уже поздно: предназначенная нам бомба уже взорвалась, а остальные взорвутся далеко.

Второй крайний случай: бомбы сбрасываются с неподвижно висящего вертолета. Тогда вероятность попадания второй бомбы в воронку первой наибольшая: больше, чем вероятность попадания в любой другой круг той же площади. Как говорят, между первым и последующим попаданиями существует корреляция: между случайностями проступает заметная закономерность. Однако этот случай бомбежки нетипичен.

Более типично, когда бомбы падают со многих самолетов в моменты, не связанные между собой. Тогда в пределах атакуемой площади попадания бомб в каждый квадратный метр равновероятны. После того как появилась первая воронка, характер бомбежки не изменился. Поэтому каждая новая бомба может по-прежнему поразить любой квадратный метр с той же вероятностью, в том числе и тот, на котором уже есть воронка. Следовательно, в наиболее типичном случае примета неверна. Она держится просто на малой вероятности совпадения двух воронок: если атакуемая площадь равна S = 1 км², площадь воронки S₁ = 10 м² и число сброшенных бомб N = 1000, то изрытая воронками площадь NS₁ составит примерно 1% от S, а поэтому вероятность перекрытия двух воронок будет очень мала. Тем не менее, перекрытий будет около десяти (1% от 1000). Более точные результаты можно получить методами задачи о встрече (см. задачу "Спортлото и жизнь на других планетах").

Автор не может привести документальный снимок, подтверждающий эти рассуждения: он был моряком-зенитчиком, и когда его бомбили, он не фотографировал, так как у него других дел было по горло. К тому же на воде воронки не сохраняются. Однако ничто не изменится, если мы снимок военной бомбежки заменим снимком космической.

На рис. 155 приводится схематизированная копия с фото одного района поверхности Луны: район кратеров Феофил, Кирилл и Катарина, рядом с Морем Нектара. Существуют две конкурирующие гипотезы происхождения лунных кратеров. Одна утверждает, что они - воронки от взрывов метеоритов - камней, летевших с космической скоростью и взорвавшихся от мгновенной остановки при ударе о Луну. Вторая считает большинство воронок кратерами вулканов, в основном давно потухших. Мы не будем вникать во все "за" и "против"; скорее всего, для части воронок верна одна гипотеза, для остальных - другая.

Рис. 155. Схематизированная копия с фото одного района поверхности Луны

В случае метеоритной гипотезы полная независимость расположения воронок гарантирована. Камни падают на Луну случайным образом и по месту, и во времени: бомбардировка длится не первый миллиард лет. И вы видите результат - воронки всех калибров. Рассматривая рис. 155, нетрудно прийти к выводу, что каждый метеорит, падая на Луну, ничуть не беспокоится о том, падали до него метеориты в выбранную им точку или нет. Воронки довольно часто перекрываются. Особенно в этом смысле досталось кратеру Катарина: на нем можно увидеть даже "четырехэтажные" нагромождения кратеров одного на другой. Но произошло это случайно, преднамеренной бомбежки этого кратера не было. Скорее всего, Катарина - более древний кратер, чем Кирилл и Феофил. Если Феофил образовался позднее, то он смёл все следы предыдущих воронок, и на нем видны только кратеры метеоритов, упавших после того, как он образовался.

Разумеется, при вулканической гипотезе между некоторыми кратерами может быть существенная корреляция. Можно представить, что в коре Луны вдруг образуется длинный разлом, вдоль которого одновременно возникает множество вулканов (нечто подобное в сентябре 1975 г. происходило с камчатским вулканом Толбачик). Линией разлома они будут связаны в цепочку, которую полностью случайной уже не назовешь.

Так что же, солдаты зря использовали воронки как укрытие при бомбежке? Конечно, не зря. Хотя вероятность попадания каждой отдельной бомбы в любую точку, в том числе и в воронку, в течение бомбежки не меняется, но вероятность поражения цели меняется. Бомба опасна не столько прямым попаданием в человека (это маловероятно), сколько разлетающимися осколками. Если бомбежка застигла в чистой ровной степи, то от осколков первых бомб будут большие потери, но после того, как первые воронки превратили ровную степь в неровную, появляется возможность укрытия от осколков.

Рассмотрим третью примету. Проверить ее экспериментально, увы, очень трудно: в наше время журавлей осталось так мало, что для получения надежных результатов наблюдения пришлось бы вести всю жизнь. Нам надо много поработать, для охраны наших современников и соседей по планете, чтобы наши потомки и потомки наших журавлей могли любоваться друг другом. Мы же можем лишь довериться утверждениям наших предков, которым верить можно хотя бы потому, что они видывали журавлей побольше нашего и, кроме того, чаще смотрели в небо, чем в телевизор.

Есть ли связь между холодной погодой и полетом журавлей на юг? Связь эту называют немедленно: журавли улетают от холодов в теплые края. Но почему именно в холодный день? Почему, если завтра день будет теплым, то они свой перелет прервут? Ведь осень от этого не перестает приближаться! Видимо, связь холод - полет не такая прямая.

Здесь правильный ответ можно получить с помощью такого мысленного эксперимента: нужно представить себя на месте журавля, влезть, так сказать, в его шкуру. И вы сразу все поймете.

Уже поняли? В теплый день, как правило, дуют южные ветры. Лететь в такой день на юг - значит лететь против ветра. Это неразумно. В холодные же осенние дни ветер, как правило, северный и, следовательно, попутный. Холод не является причиной полета. Прямой причинно-следственной связью является цепочка:

Как видите, холод и полет не причина и следствие, а два равноправных следствия одной причины - северного ветра.

Эти рассуждения можно проверять не только осенью, но и весной: на север журавли должны лететь преимущественно в теплую погоду. Это подтверждается наблюдениями.

Если вы вошли во вкус, то берите сборник народных примет и анализируйте каждую из них. Польза для вас будет огромной. Ведь примета - это скромно сказано. На самом деле это не что иное, как научная гипотеза, нуждающаяся в доказательстве или опровержении.

Оглавление