А.

Если идти все время на северо-восток, то куда придешь?

Б.

Как правило, на этот вопрос легкомысленно отвечают: обойду земной шар и приду на то же место, откуда вышел. Это, разумеется, неверно.

Предположим, например, что вы отправились на северо-восток из Киева и добрались уже до Москвы, т.е. сменили широту на более северную. Чтобы попасть опять в Киев, вам неминуемо придется где-то в дальнейшем вернуться на более южную широту Киева, т.е. прекратить свое движение на северо-восток и идти на юг, юго-запад или юго-восток, что будет нарушением условия нашей задачи. Куда же вы попадете при соблюдении условий?

В.

Северо-восток – точка горизонта, которая на 45° восточнее севера и на 45° севернее востока. Идти на северо-восток – значит идти все время под углом 45° к меридианам и параллелям, с каждым шагом увеличивая свою северную широту и восточную долготу. Долгота неисчерпаема: как далеко на восток ни была бы данная точка, всегда найдется точка еще восточнее. Этого нельзя сказать о широте: если с каждым шагом увеличивать свою северную широту, то в конце концов она будет полностью исчерпана, т.е. мы окажемся на Северном полюсе, где широта максимальна и равна 90°. Попав на Северный полюс, мы уже не сможем продолжать движение на северо-восток, так как там такого понятия не существует. Перефразируя Пруткова, мы можем сказать, что муж, который блюдет условия задачи, будет, подобно магнитной стрелке, непреодолимо влеком к северу.

Рис. 1.

Легко сообразить, что если идти на юго-восток (или юго-запад), то мы придем на Южный полюс. И вообще, под каким бы углом мы ни пересекали параллели, мы обязательно придем либо на Северный, либо на Южный полюс, если будем выдерживать этот угол постоянным. И только если идти точно на восток или на запад, то мы ни на тот, ни на другой полюс не попадем, а действительно придем на то место, откуда вышли.

Интересно проследить путь, по которому мы будем идти. На географической карте в меркаторской проекции (где меридианы и параллели – два взаимно перпендикулярных семейства параллельных прямых) наш путь будет прямой линией, поднимающейся под углом 45° к параллелям. Линия, составляющая постоянный угол со всеми пересекаемыми параллелями, называется локсодромией и широко используется в морской навигации ввиду простоты вождения кораблей по ней.

Особенно интересен последний участок нашего пути – у полюса. На рис. 1 показаны окрестности Северного полюса (район, охватываемый 89-й параллелью). Столь малый район можно считать приблизительно плоским. Тогда путь под постоянным углом к меридианам и параллелям имеет вид логарифмической спирали. Чем ближе к полюсу, тем мельче витки этой спирали (показать на рисунке все витки невозможно), причем число витков спирали бесконечно велико, хотя длина спирали все-таки конечна. Чем меньше угол между траекторией нашего пути и параллелями, тем гуще витки спирали, которую мы описываем (сравните кривые А для 45° и Б для 15°).

Оглавление

А.

Сегодня Солнце взошло точно на востоке. В какой точке оно зайдет?

Б.

Обычно рассуждают так. Если Солнце взошло точно на востоке, то, очевидно, сегодня равноденствие – день равен ночи. Следовательно, Солнце зайдет точно на западе. Это неверно. Равноденствие – это событие, которое длится не весь сегодняшний день, а только мгновение.

В.

Момент равноденствия – момент, когда Солнце, двигаясь по эклиптике, пересекает небесный экватор. Если при этом оно переходит из южного полушария в северное, то для нас, живущих в северном полушарии, это момент весеннего равноденствия, если из северного в южное – осеннего. Восток – точка, где пересекаются линии горизонта и небесного экватора. Если Солнце взошло точно на востоке, то, значит, в этот момент оно было и на небесном экваторе. А поскольку оно всегда находится на эклиптике, то, следовательно, в этот момент оно было в точке пересечения экватора и эклиптики, т.е. в точке равноденствия. Иными словами, момент равноденствия совпал с моментом восхода. Пусть это было весеннее равноденствие. Тогда к вечеру Солнце успеет подняться над небесным экватором (уйти по эклиптике от точки равноденствия) на заметную величину. Следовательно, оно уже зайдет не на западе, а севернее запада. Осенью Солнце, взошедшее точно на востоке, зайдет южнее запада. В первом случае день оказался длиннее 12 часов, во втором – короче.

Подсчитаем, насколько севернее или южнее запада зайдет Солнце.

Земная ось наклонена к плоскости орбиты Земли на 23,5°. Поэтому в день летнего солнцестояния Солнце оказывается на 23,5° выше небесного экватора, в день зимнего солнцестояния – на столько же ниже экватора. В остальные дни угловое расстояние α между Солнцем и небесным экватором меняется приблизительно по синусоидальному закону (если пренебречь некоторыми тонкостями сферической тригонометрии и неравномерностью движения Земли по орбите):

α = 23,5° sin (2π t / T).

где T ≈ 365 суток (1 год).

Очевидно, при такой записи за начало координат надо принять момент весеннего равноденствия: именно он дает α = 0 при t = 0 и α > 0 при t > 0.

От восхода до захода пройдет приблизительно 0,5 суток. За это время Солнце поднимется над небесным экватором на угол (рис. 2)

α = 23,5° sin (2π·0,5 / 365) ≈ 0,2°.

Рис. 2.

Если мы находимся на экваторе (земном), где небесный экватор проходит через точки восток – зенит – запад, то Солнце, взошедшее точно на востоке, пойдет почти вертикально к зениту, пройдет севернее него на 0,1° (за 6 часов оно сместится к северу от экватора на 0,1°) и зайдет почти вертикально севернее запада на 0,2°.

На широте Ленинграда (автор часто будет использовать эту широту не только потому, что он ленинградец, но главным образом потому, что она равна 60°, а cos 60° = 0,5, что удобно для вычислений) небесный экватор проходит под углом 30° к горизонту, и приблизительно под таким пологим углом Солнце в этот день будет восходить и заходить.

На рис. 2 показаны горизонт с точкой запада W, небесный экватор, путь Солнца CAB (почти параллельный экватору), успевшего за день подняться над экватором на α = 0,2°. Точку В, в которой Солнце зайдет, можно найти из треугольника WAB. Правда, этот треугольник не плоский, а сферический: он расположен на небесной сфере. Но поскольку он мал, то мы не допустим большой ошибки, если будем считать его плоским. Искомый сдвиг точки захода В относительно точки запада W равен

WB = WA / cos 60° = 0,2° / 0,5 = 0,4°.

Если вспомнить, что угловой диаметр Солнца приблизительно равен 0,5°, то получаем, что точка захода сместилась почти на диаметр Солнца.

Для тех, кому эта величина покажется недостойной внимания, предлагаем повторить расчет для широты 88°. Там Солнце, взошедшее весной точно на востоке, зайдет почти на 6° севернее запада!

Иногда проницательный читатель по поводу этой задачи делает весьма интересное замечание: момент перехода Солнца через небесный экватор и момент восхода Солнца теоретически мгновенны. Поэтому абсолютно точно совпасть они практически не могут. Следовательно, Солнце никогда не может взойти точно на востоке: если сегодня оно взошло чуть-чуть южнее востока, то завтра оно взойдет чуть-чуть севернее. Действительно, для данного места вероятность абсолютно точного совпадения бесконечно мала. Но ведь на Земле в любой момент имеется такая точка, где Солнце как раз в этот момент восходит. Значит, где-то оно восходит и точно в момент равноденствия. Такая точка на Земле не одна – это целая линия, некоторый вполне определенный меридиан*. Будем считать, что мы находимся именно на этом меридиане.

* Меридиан – в момент равноденствия. А вообще граница ночи и дня наклонена к меридианам (см. рис. 9).

Оглавление

А.

Сегодня день равен ночи. Чему равна их общая продолжительность?

Б.

Те, кто не решал предыдущей задачи, немедленно отвечают, что, конечно, общая продолжительность составляет 24 часа 00 минут 00 секунд, что так бывает не только в те сутки, когда день равен ночи, но и в любые другие.

Покажем, что этот скоропалительный ответ неверен. Комбинация «день и ночь» (t_д + t_н) – это время от одного восхода Солнца до другого. Но весной, например, Солнце каждый день восходит раньше, чем накануне. Следовательно,

t_д + t_н < 24 часов.

С другой стороны, весной Солнце заходит каждый день позже, чем вчера. Следовательно, сумма «ночь + день» (от захода до захода) ведет себя совсем не так, как сумма «день + ночь» (от восхода до восхода):

t_д + t_н > 24 часов.

От перестановки слагаемых изменилась сумма! Чудеса в решете, которые вам предстоит разоблачить.

В.

Как ясно из предыдущей задачи, день может быть равен ночи только при условии, что момент равноденствия совпал с границей ночи и дня, т.е. с моментом восхода, если имеется в виду равенство предыдущей ночи и текущего дня, или с моментом захода, если речь идет о текущем дне и последующей ночи.

Рассмотрим весеннее равноденствие, совпавшее с восходом Солнца в Ленинграде. Продолжительность дня будет больше 12 часов на время, которое нужно затратить Солнцу на прохождение по небу дополнительного отрезка АВ на рис. 2:

AB = WA · tg 60° = 0,2° · 1,73 ≈ 0,35°.

Полный суточный путь Солнца по небу составляет приблизительно 360° (в день равноденствия Солнце описывает почти точно большой круг; в другие дни, когда Солнце далеко от экватора, его путь был бы малым кругом). Следовательно, удлинение дня (в минутах) сверх 12 часов можно найти из пропорции

t_AB / (24 · 60) = AB / 360°,

откуда

t_AB = AB · 4 ≈ 1,4 минуты.

Для дальнейших рассуждений удобно использовать местное время. Точно в 12 часов по местному времени Солнце находится точно на юге*. В рассматриваемый день Солнце взошло точно в 6 ч (в этой задаче мы не учитываем поправок на** атмосферную рефракцию). Зайдет оно в 18 часов + 1,4 минуты. Вследствие симметрии относительно точки равноденствия предыдущая ночь также была равна 12 часам + 1,4 минуты. Следовательно, вчера Солнце зашло на 1,4 минуты раньше 18 часов, а сумма предыдущей ночи t_н0 и сегодняшнего дня t_д1 равна

t_н0 + t_д1 = 24 часа 2,8 минуты.

Завтра же Солнце взойдет на 2 · 1,4 = 2,8 минуты раньше, чем сегодня. Следовательно, сумма сегодняшнего дня t_д1 и последующей ночи t_н1 равна

t_д1 + t_н1 = 23 часа 57,2 минуты.

Итак, в самом деле весной сумма «ночь + день» длиннее суммы «день + ночь», но никакого чуда в этом нет: просто каждая последующая ночь короче предыдущей,

t_н1 < t_н0,

и если бы мы учли это обстоятельство в приведенных в подсказке неравенствах с помощью индексов, то никакого противоречия не получили бы.

Наоборот, осенью, когда каждая ночь длиннее предыдущей,

t_н0 + t_д1 < 24 часов, t_д1 + t_н1 > 24 часов.

И только вблизи дней зимнего и летнего солнцестояния, когда дни и ночи почти не меняют своей длительности, все становится на свои места: сумма дня и ночи равна 24 часам, причем неважно, о какой ночи идет речь – о предыдущей или последующей.

Сумма дня и ночи отличается от 24 часов тем больше, чем больше широта места. На экваторе этого явления нет, там всегда день равен ночи, а их сумма всегда равна 24 часам.

* Это предложение может служить определением местного времени. Мы подчеркиваем это во избежание путаницы, так как иногда в быту местным временем называют то, которое следует называть декретным временем данного пояса.

** Астрономы и одесситы говорят: за атмосферную рефракцию.

Оглавление

А.

Солнце на Северном полюсе взошло на московском меридиане. Где оно взойдет следующий раз?

Б.

Следующий раз оно взойдет ровно через год. Если помнить об этом, то задача решается просто.

В.

Год длится приблизительно 365 суток 6 часов. Следовательно, от одного восхода на полюсе до другого Солнце успеет совершить вокруг Земли 365 оборотов с одной четвертью*. Если бы оно за год совершило целое число оборотов, то снова взошло бы на московском меридиане. На самом же деле до восхода понадобится еще 6 часов, так что Солнце взойдет на 90° правее московского меридиана (если смотреть с Северного полюса), т.е. на меридиане Монтевидео.

Разумеется, момент восхода оба раза нужно отсчитывать одинаково: например, по моменту появления из-за горизонта верхнего краешка Солнца. Без этой оговорки весь вопрос о точке восхода теряет смысл: Солнце на полюсе восходит так медленно, что на восход всего диска уходит более суток, т.е. за время восхода Солнце побывает во всех точках горизонта. Любопытно, что если при этом температура воздуха начнет возрастать со скоростью более 6°C в час, то за счет изменения преломления лучей в воздухе видимый диск Солнца прекратит подъем и станет опускаться. Таким образом, весь акт восхода Солнца на полюсе может содержать одну-две «неудачные попытки»!

Отметим, что хотя относительно земных ориентиров (Москва, Монтевидео) Солнце на полюсе каждый раз восходит по-разному, относительно звездного фона – всегда одинаково: ведь в этот момент оно находится в точке весеннего равноденствия (в созвездии Рыб), положение которой относительно звезд в пределах человеческой жизни можно считать неизменным (за 26 000 лет эта точка совершает по эклиптике полное круговое путешествие, за год смещается менее чем на угловую минуту).

* Здесь автор пользуется более удобной для этой задачи библейской точкой зрения на вопрос, чтО вокруг чего вращается. Иначе пришлось бы ввязываться в неуместные для данной задачи объяснения, что относительно «неподвижного» звездного фона Земля совершает за год ровно на один оборот больше (разница вызвана тем, что, кроме вращения вокруг собственной оси, Земля еще движется и вокруг Солнца, см. задачу «А все-таки она вертится!»).

Оглавление

А.

Вблизи 180-го меридиана проходит линия смены дат. Корабли, пересекающие ее с востока на запад, должны пропустить один день в своем календаре, с запада на восток – нумеровать два дня подряд одним и тем же числом.

Вы путешествуете с востока на запад строго по параллели 89°59'44'', т.е. на расстоянии r = 500 м от Северного полюса. Длина этой параллели равна* l ≈ 2πr = 2 · 3,14 · 500 = 3140 м. За 6 часов вы прошли 31,4 км, т.е. пересекли линию смены дат 10 раз. Нужно ли сдвигать ваш календарь на 10 дней вперед?

Б.

Здравый смысл подсказывает, что не нужно. Но ведь линия смены дат введена тоже по требованию здравого смысла! Если вас смущает то, что путешествие проходит рядом с полюсом, и вы не уверены, что линия смены дат доходит до самого полюса, то заверяем вас, что доходит. Кроме того, аналогичное путешествие можно совершить не только у полюса. Космонавт, пересекший за сутки 16 раз линию смены дат в направлении с востока на запад, почему-то не пропускает 16 дней в своем календаре после возвращения на Землю. Космонавт, совершивший аналогичный полет в направлении с запада на восток, после приземления не возвращает календарь на 16 дней назад.

Наконец, можно так поставить дело, что и обычный океанский корабль, совершающий кругосветное путешествие, обойдется без смены дат. Но что для этого должны делать на корабле?

В.

Вспомним сначала, почему вообще возникает необходимость в смене даты. Вы отправились на корабле вокруг света (через Панамский и Суэцкий каналы, например). Допустим, что вы передвигаетесь каждый день на 15° к западу, следовательно, за 24 дня вы обойдете весь земной шар. Поскольку вы уходите каждый день на 15° на запад, то для вас Солнце каждый день восходит и заходит на 1 час позже; чем накануне. Если не предпринимать никаких мер, то по вашим часам ночь будет запаздывать ежедневно на час и через двенадцать суток день и ночь поменяются местами. Пользоваться часами в таких условиях очень неудобно. Поэтому, чтобы согласовать ваши часы с темным и светлым временем суток, вам придется ежедневно переставлять их на час назад, т.е. сделать продолжительность своих суток равной 25 часов. Но тогда за 24 дня путешествия вы переставите часы на 24 часа назад, т.е. на целые сутки. Таким образом, вы потеряли одну смену дня и ночи: для вас Солнце восходило на один раз меньше, чем для оставшихся на берегу, так как вы двигались в направлении, противоположном направлению суточного вращения Земли, и совершили вокруг земной оси на один оборот меньше, чем сама Земля. Поэтому вам придется выкинуть из вашего календаря один дополнительный листок, чтобы жить в ногу с остальным человечеством. Во избежание путаницы условились пропускать одно число в момент пересечения кораблем вполне определенной линии – линии смены дат. Эта линия проходит вблизи 180-го меридиана в обход суши (иначе дату менять пришлось бы не только морякам, но и пешеходам, идущим в гости к своим соседям).

Путешествуя на восток, вы двигались бы в ту же сторону, куда вращается Земля, и, закончив кругосветное путешествие, вы совершили бы вокруг земной оси на один оборот больше, чем Земля. При этом, переставляя каждый день часы вперед, вы согласовывали бы их с поясным временем того места, где вы находитесь, и к концу путешествия вы переставили бы их на 24 часа вперед. Во избежание недоразумений в отношениях с внешним миром вам теперь следует при пересечении линии смены дат заменить сегодняшний листок календаря на вчерашний.

Совершенно ясно, что если команда корабля готова перенести то неудобство, что во время плавания ночь и день совершат круговое путешествие по циферблату корабельных часов, то можно не переводить часы, т.е. жить в течение всего путешествия по времени того порта, из которого вышли. Но тогда нет необходимости и менять дату при переходе через линию смены дат. Только листок календаря вам надо будет срывать регулярно в момент, когда его срывают в том порту, по времени которого вы живете, т.е. когда корабельные часы показывают 24 часа, невзирая на то, полночь сейчас, полдень или восход Солнца.

Теперь о нашей задаче. Если бы вы, путешествуя вокруг полюса, захотели, подобно мореплавателю, переставлять часы и менять даты, то вам пришлось бы переставлять часы на 1 час назад каждые полторы минуты (предполагаем, что вы идете равномерно в течение всех шести часов путешествия). Через 36 мин вы переставили бы свои часы на целые сутки назад, т.е. забрели во вчерашний день, и чтобы вернуться в сегодняшний, вам пришлось бы сменить дату.

Конечно, все эти манипуляции очень неудобны и, следовательно, бессмысленны. Лучше всего согласовать свои часы с московским временем (или любым другим) и срывать листки календаря ровно в 24 часа по вашим часам, тем более что восходы и заходы Солнца при путешествии вблизи полюса вовсе не связаны с числом ваших оборотов вокруг него.

Аналогично поступают и космонавты. Правда, для них восходы и заходы Солнца оказываются совсем иными, чем для путешествующих вокруг полюса. Но смены дня и ночи для космонавта настолько часты (или же совсем отсутствуют – для летящего, например, к Марсу), что бытовая часть распорядка дня космонавта не может быть связана с ними. Поэтому космонавт всегда живет по единому времени – московскому – и меняет листки календаря вместе с москвичами.

* Формула верна только в той окрестности полюса, где еще можно не учитывать кривизну поверхности Земли.

См. также: Лаврус В.С. История календаря. НиТ, 1999.

Оглавление

А.

Перед вами фото (рис. 3). Вы уже догадались: это снимок ночного неба. А не могли бы вы по этому снимку определить, как долго был открыт затвор фотоаппарата при съемке?

Рис. 3.

Б.

Этим снимком обычно иллюстрируют кажущееся вращение небосвода, вызванное вращением Земли вокруг своей оси. Вы, конечно, знаете, что время, за которое Земля совершает один оборот вокруг своей оси, называется сутками. Этих знаний вполне достаточно, чтобы решить задачу. Остальные сведения вы найдете на фото.

Определите также, какие созвездия попали на снимок.

В.

При мгновенной съемке звезда на снимке получается в виде точки. Если же затвор фотоаппарата открыт долго, то будут засняты все положения, которые звезда примет за время экспозиции, отчего каждая звезда изобразится дугой, тем большей, чем дольше открыт затвор. Ясно, что если затвор открыть ровно на сутки (и если бы в продолжение целых суток длилась ночь и видны были звезды – ситуация, возможная зимой в Заполярье), то каждая звезда совершила бы целый оборот и изобразилась бы в виде окружности. Центром всех окружностей был бы небесный полюс – точка на небесной сфере, лежащая на продолжении земной оси (в наш век эта точка находится вблизи Полярной звезды – в созвездии Малой Медведицы). Открывая затвор на 12 часов, мы получили бы изображения звезд в виде дуг длиной в 180°. Таким образом, длина дуги α, в которую превращается звезда на снимке, пропорциональна времени открытия затвора t:

α / 360 = t / 24,

где α – в градусах, t – в часах.

Итак, чтобы вычислить t, нужно измерить α. Это можно сделать, например, с помощью транспортира, совместив его центр с центром вращения изображения. А этот центр можно найти, например, как точку пересечения двух прямых, перпендикулярных к данной дуге в точках на обоих ее концах (и к любой другой). Чтобы уменьшить при этом влияние ошибок построения, целесообразно провести побольше (5...10) перпендикуляров к разным дугам и считать центром точку, среднюю из всех пересечений.

Измерения на рис. 3 дают α ≈ 15°, что соответствует времени t ≈ 1 час.

Следует оговориться, что Земля относительно звезд (и, следовательно, звезды относительно Земли) совершает полный оборот не за те сутки, которыми мы пользуемся в повседневной жизни (они называются средними солнечными), а за звездные сутки. Последние приблизительно на 4 минуты короче средних солнечных. Звездные и солнечные сутки были бы равны друг другу только в том случае, если бы видимое с Земли положение Солнца среди звезд оставалось неизменным. Однако поскольку Земля обходит за год вокруг Солнца (против часовой стрелки, если смотреть из северного полушария), то и Солнце кажется нам перемещающимся среди звезд (тоже против часовой стрелки). За 365 суток оно совершает полный круг – 360°. Значит, сутки, измеренные по Солнцу (от одного полудня до другого – от одного прохождения Солнца через ваш меридиан до другого), на 1/365 часть (на 4 минуты) больше суток, измеренных по какой-либо звезде. Следовательно, звезда на снимке зарисует полную окружность за 23 часа 56 минут по обычным часам. Вызываемая этим обстоятельством неточность меньше, чем та, которую вы допустили при построении перпендикуляров, и поэтому ее можно не принимать во внимание.

Чтобы исчерпать вопрос полностью (почти), заметим еще, что поскольку Земля движется вокруг Солнца не по кругу, а по эллипсу и орбитальная скорость ее непостоянна (в перигелии больше, в афелии меньше*), то и Солнце кажется нам движущимся среди звезд неравномерно, отчего одни солнечные сутки не равны другим (июльские солнечные сутки короче январских приблизительно на 50 секунд). Другой причиной неравномерности движения Земли по орбите является наличие у Земли массивного спутника – Луны. По эллиптической орбите вокруг Солнца движется не центр Земли, а центр масс системы Земля – Луна, сама же Земля обращается вокруг общего центра масс, копируя движение Луны в масштабе 1:81 (соотношение масс) и внося в видимое движение Солнца небольшие колебания с месячным периодом. О влиянии других планет на движение Земли мы только упоминаем.

В повседневной жизни пользуются не просто солнечными сутками, которые, как мы видели, несколько непостоянны, а средними солнечными сутками.

Что касается созвездий, попавших на снимок, то для опознавания их, очевидно, надо сначала установить их конфигурацию. Для этого можно воспользоваться любыми точками каждой из дуг, относящимися, однако, к одному и тому же моменту времени. Можно использовать начала или концы дуг. На фото изображены частично созвездия Дракона, Большой и Малой Медведиц. Кружок, крестик и стрелки будут использованы в задачах «Звезды позируют перед фотоаппаратом» и «Разоблачим автора!».

* Перигелий – точка орбиты планеты, ближайшая к Солнцу (по-гречески Гелиос – Солнце); не путать с перигеем – точкой орбиты спутника Земли, ближайшей к Земле (Гео – Земля); аналогичная точка орбиты спутника Марса называется периареем (Арес – Марс). Афелий – точка орбиты планеты, наиболее удаленная от Солнца; апогей – то же для спутника Земли.

Оглавление

А.

Рядом с Северным полюсом на льдине стоит квадратный домик 5×5 м². Центр домика отстоит от полюса в данный момент на 10 м. В центре каждой из четырех стен домика имеется по окну: одно смотрит сейчас точно на север, другое – на юг. Куда смотрят третье и четвертое?

Б.

Вовсе не на запад и не на восток, как многие думают.

В.

Направления на восток и запад – это направления вдоль параллелей, на север и юг – вдоль меридианов. Дом стоит настолько близко к полюсу, что параллель, проходящая через его центр, успевает заметно искривиться, пока дойдет от центра к «восточной» и «западной» стенам дома (рис. 4).

Если меридиан NS₀, проходящий через центр дома А, считать московским, то меридиан, проходящий через центр «восточной» стены С, отличается от московского на α ≈ 1,4°, так как tgα = AC / NA = 2,5 · 10 = 0,25.

Рис. 4.

Направление CO точного востока для точки C перпендикулярно к этому меридиану и, следовательно, составляет угол 90° – 14° = 76° с плоскостью окна. «Восточное» окно смотрит по направлению CB, т.е. на 14° южнее востока. Это направление является скорее востоко-юго-востоком, чем просто востоком. Аналогично «западное» окно смотрит на 14° южнее запада.

Интересно, что если центр дома стоит на московском меридиане (NS₀), то человек, совершивший по комнате путь от «западной» стены до «восточной», может совершенно законно утверждать, что он побывал западнее Минска (меридиан NS₁) и восточнее Куйбышева (NS₂). Еще интереснее следующий факт. Хотя «восточная» стена плоская, тем не менее различные ее точки смотрят в разные стороны света. Чтобы в этом убедиться, достаточно провести меридианы NF и NH через углы дома F и H и определить углы, под которыми плоскости меридианов пересекаются с плоскостью стены в точках F и H. Более того, если продолжить стену весьма далеко в обе стороны, то обнаружится, например, что точка K стены смотрит на юг, L – на юго-запад, а очень далекие точки M и P (если, например, MK и KP на порядок больше NA) смотрят почти точно на запад и восток соответственно.

Каков же должен быть домик, чтобы все точки его северной стены смотрели действительно на север, восточной – на восток и т.д.? Две стены такого домика должны идти строго по параллелям, две – строго по меридианам. План такого домика показан жирной линией на рис. 4. По форме он напоминает трапецию, причем западная и восточная стены являются плоскими, северная вогнута внутрь дома, а южная – выпуклая.

Оглавление

А.

С помощью компаса туристы определили, что тени от вертикальных предметов в данный момент направлены точно на запад. Через сколько часов эти тени будут направлены точно на восток?

Б.

– Ну, ясно, через 12 часов. Земля вращается вокруг своей оси равномерно, значит, и кажущееся суточное движение Солнца по небу тоже равномерно. За 24 часа Солнце и тени поворачиваются на 360°, на 180° они повернутся за 12 часов.

А как факты? Проверьте-ка на досуге, и вы увидите, что тень поворачивается с запада на восток за время, существенно меньшее двенадцати часов. Только делайте опыт летом; зимой ведь Солнце ни на западе, ни на востоке увидеть нельзя.

В.

Свое суточное движение по небосводу Солнце действительно совершает равномерно (второстепенными, очень малыми неравномерностями можно пренебречь). Если бы при этом оно двигалось параллельно горизонту, то и тени поворачивались бы равномерно. Такая ситуация возможна только на полюсе. Там тени поворачиваются на 180° действительно за 12 часов, хотя, конечно, понятия востока и запада там теряют смысл. На любой же другой широте суточный путь Солнца по небу не параллелен горизонту. Чтобы сразу стало ясно, к чему это приводит, рассмотрим другую крайность – экватор. Там в день равноденствия Солнце восходит на востоке, идет к зениту и затем спускается от него к западу (без учета результатов задачи «Солнце зайдет не там»). Пока оно идет к зениту, тени направлены на запад. Но как только оно перевалило через зенит – тени уже смотрят на восток. Теоретически они переходят с запада на восток мгновенно, т.е. вовсе не за 12 часов.

Рис. 5.

Рассмотрим теперь поведение Солнца в наших широтах. На рис. 5 показан путь Солнца на небе в летний день. Здесь плоскость NOSW – плоскость горизонта с помеченными на ней севером, востоком, югом и западом. Плоскость NPZSA – плоскость меридиана, проходящая через наблюдателя А, полюс мира Р (вблизи Полярной звезды) и зенит Z. Плоскость OZWA, проходящая через восток, запад и зенит, делит небосвод на северную и южную половины. Плоскость EFLCMD, перпендикулярная к оси Мира AP, – плоскость, в которой Солнце сегодня совершает свое суточное движение. Летом она пересекает ось мира в точке K, между северным полюсом мира P и наблюдателем A, благодаря чему точка восхода F оказывается севернее востока O, а точка захода D – севернее запада W (зимой эта плоскость пересекала бы ось мира между южным полюсом мира P' и наблюдателем). Тень будет направлена на запад в момент, когда Солнце переходит из северной половины небосвода в южную (точка L), а на восток – в момент обратного перехода (точка M). Из рисунка видно, что длина дуги LCM значительно меньше длины дуги MDEFL. Поскольку же Солнце по этой окружности движется равномерно, то время пребывания его в южной половине небосвода (дуга LCM) значительно меньше половины суток. Поэтому тень с запада на восток поворачивается менее чем за 12 часов. В Ленинграде летом это время составляет около 10 часов. В более южных районах полюс мира P виден еще ближе к горизонту, путь Солнца по небу пересекается с горизонтом еще круче, точка. С верхней кульминации Солнца еще ближе к зениту, время пребывания Солнца в южной половине небосвода еще меньше. В частности, на Северном тропике (широта +23,5°) Солнце в день летнего солнцестояния вообще не заходит в южную половину небосвода: точка С совпадает с зенитом.

Туристам, не имеющим компаса, следует помнить о непостоянстве угловой скорости тени. Полезно также знать, что если расположить карандаш параллельно земной оси (т.е. наклонить его к северу под углом к горизонту, равным широте места) и затем перпендикулярно к карандашу приложить книгу (она при этом окажется в плоскости небесного экватора), то тень карандаша по книге будет перемещаться равномерно в любое время суток и года. Такое устройство может служить солнечными часами с равномерным суточным ходом.

Интересно, что длина тени карандаша не будет зависеть от времени суток, а только от времени года, причем летом карандаш пришлось бы укрепить над книгой, а зимой – под ней.

Оглавление

А.

Когда угловой диаметр Луны больше: когда она находится вблизи зенита или вблизи горизонта?

Б.

Вообще Луна у горизонта выглядит более крупной, чем на большой высоте. Но мы знаем, что это оптический обман. Ведь Луна и в зените, и на горизонте одна и та же. Более того, в тот момент, когда мы видим ее большой на горизонте, где-то кто-то другой видит ее маленькой в зените. Не может же она одновременно быть и большой, и маленькой.

Таков ответ большинства читателей, и в нем все логично, кроме последней фразы. По мнению автора, угловые размеры Луны у горизонта в действительности меньше, чем у зенита. А как думаете вы?

В.

Угловые размеры Луны определяются ее линейными размерами и расстоянием до наблюдателя. Пусть в данный момент расстояние между центрами Земли и Луны 380 000 км (в силу эллиптичности орбиты Луны это расстояние меняется в пределах между 363 300 и 405 500 км). Тогда от наблюдателя A (рис. 6), видящего Луну у самого горизонта, расстояние до Луны тоже равно приблизительно 380 000 км (AO₁ ≈ OO₁). Однако наблюдатель B, видящий Луну в зените, находится ближе к ней приблизительно на величину радиуса земного шара R ≈ 6380 км:

BO₁ = OO₁ – OB = 380 000 – 6 380 = 373 620 км.

Следовательно, угловые размеры Луны для наблюдателя B больше, чем для наблюдателя A (α₁ > α₂), приблизительно во столько раз, во сколько BO₁ меньше AO₁, т.е. на 1,7%.

Разумеется, все эти расчеты верны лишь в пределах одного дня. Эллиптичность орбиты Луны может привести к тому, что для одного и того же наблюдателя Луна в зените сегодня будет меньше Луны у горизонта две недели назад. Однако за время перехода Луны от горизонта к зениту (порядка четверти суток) расстояние Земля – Луна меняется меньше, чем на радиус Земли.

Рис. 6.

Отметим, что в наших широтах увидеть Луну в зените нельзя. Солнце в зените может увидеть наблюдатель в широтах ±23,5° (угол наклона плоскости эклиптики к плоскости экватора). Поскольку плоскость орбиты Луны наклонена к плоскости эклиптики приблизительно на 5°, то Луну в зените можно увидеть в широтах ±28,5°.

На широте Ленинграда Луна иногда поднимается на 58,5° над горизонтом. Этого вполне достаточно для проявления как субъективного эффекта уменьшения диаметра Луны с высотой, так и объективного обратного эффекта.

Рефракция, приводящая к заметному сжатию вертикального диаметра Луны, находящейся очень близко к горизонту, дополнительно усиливает эффект, рассмотренный в задаче.

Оглавление

А.

На Земле Франца-Иосифа почту с одного острова на другой доставляли на аэросанях. Но вот однажды в момент отправки обнаружилось, что аэросани неисправны и выйти в рейс не могут.

– Придется ехать на собаках. Где каюр?

– Я здесь, только я не знаю дороги. Как туда добраться?

– Очень просто и даже романтично: берешь на прицел вон ту звезду – Альдебаран – и мчишься на нее. Полная иллюзия, что ты в кабине космического корабля и что твоя цель – эта звезда. Жаль только, что рейс быстро кончается: через полчаса ты уже на месте.

– Ну, мне этот способ вроде не подойдет. У твоих аэросаней, как и у космического корабля, лошадиные силы, а у моих только собачьи.

– Какая разница?

– Существенная: я не попаду на место назначения. А какая все-таки разница?

Б.

Как нетрудно сообразить, разница в том, что собачьи силы меньше лошадиных и скорость собачьей упряжки явно меньше (скажем, для конкретности, в 10 раз) скорости аэросаней. Однако если подсказать еще хоть слово, то вам в этой задаче нечего будет делать самим.

В.

Вращение Земли вокруг своей оси приводит к кажущемуся вращению небосвода. Поэтому все звезды также смещаются. Водитель аэросаней мог пренебречь смещением звезды: весь рейс длится полчаса, а за это время звезда смещается мало. Рейс на собаках будет длиться пять часов, в результате к концу рейса собачья упряжка, едущая на звезду, будет двигаться совсем не в том направлении, в каком она двигалась в начале рейса.

Небосвод совершает один оборот своего кажущегося вращения вокруг точки, находящейся вблизи Полярной звезды, за 24 часа (а точнее – за 23 часа 56 минут, см. задачу «А все-таки она вертится!»). Поскольку на Земле Франца-Иосифа Полярная звезда видна рядом с зенитом (на расстоянии 9°), то можно для простоты полагать, что все звезды движутся параллельно горизонту. За сутки звезда смещается приблизительно на 360°, за час – на 15°. Аэросани в конце рейса отклонятся на 7,5° от первоначального направления, собачья упряжка – на 75°. Очевидно; если бы рейс длился 24 часа, то собачья упряжка, совершив полный круг, прибыла бы туда же, откуда она отправлялась (при условии, что упряжка идет безостановочно и с постоянной скоростью; в случае остановок траектория саней получила бы изломы, тем более сильные, чем длительнее остановка). Впрочем, аэросани постигла бы та же участь, только круг, который они описали бы, имел бы радиус в десять раз больший. На рис. 7а показаны пути аэросаней (OA) и собачьей упряжки (OB). Там же прямой линией OE показан путь для любого вида транспорта в случае, если бы звезда оставалась неподвижной.

Рис. 7.

Нельзя, однако, считать, что навигация по звезде непригодна для собачьей упряжки. Можно, например, периодически исправлять направление пути, забирая все левее и левее звезды. На рисунке показан путь упряжки, состоящий из пяти дуг: упряжка начала движение на звезду (OC₁), затем через час взяла на 15° левее звезды (C₁C₂), через два часа – на 30° левее (C₂C₃) и т.д. При этом сектор 75° (рис. 7а) разбивается на 5 секторов по 15°, разворачиваемых 15-градусными поправками так, что путь OC₁C₂C₃C₄C₅ оказывается почти прямым. Еще точнее был бы путь упряжки, если бы она каждые 4 минуты брала на 1° левее.

Заметим, что поскольку звездный небосвод совершает оборот не за 24 часа, а за 23 часа 56 минут, то пользоваться данной звездой по одним и тем же правилам ежедневно можно только при условии, что вы выезжаете каждый раз на 4 минуты раньше, чем вчера. Водитель аэросаней, по-видимому, пользовался звездой всего лишь несколько дней подряд и поэтому не успел заметить этого обстоятельства.

Интересно отметить, что в более низких широтах пользоваться звездой труднее. Там Полярная звезда дальше от зенита, суточный путь звезд по небу более наклонный, поэтому направление на выбранную звезду в горизонтальной плоскости меняется в течение суток неравномерно (точно так же, как направление тени в задаче «Тень в ясный день»): быстрее, когда звезда находится в южной половине неба, и медленнее – в северной. Поэтому там 24-часовой путь саней заметно отличался бы от кругового: кривизна пути была бы максимальной, когда звезда находится на юге, и минимальной – на севере. Сани двигались бы по винтообразной кривой (рис. 7б для высоких и 7в для низких широт), описывая каждые сутки один виток и с каждым витком смещаясь к северу. При неограниченном запасе горючего (а также спортивного и научного интереса водителя) сани в конце концов добрались бы до полюса и начали бы описывать вокруг него правильные круги.

Эта задача совместно с задачами «Путешествие на северо-восток», «Утро на полюсе», «С календарем вокруг полюса» и «Окна, смотрящие не туда» позволяет сделать решительный вывод, что полюс является заколдованным местом планеты.

Оглавление

А.

Витебск и Ленинград – на одном меридиане, Пулковском, поэтому самый темный момент ночи в этих городах наступает одновременно – будем для простоты считать, что ровно в час ночи по московскому времени. А когда он наступит для пассажира, едущего июньской ночью из Витебска в Ленинград? А для пассажира, едущего обратно?

Будем считать, что вся дорога идет строго по Пулковскому меридиану.

Б.

– Что за ерунда! Ну, конечно, тоже в час ночи! Ведь все станции, через которые проходит поезд, лежат тоже на Пулковском меридиане. Значит, на каждой из этих станций самое темное время ночи наступает в тот же момент, что и в Витебске и в Ленинграде. Какое же имеет значение, едет ли пассажир через Невель, или через Локню, или сидит всю ночь на станции Дно?

В этом весьма убедительном на первый взгляд монологе верно только то, что если пассажир всю ночь сидит на станции Дно, то он действительно самую глубокую темноту ночи встретит одновременно с жителями Ленинграда и Витебска. Иными словами, самый глубокий мрак наступит одновременно для пассажиров, сидящих на всех станциях, и в другое время – для едущих. Разобраться в этом вам будет легко, если вы вспомните, что в самое темное время июньской ночи в Ленинграде светлее, чем в Витебске.

В.

Давайте представим, что Земля, чтобы нам легче было решать задачу, прекратила свое суточное вращение и движение вокруг Солнца как раз в момент, когда на всем Пулковском меридиане наступила полночь. Сядем в Витебске на поезд и поедем в Ленинград, а по пути будем интервьюировать пассажиров, сидящих на станциях. Все они единодушно заявят нам, что сейчас самое темное время суток. Между тем наши собственные наблюдения показывают, что на протяжении всей дороги рассветает: ведь мы едем в Ленинград – город белых ночей. Итак, у сидящих самое темное время суток – сейчас, а у едущих – уже позади.

Не будем более задерживать Землю, пусть она вращается. Теперь, очевидно, на глубину мрака будут влиять оба обстоятельства одновременно: и вращение Земли, и движение поезда. Глубина мрака (или, лучше, освещенность) в том месте, где вы находитесь в данный момент, определяется тем, насколько глубоко для вас Солнце находится под горизонтом. На рис. 8 кривая AFBC показывает поведение Солнца ночью под горизонтом AC для Витебска. Солнце закатилось в точке A в момент t₁; самое темное время ночи t₂ соответствует самому глубокому положению B Солнца под горизонтом; взойдет Солнце в момент t₃ в точке C. Кривая A'B'C' показывает поведение Солнца в Ленинграде. Солнце там заходит позже (t₁' > t₁) и восходит раньше (t₃' < t₃), но самый темный момент t₂ тот же, что и в Витебске. Ленинград севернее Витебска на 5°, поэтому максимальная глубина погружения Солнца под горизонт в Ленинграде на 5° (на отрезок BB') меньше*.

Рис. 8.

Движение поезда на север вызывает постепенное уменьшение глубины Солнца под горизонтом. Если мы тронулись в путь из Витебска в момент заката t₁ ехали безостановочно и прибыли в Ленинград в момент восхода Солнца в Ленинграде t₃', то вызванная нашим движением поправка в положении Солнца описывается кривой (почти прямой) DE. Складывая ординаты кривых ABC и DE, мы получаем кривую AGC', показывающую поведение Солнца для движущегося наблюдателя. Теперь момент t₂ – не самый темный: хотя кривая ABC в точке B имеет минимум и идет горизонтально, но нарастающая поправка DE, налагаясь на горизонтальный участок кривой ABC, приводит к нарастанию результирующей кривой AGC' в окрестностях момента t₂. Это значит, что в момент t₂ для движущегося наблюдателя ночь светлеет. Самое темное время для него было раньше, в момент t₂', соответствующий минимуму кривой AGC'. В минимуме кривая AGC' идет горизонтально. Это значит, что здесь снижение Солнца, вызванное вращением Земли, компенсируется подъемом Солнца, вызванным движением на север. Таким образом, момент минимума t₂' можно найти как момент, когда наклон кривой ABC равен наклону кривой DE по величине и противоположен ему по направлению. Касательная MN к кривой AFBC' в точке F (момент t₂') имеет именно такой наклон.

Чем быстрее движется поезд, тем круче идет кривая поправок DE, тем левее на кривой ABC находится точка, в которой крутизна кривой равна по величине и обратна по знаку крутизне кривой поправок, т.е. тем раньше наступит самое темное время. Рассчитаем хотя бы приблизительно, когда оно наступит, приняв за исходные следующие округленные данные для Ленинграда и Витебска, соответственно:

t₁' = 22 ч 00 мин, t₂ = 01 ч 00 мин, t₃' = 04 ч 00 мин;

t₁ = 21 ч 30 мин, t₂ = 01 ч 00 мин, t₃ = 04 ч 30 мин.

Как видно из рис. 8, в Ленинграде ночь длится T_Л = t₃' – t₁' = 6 ч 00 мин, в Витебске – T_В = t₃ – t₁ = 7 ч 00 мин. Ночь для пассажиров поезда, вышедшего из Витебска в момент заката t₁ и прибывшего в Ленинград в момент восхода t₃', начинается вместе с витебской ночью и кончается вместе с ленинградской. Она оказывается сдвинутой влево на графике и имеет продолжительность T_П = t₃' – t₁ = 6 ч 30 мин. Середина этой «поездной» ночи сдвинута на опережение на 15 минут относительно середины «станционных» ночей. Для пассажиров, едущих из Ленинграда в Витебск, кривая поправок будет иметь противоположный наклон, отчего середина «поездной» ночи сдвинется на запоздание.

Надеюсь, однако, никому из читателей не пришла в голову мысль, что пассажиру поезда Витебск – Ленинград надо перевести в какую-либо сторону стрелки часов!

* Здесь не учитывается, что на «видимое» положение Солнца оказывает влияние атмосферная рефракция даже в случае, когда светило находится под горизонтом. Это нельзя оценить непосредственно, так как Солнце не видно, но можно сделать косвенно – по яркости зари, вычисленной для отсутствия рефракции и измеренной при наличии последней.

Оглавление

А.

Москвичи смотрят по телевидению футбольный матч из Бухареста. В Москве еще светит Солнце, и. поэтому телеболельщики сильно удивились, когда комментатор пожаловался на то, что на стадионе уже стемнело. В самом деле, ведь Бухарест намного западнее Москвы, и Солнце должно заходить там позже. Вам предлагается разобраться в этом вопросе.

Б.

Если бы Бухарест был только западнее Москвы, то, действительно, ситуация была бы очень странной. Но он, кроме того, еще значительно южнее Москвы. Поэтому летом бухарестский день значительно короче московского, а зимою значительно длиннее. Зимою, очевидно, и то, что Бухарест западнее, и то, что там день длиннее, приводит к запаздыванию момента захода Солнца. Значит, обсуждаемый матч происходит не зимой. Летом же, когда бухарестский день короче московского, два фактора должны действовать на момент захода Солнца в Бухаресте противоположным образом. Какой из них преобладает, вы можете определить по данным приведенной таблицы.

Продолжительность дня в таблице соответствует летнему солнцестоянию (21 июня) и дана с учетом атмосферной рефракции.

В.

Если бы Бухарест не был южнее, а был только западнее Москвы (тогда бы он назывался Даугавпилсом), то Солнце в любой день года заходило бы в нем позже, чем в Москве, на одну и ту же величину. Эту величину легко вычислить. За сутки Земля поворачивается на 360°, следовательно, на 1° она поворачивается за 4 минуты. Даугавпилс (и Бухарест) на 37° – 26° = 11° западнее Москвы, что дает запаздывание заката на 44 минуты.

Бухарест находится на одной долготе с Даугавпилсом, поэтому полдень в обоих городах наступает одновременно. Восход и заход Солнца 21 июня симметричны относительно полудня. Поскольку в Бухаресте 21 июня день на 2 часа 05 минут короче, чем в Москве (и Даугавпилсе), то Солнце там восходит на 1 час 2,5 минуты позже, чем в Даугавпилсе, и заходит на 1 час 2,5 минуты раньше. Итак, Солнце в Бухаресте заходит раньше, чем в Даугавпилсе, на 62,5 минуты, а в Москве – на 44 минуты. Значит, в Бухаресте Солнце заходит на 62,5 – 44 = 18,5 минуты раньше, чем в Москве. Если учесть, что в южных широтах Солнце уходит за горизонт по довольно крутой траектории, то за 18,5 минуты после заката на стадионе действительно заметно стемнеет.

Рис. 9.

Итак, если транслируемый матч происходит около 21 июня, то болельщики напрасно удивляются жалобе комментатора.

Аналогичный расчет можно было бы провести, заменив Даугавпилс Новороссийском – городом, находящимся на одном меридиане с Москвой и на одной параллели с Бухарестом.

На рис. 9 для наглядности показан в двух проекциях земной шар и положение границы дня и ночи 21 июня в момент, когда в Бухаресте Солнце уже закатилось, а в Москве оно еще находится на небе. В северном полушарии ночь достигает только Северного Полярного круга ГЖК, выше которого сейчас царит полярный день. Точки М, Д, Б и Н означают соответственно Москву, Даугавпилс, Бухарест и Новороссийск. Меридиан ОДБО' – меридиан Даугавпилса и Бухареста, ОМНО' – Москвы и Новороссийска. На второй проекции отрезком AB параллели Москвы показана продолжительность московской ночи, отрезком CE – продолжительность бухарестской ночи.

Оглавление

А.

Спокойная гладь озера кажется плоскостью. Но вы прекрасно знаете, что эта поверхность куполообразна: ведь если бы озеро занимало всю поверхность земного шара, то поверхность озера и была бы поверхностью шара. Перед вами два круглых озера: одно диаметром 1 км, второе – 10 км. Во сколько раз высота купола второго озера больше высоты купола первого?

Б.

Обычно с ходу отвечают: «Приблизительно в 10 раз». А теперь проделайте точные вычисления, и вы увидите, что не в 10, а в 100 раз!

В.

Рис. 10.

Из рис. 10 следует, что высоту купола можно определить следующим соотношением

h = CD = OC – OD = r – r cos (α/2) = r [1 – cos (α/2)],

где r – радиус земного шара (6380 км), α – угол, под которым виден диаметр озера из центра Земли. Однако по этой формуле вычислять крайне неудобно: ведь угол α очень мал, косинус оказывается очень близким к единице, и, чтобы получить h с точностью хотя бы до двух знаков, необходимо определить этот косинус с точностью до десятого знака. Поэтому лучше формулу несколько преобразовать.

Вводя новое обозначение

x = α/4

и используя известную формулу

sin 2x = (1 – cos 2x)/2,

имеем

h = r [1 – cos (α/2)] = r (1 – cos 2x) = 2r sin 2x = 2r sin 2(α/4).

Эта формула удобнее первой: для определения h с точностью до двух знаков требуется знать синус также с точностью до двух знаков.

Найдем угол α. Поскольку длине экватора, равной 40 000 км, соответствует угол α = 360°, то диаметру озера d = 1 км соответствует угол α₁ = 0,009°, у 10-километрового же озера α₁₀ = 0,09°. Для таких малых углов синус угла с высокой степенью точности равен самому углу, выраженному в радианах:

sin (α/4) ≈ α/4.

Следовательно, формулу для вычисления h можно упростить:

h ≈ 2r (α/4)² = rα²/8.

Написав эту формулу для обоих озер,

h₁ = rα₁²/8, h₁₀ = rα₁₀²/8,

и разделив почленно одно равенство на другое, получаем

h₁/h₁₀ = α₁²/α₁₀².

Отсюда немедленно следует, что высота купола второго озера больше, чем первого, не в 10, а в 100 раз: поскольку α₁₀ = 10α₁, то h₁₀ = 100h₁.

Интересно узнать, какова величина h количественно. Для первого озера

α₁ = 0,009 – 2π/360 = 0,000157 рад.

Высота купола

h₁ = rα₁²/8 = 6 380 000 · 0,0001572/8 ≈ 0,02 м = 2 см.

Для второго озера

h₁₀ ≈ 2 м.

Не такое уж плоское это озеро! Под его куполом может свободно прогуливаться каждый из вас.

Заметим, что поскольку земной шар несколько сплюснут у полюсов, то там сплюснута и водная поверхность. В результате из двух одинаковых озер несколько более высоким куполом обладает озеро, расположенное ближе к экватору. Однако эта разница очень мала.

Будьте осторожны: если вас спросят, а какова была бы высота купола того же 10-километрового озера, если бы оно находилось на Луне (r = 1740 км), то не следует делать из формулы h = rα²/8 опрометчивого вывода, что там h в 6380/1740 = 3,7 раза меньше, чем на Земле: радиус уменьшился в 3,7 раза, но зато угол α возрос во столько же раз, а поскольку α входит в формулу во второй степени, то для того же озера h на Луне была бы не меньше, а больше в 3,7 раза. Впрочем, это ощущается и без формулы: ведь кривизна поверхности меньшего шара больше, чем большего. Кстати сказать, эта большая кривизна доставит исследователям Луны немало хлопот. Для космонавта, стоящего на лунной равнине, расстояние до горизонта всего лишь 2,3 км – рукой подать. Расходясь на 4,6 км, космонавты будут полностью терять друг друга из виду, причем даже радиосвязь на ультракоротких волнах между ними будет обрываться (УКВ распространяются только в пределах прямой видимости). Короткие же волны, распространяющиеся на Земле далеко за горизонт благодаря многократным отражениям от Земли и ионосферы (верхний заряженный слой атмосферы), на Луне непригодны из-за отсутствия ионосферы. Придется держать связь через далекую родину – Землю или через другой ретранслятор.

Оглавление

А.

На полюсе Солнце полгода находится над горизонтом, полгода же – под горизонтом. А Луна?

Б.

Чтобы ответить на вопрос, необходимо предварительно как следует разобраться, почему Солнце на полюсе полгода не сходит с неба и как оно при этом ведет себя.

В.

Орбита Луны и орбита Земли находятся приблизительно в одной плоскости, называемой плоскостью эклиптики. Эта плоскость наклонена под определенным углом к плоскости небесного экватора, поэтому половина эклиптики находится над экватором (т.е. в северном полушарии неба), а вторая – под экватором. На полюсе плоскость небесного экватора совпадает с плоскостью горизонта. Так как Солнце, двигаясь почти равномерно по эклиптике, описывает полный кажущийся оборот вокруг Земли за год, то оно находится над экватором (и горизонтом полюса) полгода и под экватором тоже полгода.

Луна описывает полный оборот вокруг Земли почти в той же плоскости приблизительно за месяц. Значит, на полярном небе она находится полмесяца, затем на полмесяца уходит под горизонт.

Солнце на полюсе выходит на небо в день весеннего равноденствия (точнее говоря, на три дня раньше – благодаря атмосферной рефракции). За счет суточного вращения Земли Солнце описывает круги над горизонтом, за счет движения по эклиптике Солнце поднимается все выше и выше вплоть до момента летнего солнцестояния. В результате оно описывает на небе восходящую спираль в течение трех месяцев (что дает около девяноста витков). После этого Солнце начинает спускаться по аналогичной спирали и в день осеннего равноденствия (точнее, на три дня позже) оно спускается за горизонт.

Луна описывает похожую, но более крутую спираль, так как поднимается она около недели (около семи витков) и столько же спускается.

Оглавление

II. Давайте-ка, ребята, присядем перед стартом