А.

Наступают сумерки. Где-то в начале улицы замыкают рубильник, и все нити накальных ламп вспыхивают. Но почему они вспыхивают неодновременно? Сначала ближний фонарь, а затем следующий и т.д., причем каждый позже предыдущего, так что создается впечатление бегущей вдоль по улице волны поджига*. Почему?

Б.

– Запаздывание из-за конечной скорости света? Но его скорость такова, что улицу длиной в 1 км он пробегает за 3,3 мкс. А инерция зрения в 20 000 раз больше, так что заметить это невооруженным глазом невозможно.

– Но надо еще учесть и время движения волны тока по проводам. Запаздывание равно сумме запаздываний движения тока туда и света обратно.

Верно, но скорости тока и света практически равны (если не делать специальных индуктивно-емкостных замедлителей). Время запаздывания всего лишь удвоилось бы.

Кроме того, если вы посмотрите в другой конец улицы (на другой вечер, конечно), то обнаружите, что волна зажигания бежит на вас, а не от вас. А это полностью разрушает приведенное выше объяснение. Оба конца улицы одновременно вы можете увидеть, находясь в стороне от нее. Волна будет бежать со стороны рубильника. Если он слева, то волна будет бежать по фонарям вправо, сначала приближаясь к вам, а затем удаляясь.

Одна из главных причин запаздывания – инерция накальной нити лампы: пока она не разогреется – света не будет. Но почему, несмотря на однотипность всех ламп и одинаковость их инерции, загораются они не одновременно?

В.

На рис. 55 показана идеализированная двухпроводная линия и множество накальных ламп. Подав напряжение, мы обнаруживаем, что все лампы вспыхивают одновременно (пренебрегаем упомянутыми микросекундами).

Рис. 55. Схема идеальной двухпроводной линии Однако если перейти от идеальной линии к реальной, сразу обнаруживаются существенные различия: каждый погонный метр провода обладает сопротивлением ρ, индуктивностью L и емкостью C (емкость образуется главным образом за счет двухпроводности: два провода – это две обкладки «конденсатора»). На частоте сети (очень низкой – 50 Гц) влиянием индуктивности и емкости на выводы нашей задачи можно пренебречь. Но сопротивление проводов, которое тоже, казалось бы, пренебрежимо мало, является, к всеобщему удивлению, решающим.

На рис. 56 показана схема, эквивалентная реальной линии с семью фонарями. Здесь R – сопротивление накальной нити лампы, r – сопротивление провода от фонаря до фонаря. Из схемы следует, что поскольку сопротивления проводов r включены последовательно с сопротивлением лампы R, то, если подать на вход напряжение E₀ = 220 В, к лампе 6 будет приложено U₆ < E₀, так как часть напряжения упадет на обоих r. Легко убедиться, что на рис. 56

E₀ > U₆ > U₅ > ... > U₀,

т.е. самая далекая лампа будет и самой тусклой.

Однако не думайте, что в этом все дело! Объяснением бегущей волны поджига тут еще и не пахнет!

Главная причина бегущей волны в том, что сопротивление накальной нити в холодном состоянии R_х намного меньше, чем в горячем (R_х < R_г). В момент включения все лампы холодны. Рассмотрим одну – единственную лампу 6 (рис. 56). Напряжение E₀ прикладывается к делителю напряжения r + R_х + r, и поскольку R_х мало, то ток велик и на сопротивлениях проводов падает значительная часть напряжения. В результате на самой лампе U_6х << E₀. Но ведь это напряжение является исходным для делителя, в состав которого входит вторая лампа 5. Эта лампа тоже холодна и ее R_х мало, а значит, U_5х < U_6х. Более того, второй делитель 6-5-5-6 шунтирует первую лампу 6, отчего сопротивление между точками 6...6 и напряжение U_6х еще меньше. И вот такое низкое напряжение U_6х прилагается к делителю 6...5-5-6, еще более низкое напряжение U_5х – к делителю 5...4-4-5 и т.д. В результате последняя лампа 0 разогревается малым током I₀ от малого напряжения U₀, а первая 6 – большим током I₆ от большого напряжения U₆. Ясно, что первая от рубильника лампа разогревается быстрее. И вот тогда произойдет самое интересное. Сопротивление горячей лампы раз в десять больше сопротивления холодной. Поэтому первая лампа практически перестает шунтировать последующие: ток в ней уменьшается, уменьшится и падение напряжения на подводящих проводах, отчего возрастет падение напряжения на лампе U₆. (Ток уменьшился, а падение напряжения возросло – это не нарушение закона Ома, потому что сопротивление лампы переменно: оно возросло больше, чем напряжение на ней.)

Итак, в горячем состоянии лампы 6 напряжение U_6г >> U_6х, а поскольку U_6г подается на делитель 6-5-5-6, то создаются условия для разогрева лампы 5, все еще шунтирующей последующие лампы. В соответствии с этим каждая последующая лампа загорается после того, как загорелась предыдущая.

Итак, гвоздем задачи являются два неравенства:

а точнее, неравенство этих неравенств (отражено несколько непривычно, с помощью знаков ↑ между членами верхнего и нижнего неравенств). Неравенство (1) для холодного состояния значительно сильнее неравенства (2), соответствующего горячему состоянию. Промежуточное состояние между этими двумя крайними особенно интересно:

Рис. 56. Эквивалентная схема реальной двухпроводной линии

Здесь отражено состояние, когда лампы 6 и 5 уже горят, их сопротивления уже велики, и поэтому U₆ и U₅ уже незначительно отличаются от E₀ (знак >), а остальные еще не горят, их сопротивления еще малы, и поэтому U_4х, U_3х и т.д. отличаются от своих предшественников значительно (знак >>). По мере перехода из состояния (1) в состояние (2) знаки >> заменяются на знаки >, но не все одновременно, а по очереди, слева направо. Это и обеспечивает движение волны поджига по улице слева направо.

От изложенного выше чисто качественного решения задачи следует перейти к количественному, иначе среди читателей найдутся скептики, сомневающиеся в том, что сопротивление r, обычно довольно малое, может привести к заметному эффекту.

Алюминиевый провод сечением 1,5 мм² длиной 50 м имеет сопротивление r = 1 Ом. Сопротивление накальной нити лампы на 220 В и 100 Вт зависит от температуры, которая, в свою очередь, зависит от напряжения. Для установившегося режима (спустя, например, минуту после включения напряжения), т.е. после того как лампа прогрелась до максимума, соответствующего данному напряжению U, эксперимент дает цифры тока I, сопротивления R и относительной светоотдачи L, указанные в табл. 2.

Итак R_х = 30 Ом, R_г = 480 Ом, т.е. сопротивление нити после включения под напряжение 220 В возрастает в 16 раз.

В табл. 3 показаны результаты расчета сопротивлении схемы между точками i – i и падения напряжения на них в момент включения (U_iх) и после разогрева всех ламп (U_iг). Считать R_i удобнее от конца к началу схемы, U_i– от начала к концу. Строка U_iх иллюстрирует сильное начальное неравенство напряжений на лампах (неравенство (1)), строка U_iг – слабое конечное неравенство (2).

Этот расчет показывает, что в момент включения на ближайшей лампе возникает напряжение 175 В, вполне достаточное для ее разогрева до свечения (спустя время, определяемое тепловой инерцией нити), а на последней лампе в этот же момент возникает всего лишь 63 В, которые не заставят светиться лампу, рассчитанную на 220 В Она загорится гораздо позже, когда все предыдущие лампы перестанут ее шунтировать. После этого на ней установится 197 В, что достаточно для ее свечения, правда, несколько более слабого, чем при 220 В.

Рис. 57. Изменение во времени: а) напряжения на i-й лампе; б) относительной светоотдачи

Как же идет у каждой лампы переход из начального состояния в конечное? Рассчитать сам переход в рамках данной книги невозможно Дело в том, что законы роста напряжения на каждой лампе различны, и поэтому различны законы роста температуры каждой нити и, следовательно, ее сопротивления. А каждое из этих растущих сопротивлений, в свою очередь, влияет на рост напряжения на каждой из ламп, как последующих, так и предыдущих. Кроме того, рост температуры не повторяет рост напряжения ни по форме, ни по времени из-за тепловой инерции нити. И, наконец, светоотдача нити определяется через спектральную характеристику глаза и совпадающую с нею часть спектра излучения нити (подробнее см. Введение к главе 1 книги «Свет и Тепло»), которая с ростом температуры долго пренебрежимо мала (см. строку L в табл. 1), а затем начинает расти гораздо круче напряжения. Короче говоря, для строгого решения задачи о свечении каждой из семи ламп в зависимости от времени необходимо решение системы из семи дифференциальных уравнений, которую читатель может решить на досуге, когда поступит в аспирантуру. Мы же вполне удовлетворим свое любопытство, сняв интересующие нас кривые экспериментально (рис. 57), с помощью специальной настольной модели (рис. 58), в которой вместо сопротивлений длинных проводов поставлены компактные резисторы 2r.

Рис. 58. Электрическая схема модели

Если вы вместо аккумулятора будете питать модель от сети, то все кривые станут знакопеременными, однако амплитуды этих синусоид будут меняться в соответствии с рис. 57а. Изменится и рис. 57 б, но не столь решительно: появятся пульсации света с глубиной не более 10...15% (пунктир на кривой 6), так как тепловая инерция нити не позволяет падать яркости лампы до нуля в моменты перехода напряжения через нуль (см. следующую задачу).

Подытожим: для того чтобы увидеть бегущую по фонарям волну поджига, необходимо наличие трех условий: заметного сопротивления проводов, тепловой инерции накальных нитей ламп и зависимости сопротивления нити от ее температуры. Отсутствие любого из этих условий ведет к одновременности зажигания всех ламп. В случае накальных ламп все три условия присутствуют всегда. Правда, в разных случаях – в разной степени. В хорошо сконструированной линии сопротивление провода от фонаря до фонаря меньше 1 Ом. Например, если провод состоит из 7 алюминиевых жил, подобных рассмотренной выше, то и сопротивление уменьшится в 7 раз, волна поджига будет бежать приблизительно в 7 раз быстрее. Если лампы меньшей мощности, то их сопротивление выше и, кроме того, тепловая инерция нити меньше.

Вы ходите в кино? Тогда вы, возможно, замечали. Герой входит в темную комнату и включает ночничок. В жизни маломощная лампочка ночничка вспыхивает практически мгновенно. В кино же освещенность комнаты от ночничка разгорается явно замедленно. Это потому, что где-то вне поля зрения в этот момент включается более инерционный «Юпитер». Его свет и должен играть роль света ночничка, такова специфика кино.

Простенькая и эффектная модель бегущей волны поджига может получиться из лампочек для карманного фонарика. Подбирая сопротивления 2r, имитирующие сопротивления проводов, можно добиться, что десятая от источника лампа будет зажигаться на 1...2 с позже первой. Можно ли пустить это в дело?

Во-первых, это любопытная елочная игрушка. Во-вторых, это реле времени. Если настроить каскад фототранзистора так, чтобы он срабатывал при уровне яркости ВВ (рис. 57 б), то к его выходу можно подключить прибор, которому нужно почему-либо срабатывать с задержкой (например, фотоаппарат при некоторых специальных съемках). Передвинув фототранзистор к лампе 0, мы получим задержку t₀ (относительно момента включения напряжения), к лампе 1 – задержку t₁, и т.д. Мы не претендуем на изобретение нового реле времени: хотя у него и есть новизна, но второй признак изобретения – полезность – здесь может быть оспорен, так как есть более простые и точные способы решения той же задачи. Но где-то этот эффект может оказаться полезным: ничто не должно ускользать из поля зрения изобретателя.

* Автор признателен инженеру А.В. Громову за идею этой задачи и за проделанные в нашей лаборатории эксперименты.

Оглавление

А.

Вы наблюдаете в зеркале огни городской улицы, освещенной самыми разными светильниками. Если покачивать зеркало, то изображения огней растягиваются в светящиеся замысловатые кривые. Легко добиться, чтобы эти кривые были близки по форме к окружностям. Почему кривые от одних ламп оказываются сплошными, а от других – пунктирными? Сколько штрихов будет на окружности, если зеркало совершает в секунду пять полных качаний?

Б.

Осветительная сеть питается переменным током частоты 50 Гц. Однако будьте бдительны: эта цифра может вас подвести.

В.

При вращении зеркала изображение лампы перемещается по замкнутой кривой. Яркость каждой точки кривой соответствует яркости лампы в тот момент времени, когда ее изображение находится в данной точке. Если яркость лампы постоянна во времени, то и все точки кривой имеют одинаковую яркость (предполагается, что вращение зеркала равномерно). В противном случае кривая выглядит пунктирной.

Лампы уличного освещения питаются переменным током. Поэтому яркость всех уличных светильников должна пульсировать. Однако глубина пульсации яркости у разных источников различна. Меньше всего она у накальных ламп. Накальная нить не успевает остыть в те моменты, когда ток через нее равен нулю, поэтому пульсация ее яркости не превосходит 10...15%. Такая разница в яркости обнаруживается с трудом. Поэтому и кривая в зеркале кажется имеющей практически равномерную яркость.

Люминесцентные («дневного света» и др.) и газосветные (например, неоновые) лампы менее инерционны: в моменты, когда ток обращается в нуль, они гаснут почти полностью.

Вычислим частоту пульсации лампы. Согласно закону Джоуля–Ленца количество тепла, выделяемое током в накальной нити, пропорционально квадрату силы тока; равно нулю, когда ток равен нулю, и положительно как при отрицательной, так и при положительной полуволнах тока, т.е. нить нагревается (и остывает) дважды за период тока.

Итак, яркость накальной лампы пульсирует с частотой вдвое большей, чем частота тока. Это же имеет место и у люминесцентной лампы. Поэтому, если зеркало совершает 5 качаний в секунду, а частота тока в сети равна 50 Гц, то на кривой будет обнаружено 50 · ²/₅ = 20 штрихов.

Пульсация силы света, излучаемого люминесцентной лампой, оказывается вредным явлением. Если цех освещен солнечным светом, то все быстро вращающиеся детали станков сливаются в сплошные круги. Люминесцентной же лампой цех освещается периодически (100 раз в секунду), вращающаяся деталь будет видна в тех положениях, в которых ее застигнет импульс света, отчего она перестает сливаться в круг, в глазах рабочего начинает «рябить», что быстро, его утомляет.

Еще хуже, если деталь совершает ровно 100 об/с: тогда каждый импульс света будет застигать ее в одном и том же положении, и она будет казаться неподвижной (сравните с задачей «Винт самолета в кино»). Колесо, имеющее 10 спиц, будет казаться неподвижным при 10 об/с, 20 спиц – при 5 об/с и т.д. Это явление называется стробоскопическим эффектом (от греческих слов «стробос» – вертушка и «скопео» – вижу). Ясно, что если рабочий примет вращающуюся деталь за неподвижную, то это может привести к несчастному случаю.

Можно ли, однако, устранить этот вредный эффект? Можно. Надо, чтобы одна лампа зажигалась тогда, когда гаснет другая, для чего следует питать две лампы со сдвигом фазы на 90°. Поскольку на всех заводах есть трехфазная сеть, то практически удобно собирать лампы по три в одном светильнике и питать их от разных фаз сети (со сдвигом на ±120°).

Стробоскопический эффект может принести также и пользу. Если плавно менять частоту пульсаций источника света, то вращающаяся деталь станет казаться неподвижной, когда число оборотов детали и число пульсаций в секунду станут равными. Если мы знаем частоту пульсаций, то этим самым мы измерим и число оборотов детали. Приборы, измеряющие скорость вращения по этому методу, называются строботахометрами (от греческого «тахос» – скорость).

Интересный случай стробоскопического эффекта приводится в книге голландского ученого М. Миннарта (см. Миннарт М. Свет и цвет в природе.– М.: Физматгиз, 1958). Велосипедист, проезжающий со скоростью 5 м/с по улице, вымощенной брусчаткой с размером бруска 5 см и освещенной люминесцентными лампами, видит брусчатку неподвижной относительно самого себя. Это происходит потому, что за одно мерцание лампы велосипедист смещается вперед ровно на один брусок, поэтому при каждой вспышке света он видит рисунок мостовой неизменным (хотя каждый брусок в рисунке при этом замещается его соседом). При увеличении скорости велосипедист начинает медленно «обгонять» брусчатку. Наоборот, при небольшом уменьшении скорости, ниже 5 м/с, брусчатка сама начинает «обгонять» велосипедиста, как бы убегая из-под колес велосипеда вперед.

Оглавление

А.

А теперь посмотрите через то же качающееся зеркало на экран телевизора. Вы увидите что-то подобное рис. 59. Конечно, то, что изображений не одно, а несколько, вполне объяснимо: изображение на экране появляется и пропадает 50 раз в секунду. Но вот что странно: несколько изображений видны кверху ногами, в то время как другие видны нормально. Объясните причины переворачивания изображений.

Рис. 59. Экран телевизора в качающемся зеркале

Б.

Большинство из вас знакомо с принципами современного телевидения и без труда разберется в описанном явлении. Для тех, кто не успел познакомиться с ними, нужны некоторые пояснения. Изображение на экране телевизора возникает не все целиком одновременно. Его рисует электронный луч, обегая весь экран поочередно, точка за точкой, так, как взор читателя обегает страницу книги при чтении. Луч сначала рисует слева направо верхнюю строку изображения, затем, несколько спустившись, возвращается налево и рисует вторую строку, третью и так до самой нижней, последней. После этого луч возвращается в левый верхний угол экрана и начинает рисовать второй кадр. В секунду луч рисует пятьдесят кадров (подробнее принцип формирования изображения см. в «1.1.2. Параметры разверток» «Параметры телевизионного сигнала и качество изображения»).

Советуем решить вспомогательную задачу. Как выглядело бы изображение в зеркале, если бы вышла из строя кадровая развертка и луч на экране телевизора имел только движение по горизонтали и не имел бы движения по вертикали, т.е. если бы луч все строки кадра накладывал одну на другую?

В.

На рис. 60, а показан телевизионный «кадр» в случае, когда все строки кадра наложились друг на друга. Пусть зеркало вращается так, что изображение экрана в нем описывает окружность против часовой стрелки. Будем рассматривать изображение «кадра» A на левой половине окружности в зеркале, где изображение зеркалом смещается вниз. Там кадр будет развернут вниз (рис. 60, б): строки 1, 2, 3... будут показаны глазу одна под другой, причем самая ранняя строка 1 будет выше всех, а самая поздняя – ниже всех. Высота кадра, на экране равная нулю, в зеркале будет видна как

S = v_зt,

где t – продолжительность зарисовки кадра на экране, v_з – скорость вращения изображения из-за вращения зеркала.

Рис. 60. Отображение кадров в зеркале

Как видите, в случае выхода из строя вертикальной развертки вашего телевизора у вас есть возможность развернуть изображение вручную, с помощью зеркала (правда, инерционность свечения экрана приведет к некоторому размазыванию изображения). Отметим, что на заре телевидения развертка с помощью вращающихся зеркал применялась в телевизорах, пока ее не вытеснили электронные методы развертки.

Будем следить теперь за изображением «кадра» A на правой половине окружности, где изображение зеркалом смещается вверх. Там самая ранняя строка «кадра» окажется ниже всех, кадр будет развернут снизу вверх (рис. 60, в). Высота кадра s будет той же, если скорость вращения зеркала не изменилась.

Рассмотрим теперь изображение при нормальной работе телевизора, когда на экране видна не одна единственная строка, а полный кадр (рис. 60, г) высотой h, в котором изображение развернуто по высоте за счет движения электронного луча сверху вниз со скоростью v_л. На левой стороне окружности в зеркале кадр будет растянут по высоте до величины s + h = t(v_з + v_л), так как там скорость луча и скорость зеркала суммируются (рис. 60, д). На правой же стороне окружности скорость электронного луча и скорость зеркала направлены встречно. Поэтому кадр там будет вести себя по-разному. Там, где вертикальная скорость луча превосходит вертикальную скорость зеркала (A и B на рис. 59), изображение будет развернуто сверху вниз, т.е. нормально, «вверх головой» (в точках A и B зеркало растягивает изображение главным образом по горизонтали). Там, где вертикальные скорости луча и зеркала окажутся равными по величине, кадр, развернутый на экране лучом, будет «свернут» обратно движением зеркала (C и K на рис. 59). А там, где вертикальная скорость зеркала превосходит вертикальную скорость луча (D, Е, F, H), изображение будет перевернуто «вверх ногами»: самая ранняя строка кадра (рис. 60, е) окажется самой нижней, самая поздняя – верхней. Высота кадра в зеркале будет равна s – h = t(v_з – v_л).

Оглавление

А.

Вы с приятелем смотрите кино. В кадре – самолет, выруливший на взлетную полосу. Двухлопастный винт самолета пришел в движение. Сейчас самолет начнет разбег для взлета.

– Винт в данный момент делает 11,5 об/с, – солидно, со знанием дела заявляет ваш приятель.

Откуда он может это знать, да еще с такой точностью? Может быть, он это сказал безответственно, только потому, что его никак нельзя – проверить?

Б.

Ваш приятель мог вычислить число оборотов винта. Можете сделать это и вы, если предварительно разберетесь в том, как будет выглядеть винт, совершающий число оборотов в секунду N, равное числу кинокадров в секунду n. Для простоты начните с однолопастного винта (хотя в авиации таких винтов и не бывает – центробежная сила инерции не была бы уравновешена и изогнула бы вал). Для справки: киносъемка производится обычно со стандартным числом кинокадров в секунду n = 24.

Проанализировав этот случай, рассмотрите поведение изображения однолопастного винта, совершающего N = n + 1 = 25 об/с и Ν = n – 1 = 23 об/с. Потом вы войдете во вкус и уже сами во всем разберетесь.

В.

Представим для простоты, что киносъемка винта ведется с предельно короткой выдержкой, и поэтому снимок винта на каждом кадре получается четким, несмотря на быстрое вращение. Пусть на первом кадре лопасть винта оказалась вертикальной. Поскольку N = n, то к моменту съемки второго кадра лопасть, совершив целый оборот (дуга α₁ = 360° на рис. 61, а), опять окажется в вертикальном положении. Все промежуточные положения не будут сняты, так как лопасть прошла через них при закрытом затворе кинокамеры. То же повторится в третьем (дуга α₂) и последующих кадрах. В результате лопасть на всех кадрах будет представлена кинозрителю в одном и том же положении, и зритель, естественно будет считать ее неподвижной. Если, однако, он так же сообразителен как ваш приятель, то примет во внимание, что перед этим лопасть пришла в движение и непрерывно набирала обороты. Следовательно, сейчас она на самом деле вращается, совершая N = n = 24 об/с.

Рис. 61. Положение винта при съемке

Рассмотрим поведение изображения при N = 25 об/с (лопасть по-прежнему вращается по часовой стрелке). Если в первом кадре она заснята в вертикальном положении 1 (рис. 61, б), то ко второму кадру (за 1/24 с) она совершит 25/24 = 1 + 1/24 об (дуга α₁ = 375°) и во втором кадре она будет снята с отклонением вправо от вертикали на 15° (прямая 2 на рис. 61, б). В третьем кадре она будет зафиксирована еще правее.

Легко сообразить, что, поворачиваясь от кадра к кадру на 15° изображение лопасти за 24 кадра (т.е. за 1 с) совершит один оборот и тоже по часовой стрелке. Таким образом, в то время как сама лопасть совершает 25 об/с, ее изображение на кинопленке совершает 25 – 24 = 1 об/с. Следить за таким медленным вращением, оценить кажущуюся его скорость и определить по ней истинную совсем нетрудно. Интересно, что если лопасть совершает 23 об/с, то зритель увидит ее вращающейся также со скоростью 1 об/с, но против часовой стрелки, т.е. в направлении, противоположном истинному направлению вращения (рис. 61, в).

В самом деле, в интервале между кадрами она поворачивается на 23/24 об по часовой стрелке. Но зритель этого не видит. Он видит, что во втором кадре лопасть оказалась на 1/24 об левее, чем в первом, в третьем – еще на 1/24 об левее, чем во втором, и т.д. Связывая эти последовательные образы по кратчайшему расстоянию, зрительный аппарат создает впечатление медленного вращения против часовой стрелки.

Проследим теперь за поведением изображения лопасти в течение всего времени, пока она набирает скорость от 0 до 24 об/с. Неподвижная лопасть изображается неподвижной. Пока число ее оборотов невелико (1...5), зритель успевает следить за изображением. С дальнейшим увеличением оборотов зритель уже не успевает следить за лопастью, хотя ее изображение правильно отображает ее движение. Так будет до тех пор, пока N не нарастет до n/2 = 12 об/с. Тогда лопасть между кадрами поворачивается ровно на пол-оборота, и по кинокадрам нельзя определить, в какую сторону она совершает эти пол-оборота. При 24 > N > 12 она совершает между кадрами более чем пол-оборота и представится вращающейся в противоположном направлении, причем с увеличением истинного числа оборотов кажущееся число уменьшается. Наконец, при N = 24 кажущееся число будет N' = 0. Лопасть кажется неподвижной. Связь между N и N' показана на рис. 62 ломаной OAB.

Рис. 62. Связь между кажущимся и истинным числом оборотов

А что же дальше? Дальше ломаная периодически повторяется: когда N дорастет до 2n, лопасть между кадрами будет успевать совершить ровно два оборота и на съемку будет являться каждый раз в одном и том же положении. Поэтому при N = 2n она опять будет казаться неподвижной (N' = 0, точка D). То же будет при N = 3n, 4n и т.д.

Отличить ситуацию F от ситуации B можно только при внимательном слежении за поведением изображения с самого начала вращения и при подсчете числа переходов изображения через неподвижное состояние. Третье неподвижное состояние означает, что число оборотов в секунду в действительности равно 3n = 3·24 = 72. На практике, поскольку при съемке затвор открывается на конечное время, то лопасть на снимке оказывается несколько размазанной Изображение лопасти при N = 3n отличается от изображения при N = n тем, что размытость лопасти втрое больше.

Вы с приятелем наблюдали в фильме не одно-, а двухлопастный винт. Он будет казаться неподвижным, очевидно, при N = n/2, n, 3n/2, 2n, ... (точки A', B, C' пунктирной ломаной на рис. 62), так как для двухлопастного винта достаточно повернуться между кадрами на пол-оборота, чтобы два смежных кадра стали неразличимыми. Правда, если лопасти окрашены в разные цвета, то остается в силе первоначальная сплошная ломаная. Ваш приятель видел винт вращающимся со скоростью один оборот в две секунды в направлении, противоположном истинному (точка K на рис. 62), когда он заявил, что число оборотов равно 11,5.

Рис. 63. Дискретизация и восстановление сигнала

В заключение заметим, что рассмотренные здесь искажения информации о движения и график OABCDE рис. 62 имеют большое значение не только для кино и светотехники (задача «Огни в зеркале»), но и в любом случае, когда какое-нибудь непрерывное колебание наблюдается прерывисто. Если на вход линии связи поступает синусоидальное колебание частоты Ν, но по линии связи передаются только его отдельные (дискретные) значения с частотой n (т.е. n коротких импульсов в секунду, каждый из которых имеет амплитуду, равную соответствующему мгновенному значению непрерывного колебания), то по этим отдельным значениям можно полностью и безошибочно восстановить непрерывное колебание на приемном конце линии только при условии, что Ν < n/2, т.е. что на каждый период синусоидального колебания приходится не менее двух передаваемых значений. В этом состоит смысл (здесь несколько упрощенный) одной из фундаментальных теорем теории информации – теоремы Котельникова.

На рис. 63, а показан электрический сигнал (зависимость напряжения U от времени t), подлежащий передаче по линии связи. Он состоит из синусоиды и постоянной составляющей напряжения U₀. Пусть по линии связи передаются только те значения сигнала, которые отмечены точками (по шесть значений на период синусоиды). Иными словами, по линии связи передаются импульсы, показанные на рис. 63, б. Приняв и должным образом продетектировав их, мы получим огибающую (рис. 63, в), в точности повторяющую первоначальный непрерывный сигнал. Стоит, однако, нарушить требование теоремы Котельникова, как сигнал восстановить уже не удастся. На рис. 63, г показан случай, когда по линии связи передается по одному импульсу за период сигнала (n = Ν, точка B на рис. 62). На выходе линии будут приняты импульсы постоянной амплитуды (рис. 63, д), их огибающая (пунктир) совершенно не отражает форму передаваемого сигнала.

Если пойти еще дальше и взять n < Ν, то в огибающей импульсов вновь появится синусоида (пунктир рис. 63, е), но частота ее будет далеко не равна первоначальной (сплошная кривая рис. 63, е). Эту частоту можно определить по графику рис. 62.

Теория информации имеет множество практических применений: проводная и радиосвязь, телеметрия, радионавигация, гидролокация, телевидение, кино, вычислительная техника и т.д. И везде для неискаженной передачи или обработки информации требования теоремы Котельникова должны быть соблюдены.

Оглавление

А.

Рис. 64. Неподвижный диск

Рис. 65. Вращающийся диск

Перед вами фотография диска с нанесенными на нем одинаковыми черными кружками (рис. 64). Впечатление такое, что в расположении кружков нет никакого порядка. Однако на самом деле здесь есть несколько кружков, нанесенных строго закономерно, равномерно по окружности диска. Найдите этот порядок среди беспорядка.

Б.

Если вы не придумаете ничего лучшего, чем вооружиться циркулем и чертить концентрические окружности, то задача вам наскучит раньше, чем вы доведете ее до конца. Кстати, чтобы удержать вас от этого примитивного пути, диск умышленно снят наискосок. Чтобы вас заинтриговать, придется немного приоткрыть карты. Взгляните на фотографию, приведенную на рис. 65. Она снята с того же диска и отчетливо показывает шесть упорядоченных кружков («сигналов») на фоне хаоса («помех»). Как получена эта фотография?

Считайте, что на обоих фото вы видите не позитивы, а негативы истинного диска.

В.

Судя по тому, что шесть упорядоченных кружков оказались густо-черными, а остальные – бледно-серыми, выдержка при фотографировании первых была больше, чем при фотографировании остальных. Но ведь невозможно для одних кружков затвор фотоаппарата открыть на большее время, а для других – на меньшее, тем более что пока не известно, для каких именно кружков это надо делать. Видимо, сами кружки каким-то образом управляли выдержкой для себя. Кстати, серых кружков на рис. 65 оказалось в несколько раз больше, чем их было на первоначальном рис. 64. Так могло получиться, если кружки экспонировались на один и тот же кадр в нескольких положениях. Следовательно, диск во время съемки вращался.

Но это еще не ответ. Если бы диск вращался, пока открыт фотозатвор, то на снимке каждый кружок размазался бы в дугу, как это произошло со звездами в задаче «А все-таки она вертится!». Видимо, за время съемки затвор открывался на короткие мгновения несколько раз... Все ясно!! Ну и ловкач же фотограф! Он снял диск на один кадр шесть раз, поворачивая его между съемкой каждый раз на 60°. И поэтому все кружки, расположенные упорядоченно через 60°, экспонировались 6 раз точно на место своих предшественников и получились яркими (т.е. на негативе густо-черными), а беспорядочные экспонировались каждый раз на новое место и получились в шесть раз бледнее, причем их число на снимке возросло в шесть раз.

Как ни лестна фотографу похвала, но ему следует без ложной скромности признаться, что он еще больший ловкач, чем вы думаете. Легко вам назвать цифру 60°, когда вы видите готовенький результат – второе фото. А как фотограф узнал, что диск между съемками нужно поворачивать на 60°? Ведь для этого надо знать, что число упорядоченных кружков равно шести, а не пяти, не четырем... Ладно, поскольку вы уже немало потрудились, остальное можно раскрыть.

Диск действительно вращался. Но, кроме того, во время съемки его освещали прерывистым светом (прерывистый свет можно получить и от непрерывного источника, Солнца, например, если на пути его лучей поставить вертушку с непрозрачными лопастями). За один оборот диск освещался шесть раз короткими, почти мгновенными вспышками. Фотозатвор же был открыт в течение всего оборота, что в сочетании со вспышками света равносильно угаданному вами периодическому открыванию затвора шесть раз.

Ну, а как фотограф узнал, что частота вспышек должна быть ровно в шесть раз выше частоты вращения диска? Очень просто: он перепробовал все варианты. Просто? Да, просто, если механизировать выбор варианта. Надо менять частоту вращения вертушки от нуля на повышение при постоянной частоте вращения диска. При этом диск будет виден то вращающимся, когда частоты не кратны, то неподвижным, когда они кратны (см. задачу «Винт самолета в кино»). В частности, при равных частотах диск кажется неподвижным в своем естественном виде, как на рис. 64 (первая слепая скорость), т.е. все кружки одинаково черны.

Увеличивая частоту вертушки (стробоскопа) вдвое, мы обнаружим, что шесть кружков ярче других, а остальные раздвоились и стали вдвое бледнее; при трехкратном соотношении частот шесть кружков вновь обнаружились, а остальные стали бледнее втрое и число их утроилось. При четырех- и пятикратном соотношениях частот картина менее выразительна. А при шестикратном будет достигнут максимальный контраст картины – шестикратный. Раздробить помеху более чем в шесть раз (без раздробления сигнала) не удастся: 12-, 18-, 24-кратное соотношения дадут тот же шестикратный контраст.

Вернувшись к 6-кратному соотношению, сделаем вращение вертушки равномерным и сфотографируем диск. И вот результат: периодическая структура четко видна на фоне случайных помех.

Имеет ли это явление практическое применение? Чрезвычайно широкое. Кино, телевидение, связь, радиолокация используют этот принцип на каждом шагу. Но мы начнем с наиболее наглядного примера, хотя область его применения ограничена.

Представьте, что археологи нашли тарелку, расписанную древним художником. На ней столько царапин и пятен, что узор не обнаруживается. Вы уже догадались, что над этой тарелкой стоит провести описанный выше эксперимент (только вращать ее не следует: нельзя рисковать уникальной находкой, лучше привести во вращение ее фотографию). Если в узоре есть симметрия относительно центра вращения, то она будет обнаружена.

Теперь пример из кино. Пусть в течение хотя бы одной секунды нам показывают неподвижный пейзаж. Это значит, что изображение (полезный сигнал) во всех соседних 24 кадрах одинаково. Но, кроме изображения, в каждом кадре имеются дефекты: зернистость пленки, царапины, прилипшие пылинки. Все эти дефекты в каждом кадре глубоко индивидуальны, случайны. На экране за секунду мы увидим 24 раза одинаковые (полезные) сигналы и только один раз каждый из дефектов, которые неодинаковы и появляются вразнобой по времени и месту. Это существенно улучшает отношение сигнала к помехам. Изображение в кино кажется намного чище, чем мы его видели бы, разглядывая отдельный кинокадр, – вы это сами можете проверить, когда из-за неисправности кинопроектора на экране остановится один кадр.

То же самое имеет место в телевидении: сигналы в смежных кадрах (для неподвижных объектов) одинаковы, а случайные «снежинки» помех различны. Инерционность нашего зрительного восприятия поможет накопить впечатление от сигнала с нескольких кадров, и он будет виден лучше, чем помехи.

Заметим, что это только малая часть той пользы, которую извлекают в телевидении из принципа накопления. Более фундаментально накопление используется на передающем конце, в телевизионной передающей трубке, где первоначальное малое отношение сигнала к помехам улучшается за счет накопления приблизительно в миллион раз.

Рис. 66. Передача и прием импульсов при локации

И, наконец, пример из радиолокации (рис. 66). Рассмотрим его несколько глубже, так как он универсален и имеет большое значение для всех областей техники, связанных с теорией информации. Впрочем, тот, кто устал, может его пропустить.

Пусть радиолокатор посылает четыре зондирующих импульса (лента а), следующих друг за другом·с определенным периодом T. От облучаемого объекта вернутся четыре отраженных импульса (лента б), следующих с тем же периодом T, но запаздывающих каждый относительно своего зондирующего на время t_R. Измерив это запаздывание, мы измерим расстояние до отражающего объекта.

Теперь представьте, что вместо сигналов (б) вы получили смесь сигналов и помех (лента в). Задача измерений сильно осложнилась бы: все импульсы одинаковы; какие из них полезные, какие помехи – на первый взгляд отличить невозможно.

Попробуем применить только что освоенный нами принцип накопления. Запишем принятые сигналы (в) на четырех экземплярах магнитной ленты (в, г, д, е) и сместим их друг относительно друга на отрезок, соответствующий периоду повторения* T (этот период мы знаем, так как сами его создавали, посылая зондирующие импульсы). Сложим сигналы со всех четырех лент (перепишем совместно все четыре сдвинутые ленты на пятую). Результат сложения показан на ленте ж.

В момент, когда импульс имеется на всех четырех лентах, на пятой мы получим импульс A учетверенной амплитуды (например, 4 В). В моменты, когда импульс имеется только на трех лентах, на пятой получим импульсы Б₁ и Б₂ утроенной амплитуды, и т.д. Помехи записаны на всех лентах, но они случайны, интервалы между ними не равны T, поэтому при сдвиге лент на T они не совпали друг с другом (то же было на диске, на кинокадре) и поэтому не сложились (импульсы Д на ленте ж с амплитудой 1 В). Правда, одна из помех ленты в чисто случайно совпала с помехой ленты г и дала на ленте ж импульс E двойной амплитуды (то же произошло кое-где и со случайными кружками на диске, см. рис. 65). Вероятность такого совпадения мала. Еще меньше вероятность совпадения помех на трех лентах. И уже совсем маловероятно совпадение на всех лентах (особенно если их много, например двадцать). Таким образом, совпадение на всех четырех лентах свидетельствует с большой уверенностью, что это сигнал.

Отбросим все импульсы, амплитуды которых меньше 4 В, и сохраним остальные (это можно сделать с помощью ограничителя – устройства, пропускающего только сигналы, превосходящие некоторый порог ограничения, например, 3,5 В). Этим самым мы отбросим все помехи и оставим только сигнал A' (лента з). Сравнивая его положение на оси времени с положением последнего зондирующего импульса (4 на ленте а), мы определим запаздывание t_R (лента з) и по нему – расстояние.

Разумеется, в радиолокаторе и запись, и считывание ведутся автоматически и непрерывно, результаты выдаются немедленно.

Между прочим, магнитная лента – не лучшее из того, чем располагает радиолокация. Здесь она употреблена только для наглядности.

И последний вопрос: а что, если помеха придет сильная, вчетверо больше сигнала (лента е, импульс K, показанный пунктиром)? Тогда она одна, ни с чем не складываясь, достигнет порога ограничения (K' на ленте ж) и появится на выходе (K'' на ленте з). Этот же вопрос применительно к диску: а что, если бы один из случайных кружков на рис. 64 был вшестеро ярче других? Тогда он один при вращении диска дал бы на рис. 65 шесть кружков, по яркости равных сигналу и равномерно расположенных по кругу.

Ответ прост: такой кружок мы заметили бы еще на неподвижном диске и могли бы заретушировать так, чтобы он не выпячивался среди остальных. Этот же ответ применительно к радиолокатору: можно было бы с помощью еще одного ограничителя подравнять амплитуды всех импульсов в, г, д, е еще до сложения. Этим мы лишили бы помеху ее амплитудного преимущества, сохраняя за сигналом преимущество коллектива, против которого одиночная помеха бессильна.

* Подбор правильного смещения (до совпадения импульсов) равносилен подбору нужного числа оборотов диска, описанному в начале задачи.

Оглавление

А.

В большой круглой миске – вода. Вы роняете в воду плавучий предмет (хлебную крошку и т.п.), стараясь попасть в центр. Как без инструментов проверить, насколько вам это удалось?

Б.

Проделайте этот эксперимент. Если вы наблюдательны, то он вам подскажет способ проверки. Впрочем, исчерпывающей подсказкой является мысль Пруткова. Круги легче наблюдать, когда в зеркале воды отражается что-либо пестрое (листва деревьев, облака и др.). Если отражается чистое небо, то горбы и впадины волн не отличить от наклонных участков, т.е. картина волн наблюдается с большим трудом.

Рис. 67. Центры возбужденной и отраженной волн

В.

Нужно наблюдать за отраженной волной. Если крошка упала точно в центр, то возбужденная ею круговая волна достигнет краев миски одновременно во всех точках. Благодаря этому отраженная волна тоже будет круговой и, распространяясь от краев к центру, сфокусируется точно в месте своего возникновения, отмечаемом плавающей крошкой.

Если же крошка не попала в центр, то отраженная волна сфокусируется не в центре, а в точке, находящейся по другую сторону от центра, симметрично с крошкой. Это позволит вам немедленно уточнить второй бросок: вторую крошку нужно бросить посредине между точками исхода и схождения волн.

Рис. 68. Прямолинейные отраженные волны

Строго говоря, отраженные волны фокусируются в точку только при условии, что вы попали крошкой точно в центр. При любом другом положении источника колебаний фокусировка в круглой миске будет несовершенной: отраженные волны не будут точными кругами и будут сходиться уже не в одной точке, а на некотором отрезке. Это легко заметить, если крошку уронить достаточно далеко от центра. Однако и в этом случае картина волн покажет, в какую сторону и как сильно вы отклонились.

Если бы миска была эллиптической (блюдо), то для получения круговой отраженной волны нужно было бы попасть крошкой в один из фокусов эллипса (рис. 67). Тогда отраженные волны сошлись бы во втором фокусе. Именно таково свойство эллипса: ломаная ACB, соединяющая фокусы эллипса A и B с любой точкой эллипса C, имеет постоянную длину.

Если бы сосуд имел параболическую форму (таких не бывает, так как парабола – незамкнутая кривая) и вы бросили бы крошку в фокус параболы, то отраженные волны были бы не кривыми, а прямолинейными (рис. 68), т.е. фокусировались бы в бесконечности. Картина будет тем отчетливее, чем дальше от фокуса экран Э, замыкающий сосуд.

Оглавление

А.

Перед вами «снимок» глади озера сверху (рис. 69). Точки – пловцы, окружности – волны. Куда плывут пловцы? Какой из пловцов плывет быстрее? Какова скорость пловцов, если скорость волн 0,5 м/с?

Б.

Найдите точки, в которых находились пловцы в начале заплыва. Стоп! Дальше не читать! Подумайте!

Рис. 69. Схема расположения пловцов и волн

Если ничего не придумали, читайте дальше. Скорость волны одинакова по всем направлениям; Поэтому волна и является окружностью: от той точки, где она возникла (центра окружности), она прошла по всем направлениям одинаковое расстояние. Очевидно, самая первая волна успела продвинуться дальше всех. Значит, это окружность наибольшего радиуса. Центр этой окружности и есть место старта пловца. Теперь вы без труда ответите на поставленные вопросы.

В.

Каждая волна создается пловцом. Очевидно, центры всех окружностей изображают последовательные положения пловца. Центр самой большой окружности O₁ (рис. 70) изображает первоначальное положение пловца. Следовательно, пловец A плывет вправо, пловец M – вперед (на чертеже – вверх). За время, за которое пловец проплыл из точки O₁ в A, волна 1 прошла расстояние O₁B = O₁C = O₁D = O₁E. Расстояние O₁B, как следует из измерений по рисунку, вдвое больше расстояния O₁A. Следовательно, скорость пловца A вдвое меньше скорости волны, т.е. равна 0,25 м/с. Аналогично измеряем скорость пловца M. Она еще меньше – 0,125 м/с.

Рис. 70. Определение первоначального положения пловца

Оценим теперь качественно картину волн в зависимости от скорости пловца. Если пловец барахтается на месте, он создает концентрические кольца волн. Если он движется, то волны сгущаются в том направлении, куда он плывет, и разрежаются в противоположном направлении. Сгущение тем сильнее, чем больше скорость пловца. Так будет до тех пор, пока скорость пловца не сравняется со скоростью волн. Тогда все окружности – большие и малые – касаются друг друга в одной точке, а именно в той, в которой находится пловец (рис. 71, а). Если пловец движется быстрее волн, то картина оказывается сложнее (рис. 71, б). Наиболее отчетливо в ней виден клин из двух прямых волн AB и AC – общих касательных ко всем круговым волнам. Внутри же клина картина очень запутана: здесь в отдельных местах гребень одной волны складывается с гребнем другой и получается более высокий гребень, в других же местах складываются две впадины, в третьих – гребень одной с впадиной другой. И только на прямых AB и AC мы имеем простую картину: вдоль этих прямых выстроились гребни всех кольцевых волн.

Построив точку старта O и соединив ее с A и B, мы получаем прямоугольный треугольник OAB, у которого гипотенуза OA изображает путь, пройденный пловцом, а катет OB – путь, пройденный волной за то же время t. Если обозначить угол BAC буквой α, то OB/OA = sin (α/2). Разделив числитель и знаменатель левой части на t, мы получаем слева отношение скоростей волны v_в и пловца v_п. Таким образом, скорость пловца можно найти по формуле

Рис. 71. Определение места нахождения пловца

v_п = v_в / sin (α/2).

Чем острее клин (меньше α), тем больше скорость пловца.

Отметим, что аналогичный клин звуковых волн создается у самолета, летящего со скоростью, большей скорости звуковых волн (со сверхзвуковой скоростью). Этот клин (точнее, поверхность конуса, поскольку в этом случае речь идет о движении волн в среде с тремя измерениями), набегая на наблюдателя, создает у него впечатление орудийного выстрела, после которого наблюдатель, находясь уже внутри конуса, начинает слышать обычный звук самолета.

Рис. 72. Клин звуковой волны, создаваемый самолетом

Такой конус показан на рис. 72 (а – вид сбоку, б – вид сверху). На поверхности конуса давление выше, чем снаружи и внутри. Вблизи самолета перепад давления может достигать значительной величины, зависящей от высоты полета, типа машины, ее скорости; поэтому ударная волна низко летящего сверхзвукового самолета может произвести заметные разрушения. Но при высоте полета более 10 000 м волна достигает земли с давлением, превышающим атмосферное не более чем на доли процента.

Земной наблюдатель D видит самолет A в зените, но не слышит его звука; на наблюдателя C в данный момент набегает поверхность конуса с повышенным давлением, и он слышит «выстрел». Наблюдатель E находится внутри конуса, он слышал «выстрел» в момент, когда самолет находился в точке A', а сейчас слышит обычный гул самолета.

Часто удается различить, что «выстрел» двойной: второй удар происходит от хвостовой волны ΧΥΖ (на поверхности этого конуса давление ниже, чем снаружи и внутри).

Линия пересечения конуса и плоской поверхности земли – гипербола NCM, во всех точках которой «выстрел» слышен одновременно. Она отделяет зону K, в которой самолет еще не слышен, от зоны L, в которой он уже слышен. Эта гипербола движется по земле со скоростью самолета. Кстати, не поленитесь вычислить эту скорость, исходя из того, что на рисунке α = 100°.

Более подробно об этом явлении можно прочесть в брошюре: Миронов А.Д. Сверхзвуковой «хлопок» самолета. – М.: Воениздат, 1964.

Обратите внимание, что приведенная формула при v_п < v_в дает

sin (α/2) = v_в / v_п > 1,

что невозможно. Не надо думать, что это ставит под сомнение правильность формулы. Наоборот, своим экстравагантным поведением формула предостерегает читателя, чтобы он держал ухо востро: область применения формулы кончилась, при v_п < v_в картина волн меняется не только количественно, но и качественно, клин волн исчезает, угол α теряет физический смысл, картина волн становится подобной рис. 69.

Оглавление

А.

Эта задача является продолжением предыдущей. Пусть впереди и позади пловца на воде лежат поплавки, покачивающиеся на проходящих под ними волнах. Сколько колебаний в минуту совершает каждый из поплавков, если пловец создает 120 волн в минуту (120 взмахов руками)? Как меняется частота колебаний поплавков, если изменяется скорость пловца? Будем при этом предполагать, что частота взмахов рук остается прежней, а скоростью пловец управляет за счет того, что делает взмахи более или менее энергичными.

Б.

Из рис. 73 видно, что длина волны λ₁, распространяющейся к первому поплавку A₁ больше длины волны λ₂, идущей ко второму поплавку A₂. Удобно начинать расчет с того, чтобы найти λ₁ и λ₂.

Рис. 73. Схема расположения пловца, поплавков и волн

В.

Введем обозначения: f₀ – частота колебаний, создаваемых пловцом; v_п – скорость пловца; v_в – скорость волн. Найдем расстояния BC и BD от пловца B до n-й волны в направлениях к поплавкам A₁ и A₂. Центр окружности, изображающей n-ю волну, является точкой O, в которой находился пловец вместе с этой волной (в момент рождения волны).

Из рисунка видно, что OC = OD = v_вt_n, OB = v_пt_n, где t_n – время, протекшее с момента рождения n-й волны. Следовательно,

BC = OC + OB = (v_в + v_п)t_n, BD = OD – OB = (v_в – v_п)t_n.

С другой стороны,

BC = nλ₁ и BD = nλ₂.

Таким образом,

nλ₁ = (v_в + v_п)t_n, nλ₂ = (v_в – v_п)t_n.

Разделив левые и правые части этих формул на n и учитывая, что n / t_n = f₀, имеем

λ₁ = (v_в + v_п) / f₀, λ₂ = (v_в – v_п) / f₀.

Частоты колебаний поплавков a₁ и a₂, очевидно, равны

f₁ = v_в / λ₁ = f₀v_в / (v_в + v_п), f₂ = v_в / λ₂ = f₀v_в / (v_в – v_п).

Периоды же их колебаний равны соответственно

T₁ = 1 / f₁ = (v_в + v_п) / f₀v_в = T₀(1 + v_п / v_в),

T₂ = 1 / f₂ = (v_в – v_п) / f₀v_в = T₀(1 – v_п / v_в).

Пловец создает 120 волн в минуту, или 2 волны в секунду, т.е. f₀ = 2 Гц. Если v_в = 0,5 м/с и v_п = 0,25 м/с, то

λ₁ = (0,5 + 0,25) / 2 = 0,375 м = 37,5 см,

λ₂ = (0,5 – 0,25) / 2 = 0,125 м = 12,5 см,

f₀ = 2·0,5 / (0,5 + 0,25) = 1,33 Гц (80 колебаний в минуту),

f₂ = 2·0,5 / (0,5 – 0,25) = 4 Гц (240 колебаний в минуту).

Теперь можно подвести итоги. Частота колебаний поплавка A₁, от которого источник колебаний (пловец) удаляется, ниже частоты колебаний f₀ источника. Частота колебаний f₂ поплавка A₂, к которому источник колебаний приближается, выше частоты колебаний источника. Это явление представляет собой не что иное, как известный из других областей физики эффект Доплера. Сам Доплер открыл его в акустике: тон гудка паровоза выше, пока паровоз приближается к наблюдателю, но сразу же понижается, когда паровоз, пройдя мимо наблюдателя, начинает удаляться от него.

Картина волн на воде осложняется тем, что пловец создает волны не только руками, но и ногами. Кроме того, на поверхности воды скорость волны несколько зависит от ее длины. Поэтому круги на воде вокруг пловца будут не совсем точными.

Оглавление

А.

Уезжая из Ленинграда во Владивосток, вы пообещали своему другу, что будете посылать ему письма с дороги каждые два часа. Вы точно держите свое слово. Почта работает идеально: почтовый самолет каждые два часа пролетает мимо окна вашего вагона, подхватывает ваше письмо, мчится к окну вашего ленинградского друга и сбрасывает письмо через форточку на стол. Тем не менее, ваш друг упрекает вас в том, что вы не выполняете своего обещания. Как вы объясните те таинственные силы, которые вмешались в переписку?

Б.

Предупреждение: не привлекайте, пожалуйста, для объяснения теорию относительности. В век космических скоростей всем известно, что в движущемся объекте время течет медленнее, чем в неподвижном. Но этот эффект становится заметным только при скоростях, близких к скорости света. А так как скорость поезда даже отдаленно не напоминает скорость света, то сомнительно, что ваш друг обнаружит это замедление переписки, даже если он обладает наилучшей измерительной аппаратурой.

Если вы еще не догадались, в чем дело, то вам поможет знание того факта, что если вы одновременно (двумя разными самолетами) посылаете письма в Ленинград и Владивосток, то ваш владивостокский друг сообщит вам, что вы перевыполняете свое обещание.

В.

Удобнее всего начать с числового примера. Пусть скорость поезда v_п = 100 км/ч, скорость почтового самолета v_с = 500 км/ч. Первое письмо отправлено вами через 2 ч после расставания, т.е. с расстояния 200 км. Самолет доставит его за 200 / 500 ч, т.е. за 24 мин. Таким образом, ваш друг получит его через 2 ч 24 мин. Второе письмо он получит через 4 ч 48 мин после расставания, и т.д. Вы отправляете письма каждые два часа, а ваш друг получает их с периодом 2 ч 24 мин.

Обозначим период между двумя отправлениями писем через T₀. За это время вы удаляетесь от друга на расстояние v_пT₀. Самолет потратит на преодоление этого дополнительного пути время v_пT₀ / v_с. В результате период между двумя получениями письма равен T₁ = T₀ + T₀v_п / v_с = T₀(1 + v_п / v_с).

Сравните эту формулу с той, которую мы получили в предыдущей задаче. Они совпадают, потому что и задачи фактически совпадают, если не делать различия между письмами и волнами, пловцом, удаляющимся от поплавка, и поездом, удаляющимся от Ленинграда. При этом скорость поезда заменяет скорость пловца, скорость самолета – скорость волн. Поплавок впереди пловца получает волны чаще, чем пловец их создает, так же как ваш владивостокский друг получает письма чаще, чем вы их посылаете. Это все тот же эффект Доплера. Не будем обсуждать вопрос, куда деваются недополученные и откуда берутся лишние письма: в этом вы легко разберетесь сами.

Эффект Доплера имеет место в любом случае, когда источник периодических сигналов и приемник движутся друг относительно друга: в акустике, в волнах на воде, в частоте получения писем. Наиболее широкое практическое применение эффект Доплера получил в оптике и радиотехнике. Астрономы по доплеровскому смещению линий спектра определяют скорости движения звезд и межзвездных облаков водорода. Радисты по доплеровскому изменению частоты сигналов передатчика спутника определяют его скорость, направление полета и расстояние, на котором он пролетает.

Сигнал, посылаемый радиолокатором на самолет, отразившись от него, возвращается в радиолокатор с удвоенным доплеровским сдвигом частоты (частота сдвигается при прохождении сигнала к цели и обратно; для сравнения можете разобрать случай, когда вы пишете письма из поезда, а ваш ленинградский друг немедленно посылает вам ответные письма). Сравнивая частоту посланного радиосигнала с частотой принятого отраженного, определяют скорость самолета. Радиолокатор может быть расположен на самолете и облучать земную поверхность. Тогда по доплеровскому сдвигу отраженного сигнала на самолете определяют собственную скорость относительно земной поверхности.

Оглавление

А.

Вы стоите у железнодорожного полотна и слушаете ритмичный перестук колес проходящего поезда. Ваш товарищ едет в этом поезде и тоже слушает этот перестук. Одинаковы ли оба темпа наблюдаемых перестуков (числа ударов в единицу времени) или один из них быстрее другого? Одинаковы ли оба ритма (равномерные, прерывистые)?

Б.

Могу побиться об заклад, что многие читатели уже смекнули: тут замешан эффект Доплера. Более того, самый дотошный читатель вспомнил даже об эффекте Эйнштейна (замедление хода времени в движущемся объекте). Не будем останавливаться на этих явлениях, важных в других случаях, но не имеющих существенного значения для нашей задачи. Всё гораздо проще. Эффект, который вы должны обнаружить, намного весомее: наблюдаемые вами и вашим товарищем темпы перестука могут различаться вдвое – втрое, а не на какие-то там доли процента.

Напомним, что ритмичный перестук (на фоне более или менее равномерного шума) возникает из-за периодического набегания колес вагонов на периодически расположенные вдоль пути стыки рельсов (этим создается главный, наиболее отчетливый ритм). Отсюда следует любопытный факт: источник звука движется... и не движется, поскольку звук происходит от удара движущегося (поступательно) колеса о неподвижный рельс (для вагонного наблюдателя – от удара «неподвижного» колеса о «движущийся» рельс). Как здесь проявится эффект Доплера, стоило бы разобраться, но это уж как-нибудь в другой раз...

В.

Вы слушаете удары колес, поочередно набегающих на ближайший к вам стык; ваш приятель слушает удары стыков, поочередно «набегающих» на ближайшее к нему колесо. Период t₁ между двумя наблюдаемыми с земли импульсами звука равен расстоянию от колеса до колеса l₁ деленному на скорость поезда (рис. 74, а), Период t₂, наблюдаемый из поезда, равен длине рельса l₂, деленной на ту же скорость. В общем случае l₁ ≠ l₂. Обычно l₂ > l₁, поэтому темп поезда для стоящего у полотна будет быстрым (allegro – на языке музыкантов), для едущего в вагоне – более умеренным (moderato).

Рис. 74. Возникновение дорожных ритмов: а) расположение объектов; б) для наземного наблюдателя; в) для вагонного наблюдателя

Теперь о ритмах. Расстояние l₁ между колесами, принадлежащими одному вагону, не равно расстоянию l₃ между колесами, относящимися к разным вагонам; поэтому наземный наблюдатель будет слышать неравномерный сбивчивый ритм. Вагонный наблюдатель услышит равномерный ритм: длины рельсов, следующих друг за другом, как правило, одинаковы. Впрочем, в тамбуре и на переходе из вагона в вагон ритм будет тоже сбивчивым, так как там будут слышны удары о стык колес обоих вагонов.

На рис. 74, б показана ориентировочно мощность звука как функция времени для наземного наблюдателя, стоящего у стыка N. Он слышит громкие удары колес A, B, C, D, E о стык N в моменты A_Ν, B_N, C_N, D_N, E_N, разнесенные на интервалы t₁ и t₃, пропорциональные отрезкам l₁ и l₃.

На рис. 74, в показана мощность звука для вагонного наблюдателя, стоящего у колеса C. Он слышит удары стыков Ν, Μ о колесо С в моменты N_C, M_C, разнесенные на интервал t₂, пропорциональный длине рельса l₂.

Разумеется, наземный наблюдатель слышит стук колес не только о стык Ν, у которого он стоит, но и о другие стыки. Удары о стык M показаны на рис. 74, б (A_M, B_M). Эти удары запаздывают по отношению к ударам A_Ν, B_N на время t₂ (плюс еще время распространения звука в воздухе). Слышны они слабо: если наблюдатель находится в двух метрах от полотна (напротив стыка), а длина рельса 20 м, то удары о соседние стыки будут слышны примерно в 100 раз слабее (правда, если звук от стыка M идет к вам не только по воздуху, но и по рельсу, то ослабление будет не таким сильным).

Естественно, если наблюдатель находится на полпути между стыками, то звуковые импульсы A_Ν и A_M, B_Ν и B_M будут одинаковыми (правда, это еще зависит от того, одинаковы ли оба стыка и одинаковы ли свойства колеса по его окружности). Тогда ритм и темп для наземного наблюдателя станут еще более запутанными.

Все это можно повторить и по отношению к вагонному наблюдателю. В частности, если вас не устраивает слышимый вами ритм, вы можете передвинуться вдоль вагона и услышать другой, более удачно аккомпанирующий вашей дорожной песне. Любители песни знают, что среди огромного числа уже написанных дорожных, попутных, путевых (и непутевых) песен, широко использующих подражание стуку колес поезда, нет двух песен с одинаковым ритмом. И, тем не менее, все эти имитации оказываются правдоподобными – настолько разнообразны натуральные дорожные ритмы.

Интересно, что если вы стоите не у самого полотна, а на расстоянии, соизмеримом с длиной поезда, то ритм поезда будет совершенно иным: вы будете слышать почти одинаково громко удары всех колес обо все стыки.

Если вы хотите насладиться всем·разнообразием ритмов поезда, то вам надо поспешить с наблюдениями: на железных дорогах начали устранять стыки рельсов. Рельсы свариваются в 800-метровые плети, укладываются на железобетонные шпалы – и путь становится «бархатным». Романтический перестук колес уходит в сиреневую даль прошлого.

Оглавление

А.

Самолет летит со сверхзвуковой скоростью. Летчик находится в носовой части фюзеляжа A (рис. 75), двигатели – на плоскостях, в точках B и C. Может ли летчик слышать звук двигателей своего самолета?

Рис. 75. Схема образования волнового фронта

Б.

– Не может! – в один голос заверяют все, решающие эту задачу. – Мы уже знаем из задачи о пловцах и волнах (да и без вашей задачи мы это знали), что при полете со сверхзвуковой скоростью звук двигателя можно услышать только внутри конуса, имеющего вершиной положение двигателя и расположенного позади двигателя. Два двигателя дают два конуса, заполненных звуком (B₁BB₂ и C₁CC₂ на рис. 75). Летчик находится вне этих конусов и, следовательно, не может слышать звук двигателей. Но спросите-ка пилота сверхзвукового самолета, и он вам скажет, что звук двигателей прекрасно слышен. Только не спрашивайте его – почему, а постарайтесь объяснить сами.

В.

Звук может распространяться не только по воздуху, но и по корпусу самолета. Скорость звука в воздухе – около 330 м/с, в дюралюминиевой обшивке самолета – около 5000 м/с... Не торопитесь с выводами! Летчик слышит звук не потому, что скорость самолета ниже скорости звука в дюрале! Даже при скорости самолета больше 5000 м/с звук будет слышен.

Дело в том, что между воздухом, как средой, в которой распространяется звук, и корпусом самолета есть существенная разница. Воздух, неподвижный относительно Земли, движется относительно источника звука (двигателя) и приемника звука (летчика); корпус же самолета неподвижен относительно источника и приемника звука. Поэтому звук, распространяющийся в воздухе, уносится вместе с воздухом назад, не достигая летчика; звук, распространяющийся в корпусе летящего самолета, идет по корпусу точно так же, как он шел бы в корпусе неподвижного самолета. Таким образом, звук достигнет летчика по корпусу при любой скорости самолета*.

Заметим, что поскольку самолет наполнен воздухом, который движется вместе с ним, то по этому внутреннему, неподвижному относительно самолета воздуху звук также может достичь кабины. Отсюда, кстати сказать, следует, что даже в космическом корабле, летящем со скоростью, намного большей скорости звука в воздухе и дюрале, звук работающих двигателей будет достигать всех отсеков корабля, в том числе и носового.

Другое дело, если летит рядом пара сверхзвуковых самолетов. Единственной акустической средой, связывающей их, является уносящийся назад воздух. В этом случае услышать звук соседнего самолета невозможно. Для этого нужно было бы находиться внутри звукового конуса.

После всего сказанного выше довольно курьезным выглядит тот факт, что звук двигателей мог бы слышать тот, кто сумел бы лететь со скоростью самолета впереди двигателя в точке D, хотя эта точка находится вне звуковых конусов двигателей и единственной акустической средой, связывающей эту точку с самолетом, является уносящийся назад со сверхзвуковой скоростью воздух. Дело в том, что, как показано выше, звук двигателей по обшивке самолета добирается до самого носа фюзеляжа, а нос, уже как вторичный излучатель (ретранслятор), излучает небольшую долю звуковой энергии двигателей в воздух. Получается еще один наполненный звуком конус, вершиной которого является нос самолета. Точка D находится внутри этого конуса. Для точки E звук двигателей абсолютно недоступен.

* Дискуссия, разгоревшаяся по поводу этой задачи (Наука и жизнь, 1967, № 1), была разрешена П. Барашевым единственно правильным способом – с помощью эксперимента. Описанный им в очерке «Стерегущие в ночи» («Правда», 22 декабря 1966 г.) новый полет на сверхзвуковой скорости полностью подтвердил: летчик слышит звук, потому что он доходит по металлу. Это же подтверждают и письма, присланные автору летчиками.

Оглавление

А.

Рис. 70. Результирующая картина сложения волн

Допустим, что вы живете на берегу прямого канала с аккуратно облицованными стенками (в Ленинграде на Фонтанке, например). Вы выглянули в окно и видите, что вся гладь канала взбудоражена мечущимися между стенками волнами, сходящимися и расходящимися, образующими красивый живой узор. Основные волны этого узора показаны на рис. 70. Волны, показанные пунктиром, идут от стенки AB к стенке CD; волны, показанные сплошными прямыми, идут в обратном направлении. По-видимому, по каналу прошел катер. Попробуйте определить, в какую сторону он ушел, и какова была его скорость. Будем считать, что волны в воде канала распространяются со скоростью 1 м/с (на самом деле скорость различна для разных длин волн и поэтому картина несколько сложнее показанной на рисунке).

Б.

Рис. 71. Образование волнового фронта

Решить эту задачу вам поможет ответ на задачу о пловцах и волнах. Из нее вы узнали, что от пловца или от катера, развивающего скорость больше скорости волн, расходятся клинообразно две четко выраженные волны, угол α между которыми позволяет определить скорость катера:

v_к = v_в / sin (α/2).

На рис. 71 показан катер и клин волн OA и OC. Если бы не было стенок, эти волны, очевидно, продолжались бы по пунктирным прямым AA' и CC', Нарисуйте их продолжение при наличии стенок. Закон отражения вам хорошо известен.

В.

Пусть в данный момент нос катера находится в точке a (рис. 72), а одна из создаваемых им волн находится на прямой abcdefg. Через некоторое время t нос катера будет в точке a', а сопровождающая его волна займет положение a'a₁b₁c₁. Все точки волны движутся с одинаковой скоростью, направленной перпендикулярно к фронту волны. Поэтому за время t все они пройдут одинаковые расстояния aa₁, bb₁, cc₁. Точка d волны должна пройти такое же расстояние, но на своем пути в точке d₁ она встретит стенку и, отразившись от нее под углом отражения, равным углу падения (γ = β), пройдет дополнительно путь d₁d₂. Общий путь точки d за время t будет ломаным, длина же его будет равна длине пути любой другой точки волны:

dd₁d₂ = cc₁ = bb₁ = aa₁.

Аналогично отразятся и остальные точки волны, так что

ee₁e₂ = ff₁f₂ = gg₂ = aa₁.

В результате точки отраженной волны выйдут на прямую c₁d₂e₂f₂g₂, наклоненную к стенке под таким же углом α/2, под каким наклонена к ней падающая волна a'a₁b₁c₁.

Рис. 72. Схема сложения волн

Отраженная волна будет двигаться к противоположной стенке по направлению d₁d₂ (или e₁e₂, f₁f₂). Треугольники c₁d₁d₂ и c₁d₁d₃ подобны: d₃d₁ перпендикулярно к c₁d₁, a d₁d₂ перпендикулярно к c₁d₂, т.е. оба треугольника прямоугольны, второй же угол α/2 является для них общим; поэтому равны и третьи углы. Следовательно, α/2 = γ.

Отражение от противоположной стенки будет происходить аналогично. В результате многократных отражений канал на большом протяжении будет заполнен двумя сериями косых волн, проходящих друг сквозь друга без каких-либо помех.

Нетрудно видеть, что точка c₁, в которой происходит излом волны a'c₁g₂ при отражении, перемещается влево вдоль стенки канала со скоростью, равной скорости катера. В самом деле, если бы скорость точки c₁ была меньше скорости носа катера a', то точка c₁ все больше и больше отставала бы от катера, отчего прямая a'c₁ была бы все более горизонтальной (на чертеже), т.е. угол α/2 все время уменьшался бы. Но ведь

α/2 = arcsin (v_в / v_к),

т.е. зависит только от скорости катера v_к и скорости волн v_в, которые постоянны. Следовательно, постоянен и угол α/2, прямая a'c₁ будет перемещаться параллельно самой себе, что возможно, только если c₁ перемещается с такой же скоростью, как и a'.

Точно так же доказывается, что и остальные изломы волн у берегов (точки m₁, m₂, m₃, ..., n₁, n₂, n₃, ... на рис. 70) перемещаются со скоростью катера. Более того, точки p₁, p₂, p₃, ..., в которых волны пересекаются на середине канала, тоже движутся в ту же сторону и с той же скоростью. Следовательно, если вы действительно стоите на берегу канала и наблюдаете живую картину волн, а не неподвижный рис. 70, то для определения скорости прошедшего по каналу катера вам даже не обязательно знать скорость волн: вам достаточно определить скорость передвижения любой из точек m₁, m₂, n₁, p₁ и т.д. Вся картина волн мчится за катером с его скоростью, хотя каждая из волн, перемещаясь в направлении, перпендикулярном к своему фронту, движется довольно лениво.

В какую же сторону ушел катер на рис. 70? Волна n₁m₂, показанная сплошной прямой, идет к стенке AB, m₂n₃ – к стенке CD. Точка их стыка m₂ перемещается влево. Следовательно, и все остальные точки, а также и катер, перемещаются влево.

Скорость катера можно определить, измерив угол α, под которым пересекаются волны. Измерение дает α = 60°. Следовательно,

v_к = v_в / sin (α/2) = 1 / (sin 30°) = 2 м/с.

Оглавление

А.

Рис. 76. Схема распространения звука одного источника

Молния – явление кратковременное, длится сотые доли секунды. Вызванный же ею гром может длиться много секунд. В этом нет ничего удивительного: звук от молнии приходит не только напрямик, но и более длинными путями – многократно отражаясь от облаков и земли. Естественно, что мы слышим вначале звук, пришедший по прямой линии, а затем долго еще слышим раскаты грома, отдельные звуки которого приходят по нее более длинным ломаным путям. Но вот что странно: самая сильная часть звука не всегда приходится на начало громового раската. Довольно часто она приходит на секунду-две позже. В чем дело? Неужели отраженный звук может быть сильнее прямого?

Б.

Вообще говоря, отраженный звук может быть и сильнее прямого. Пусть источник звука находится в точке A (рис. 76), а наблюдатель – в толке E. Может случиться так, что некоторый участок местности BCD, подобно вогнутому зеркалу, фокусирует в точку E звуковые лучи, исходящие из точки A. Это будет в том случае, если ломаные ABE, ACE, ADE в точности равны друг другу (или же отличаются друг от друга на целое число звуковых волн, что можно осуществить для чистого тона, но нельзя для грома, состоящего из колебаний различной длины волны). Тогда звуки, пришедшие к наблюдателю E по этим ломаным, сложатся и создадут звук более сильный, чем первый из звуков, пришедший по прямой AE. Однако такой рельеф крайне маловероятен в естественных условиях, хотя его и можно сделать искусственно.

Главная причина в другом: молния, в отличие от других источников звука, обладает большой протяженностью. Подумайте, как это может привести к описанному выше явлению.

В.

Рис. 77. Фотография молнии

Почти все звуки: паровозный гудок, крик человека, рев мотора – излучаются из площадки крайне ограниченных размеров, диаметром в несколько сантиметров. Уже с расстояния в десяток метров такой источник можно считать точечным. Длина же молнии доходит до нескольких километров, и на всем своем протяжении молния является источником звука. Звук молнии – гром – результат мгновенного расширения воздуха, раскалившегося в канале молнии.

Молния, как вы видели не раз, довольно неравномерна: в одних местах она ярче, в других слабее, на всем ее протяжении много извилин и ответвлений (рис. 77). Поэтому и сила звуков от отдельных участков молнии различна. Ясно, что если участок A молнии (рис. 78) создает звук, намного более сильный, чем участок B, то наблюдатель C может услышать более сильный звук по прямой AC позже более слабого (BC).

Вы можете, конечно, возразить, что расстояние AC много больше BC и звук от A сильнее ослабнет в пути и вряд ли будет громче звука от B. Правильно, и это надо учитывать. Но рассмотрим пример.

Рис. 78. Схема распространения звука реальной молнии

Пусть молния ударила на расстоянии BC = 5 км, а ее длина AB = 1 км. И пусть звук от A хотя бы вдвое сильнее звука от B. Поскольку звуки ослабевают приблизительно обратно пропорционально квадрату расстояния, а расстояние BC составляет приблизительно ⁵/₆ расстояния AC, то звук от A будет воспринят наблюдателем как звук в 2·(⁵/₆)² = ⁵⁰/₃₆ раз сильнее звука от B. Итак, в данном случае через 3 с после начала громового раската (1 км звук проходит приблизительно за 3 с) мы услышим звук более громкий, чем вначале.

Нетрудно показать, что чем ближе к нам молния, тем менее вероятно это явление. В самом деле, если BC = 1 км и AB = 1 км, то AC ≈ 2 км, вдвое более сильный звук от A был бы воспринят с силой 2·(¹/₂)² = ¹/₂, т.е. вдвое слабее, чем более слабый звук от B. Вот почему у близких молний гром начинается, как правило, с самого сильного звука, а затем постепенно ослабевает.

Правда, иногда близкая молния создает еще шорохи и потрескивания, опережающие гром. Это стекают наведенные молнией заряды с окружающих наблюдателя предметов (проводов, деревьев и др.): По времени шорохи непосредственно примыкают к молнии, так как возмущение от молнии приходит к этим предметам электромагнитным путем со скоростью света, и только от предметов к наблюдателю – со скоростью звука. На гром они не похожи, но тоже достаточно впечатляющи.

Оглавление

А.

Вы стоите в поезде у открытого окна и слушаете мягкий стук колес. Вдруг мимо вас проносится встречный, и вы, оглушенные дьявольским грохотом, отшатываетесь от окна. Когда вы придете в себя, ответьте на вопрос: почему встречный поезд грохочет сильнее, чем тот, в котором вы едете?

Б.

Прежде всего мы отметаем, как несерьезный, ответ, что встречный давно не был в ремонте и поэтому громыхает всеми разболтанными суставами. Если бы железнодорожники выпускали на линию поезда-развалюхи, то иногда такой поезд оказался бы вашим и громыхал бы громче встречного. Но такого не бывает, – можете проверить на тысячах поездов, – всегда встречный грохочет сильнее.

Заслуживает внимания такое соображение: в момент встречи звук сильнее просто потому, что грохочут два состава, а не один, и шум удваивается. Конечно, два поезда громче одного, но просто удвоенный шум не привел бы вас к такой встряске. Все органы чувств устроены так, что ощущение возрастает пропорционально не самому возбуждению, а его логарифму, т.е. существенно медленнее. Именно благодаря такой особенности органы чувств не перегружаются сигналами, даже в миллионы раз превышающими по интенсивности те, которые находятся на пороге слышимости, видимости и др. Ищите такое объяснение, при котором для наблюдателя у окна шум двух составов окажется в десятки раз больше шума собственного поезда (один плюс один больше десяти!). Вспомните, что было, когда ваш поезд проходил рядом со стеной или под мостом.

В.

Первая и самая естественная причина – два источника звука находятся в неравноправном положении относительно наблюдателя. Основной грохот исходит из-под вагонов. Из-под встречного поезда звук попадает в ваше окно напрямик, из-под вашего – огибая вагон, существенно ослабевая при этом. Если бы звук распространялся только прямолинейно, то из окна к вам вообще не доносился бы стук колес вашего поезда. Вы слышали бы только то, что пропускает пол. Но звуковые волны, как и любые другие, способны частично огибать препятствия (дифракция). Между прочим, чем короче волна, тем меньше она дифрагирует (при тех же размерах препятствия). Поэтому для вас шум вашего вагона не только ослаблен, но, кроме того, состоит в основном из длинноволновых (басовых) звуков и почти не содержит высокочастотных скрипов и визгов, в результате он кажется более мягким и спокойным, чем шум встречного.

Вторая, менее очевидная, но не менее сильная причина большого грохота – отражение звуков вашего поезда от вагонов встречного. Ваш поезд при встрече с другим сам начинает сильнее грохотать, как бы салютуя встречному (грохот, конечно, остается тем же, но для вас он усиливается благодаря отражению). То, что отражение является серьезным источником усиления звука, легко доказывается наблюдениями: грохот возрастает и без встречного поезда, если на его месте появится стена, совершенно безмолвная сама по себе. Малость расстояния между поездами позволяет звуку попасть к наблюдателю не только после однократного, но и после трехкратного и т.д. отражений. При этом к вам доносятся не только басы, но и визгливые ноты вашего поезда.

Третья причина сильного впечатления от встречного поезда – чисто психологическая. Органы чувств слабо реагируют на интенсивность раздражения и гораздо сильнее на изменения этой интенсивности. К постоянному или постепенно нарастающему шуму слух привыкает и перестает его замечать. Внезапное же усиление шума обязательно будет отмечено (закон Вебера – Фехнера).

И не только усиление: когда мимо вас пройдет последний вагон, вы получите встряску от внезапно наступившей тишины.

К второстепенным психологическим факторам можно отнести взаимодействие органов чувств: мелькание света, завихрения воздуха, пыль – все это воздействует на зрение, осязание, обоняние и суммируется в мозгу с главным впечатлением от грохота поезда, усиливая общее потрясение. Сюда же относится тот факт, что ритм встречного поезда вторгается в ритм нашего и, разрушая его (из-за несовпадения), наносит оскорбление нашим музыкальным чувствам.

Оглавление

А.

«Стоит четырехэтажный дом, в каждом этаже по восьми окон, на крыше два слуховых окна и две трубы, в каждом этаже по два квартиранта. А теперь скажите, господа, в каком году умерла у швейцара его бабушка?»

Эта задача была предложена бравым солдатом Швейком медицинской комиссии, проверявшей его психическое состояние по системе Каллерсона и Вейкинга.

Задача интересная, но построена на несколько устаревшем материале. Сейчас и этажей в домах больше, и квартирантов, а на крышах, кроме труб, есть еще и телевизионные антенны. Задачу можно модернизировать, например, следующим образом.

Дом, в котором вы живете, находится южнее телецентра. На экране вашего телевизора почему-то каждый артист и каждый предмет раздвоен: рядом с подлинником, правее его на одну пятую часть горизонтального размера кадра, видно его «привидение» – более бледный двойник. А теперь скажите, каково расстояние до высотного здания, стоящего южнее вашего дома?

Б.

Сходство между двумя задачами чисто внешнее – в парадоксальности вопроса, его неожиданности, «нелепости». Различие же – принципиальное. Первая задача не имеет решения, для ответа на вопрос нужных исходных данных нет, а имеющиеся – не нужны. Вторая задача содержит почти все необходимые исходные данные. Недостающие же общеизвестны: советский стандарт телевидения – 25 кадров в секунду и 625 строк в кадре. Подсказка – в заголовке задачи.

В.

Рис. 79. Расположение источников и приемника сигнала

Телевизионный сигнал в приемник поступает по прямой AB (рис. 79) – от передающей антенны телецентра A к приемной B – и создает на экране правильное, подлинное изображение. Но он может поступить в приемник и вторым, «незаконным» путем: по ломаной ACB, отразившись от высотного здания C. Длина ломаной ACB больше длины прямой AB приблизительно на двойное расстояние CB, которое является искомым и которое мы обозначим буквой R:

ACB – AB ≈ 2CB = 2R.

Запаздывающий отраженный сигнал и создаст на экране изображение-двойник. Поскольку луч на экране зарисовывает строку слева направо, то запаздывающее отраженное изображение будет нарисовано правее истинного (подробнее о формировании ТВ изображения см. главу «Параметры телевизионного сигнала и качество изображения» книги «Практика измерений в телевизионной технике»).

Сигнал, прошедший по ломаной, запоздает в приемник по сравнению с прямым на время t, которое равно добавочному пути 2R, деленному на скорость радиоволн c = 300 000 км/с:

t = 2R/c.

Эта формула является одной из основных формул радиолокации. Измеряя запаздывание t отраженного сигнала, в радиолокации определяют расстояние до отражателя

R = ct/2.

Можем ли мы измерить запаздывание t? Да, можем: по величине смещения повторного изображения относительно подлинного. В условиях задачи сказано, что это смещение составляет одну пятую горизонтального размера кадра, т.е. одну пятую длины строки. В секунду передается 25 × 625 = 15 625 строк. Следовательно, одна строка зарисовывается за время

tc = ¹/₁₅∙625 с = 64 мкс,

а одна пятая строки – за 12,8 мкс. Это и есть время запаздывания отраженного сигнала. Расстояние до высотного здания

R = ct/2 = 300 000/2·1/(5·15 625) ≈ 1,92 км.

Таким образом, задача решена. Для полноты следует упомянуть только о некоторых упрощениях, которые были допущены выше. Они привели к заметной неточности. Главная неточность проистекает из того, что на самом деле время tc отводится не только для зарисовки строки, но и на обратный ход, т.е. на возврат луча в крайнее левое положение – в точку, из которой луч начнет зарисовывать следующую строку. Это время составляет около 15% от tc. Следовательно, наблюдаемое смещение составляет одну пятую не от всего tc, а от 0,85 tc. С учетом этой существенной поправки расстояние до высотного здания оказывается равным 1,64 км.

Другой причиной неточности может быть непостоянство скорости электронного луча вдоль строки как результат того, что ток в строчной отклоняющей катушке меняется не совсем по линейному закону. Строгий учет этой погрешности возможен только с помощью специальных измерений формы отклоняющего тока. Обычно в телевизорах эта погрешность составляет 1...5%.

Есть и другие источники погрешности (например, непостоянство скорости распространения радиоволн при изменении метеорологических условий в атмосфере), но их роль намного меньше, чем роль той ошибки, о которой мы измерили смещение по экрану.

Перепишем формулу в ином виде:

c = 2R/t.

Не наводит ли она вас на мысль, что вы можете в домашних условиях измерять скорость радиоволн? Если наводит, то вы правы: тот опыт, который в прошлом веке могли осуществить только выдающиеся экспериментаторы, в XX веке доступен простому владельцу телевизора. Достаточно измерить расстояние R рулеткой или известными вам триангуляционными методами, определить запаздывание повторного изображения на экране, разделить одно на другое – и вы получаете ту фантастически огромную и даже немного неправдоподобную величину, которую называют скоростью света. Причем с большей точностью, чем это было сделано впервые астрономом Рёмером (1666 г.), который для этого использовал затмения спутников Юпитера. Но не будем задирать нос. Рёмер был первым: Первому труднее всех. Ведь в его время большинство ученых считали, что свет распространяется мгновенно. И полученный им результат, несмотря на ошибку в 25%, был выдающимся достижением науки.

Вернемся к нашей задаче. В ней есть еще много любопытного. Например, можно ли измерить описанным методом расстояние до высотного дома, находящегося не на продолжении прямой телецентр – приемник, а в стороне от нее?

Рис. 80. План расположения источников и приемника сигнала

На рис. 80 показаны в плане антенны (передающая A и приемная B) и отражатели (высотные здания, мачты линий электропередачи и др.). Если отражатель C'' стоит в стороне от прямой AB, то отраженный сигнал приходит к приемнику по ломаной AC''B, длина которой R₁ + R₂ больше длины прямой R₀ на ΔR = R₁ + R₂ – R₀, и запаздывание на экране

t = ΔR/c = (R₁ + R₂ – R₀)/c.

Таким образом, в нашем распоряжении одно уравнение с тремя неизвестными R₁, R₂ и R₀, следовательно, для их определения данных пока недостаточно.

Полезно рассмотреть, как должны быть расположены на местности все отражатели, дающие равное запаздывание на экране. Входящая в формулу величина R₀ постоянна (телецентр и ваш дом взаимно неподвижны). Следовательно, одно и то же запаздывание t дают все отражатели, для которых R₁ + R₂ = const. Геометрическое место точек, обладающих этим свойством (т.е. для которых сумма расстояний R₁ и R₂ до двух точек – A и B – постоянна), называют эллипсом; точки A и B называют фокусами эллипса (сравните с определением окружности).

Если расстояние R₀ известно (в радиолокации расстояние между передатчиком и приемником в большинстве случаев известно, расстояние от вашего дома до телецентра можно определить по карте), то для определения оставшихся двух неизвестных R₁ и R₂ необходимо еще одно независимое измерение. Обычно для этого измеряют угол α (рис. 80). Все отражатели C, C', C'', C''' находятся на одном эллипсе и, следовательно, имеют одинаковую сумму R₁ + R₂, но разные углы α, α', α'', α'''. Измерив, например, α'' и построив прямую BC'', мы можем определить местоположение объекта C'' как точку пересечения прямой BC'' и эллипса, соответствующего данной сумме R₁ + R₂.

Интересно, что владелец телевизора может измерить угол α тоже чисто радиотехническим методом, не прибегая к буссолям и теодолитам и не взирая, например, на густой туман.

Рис. 81. Диаграмма направленности полуволнового диполя

Простейшая телевизионная антенна – полуволновый диполь – обладает не одинаковой чувствительностью к сигналам, приходящим с различных направлений (рис. 81). Наибольшая чувствительность – к направлениям BF и BE, перпендикулярным к самому диполю DD'. В других направлениях (BH, BK) чувствительность (лучше – коэффициент направленности) антенны меньше, а в направлениях BD и BD' она теоретически равна нулю. (Точно так же зависело бы от направления облучения количество световых лучей, перехватываемых боковой поверхностью стержня DD'.) Количественно коэффициент направленности характеризуется длиной векторов BK, BH, BF; огибающая этих векторов KHF называется диаграммой направленности.

Будем поворачивать наш диполь до тех пор, пока двойник на экране не исчезнет. Это будет означать, что на отражатель C'' мы направили минимум диаграммы направленности, т.е. продольную ось диполя DD'. Она и укажет направление на отражатель C''.

Полученный результат – пропадание помехи – весьма полезен. Этим способом мы можем избавиться от мешающего отраженного сигнала. В то же время прямой сигнал телецентра сохраняется; правда, он несколько уменьшен: длина вектора BM меньше максимально возможной.

Этим способом можно отстроиться, к сожалению, не от всякого мешающего отражателя. Например, направляя минимум диаграммы на отражатель C (рис. 80), мы этим самым направили бы второй, диаметрально противоположный, минимум на телецентр, отчего прием прекратился бы. Правда, если бы был еще один отражатель в стороне от прямой AC, то мы могли бы его использовать как источник полезного сигнала, но обычно он слаб для того, чтобы из него извлекать пользу, хотя и достаточно силен, чтобы приносить вред.

Рис. 82. Диаграмма направленности антенны волновой канал

И уж совершенно невозможно этим методом отстроиться от всех отражателей, если направления на них различны. В этом случае необходимо применить более сложную антенну, например так называемый «волновой канал» (рис. 82), обладающий довольно острой диаграммой направленности. Ориентировав его на телецентр, мы получаем усиление в несколько раз полезного сигнала и ослабление во много раз сигналов мешающих, приходящих с других направлений. На рис. 82 диаграмма направленности изображена несколько упрощенно – показан только главный ее лепесток и не показаны более слабые боковые.

Понаблюдайте на досуге за любопытным поведением помехи на экране, если источником ее является движущийся отражатель – пролетающий над вашим домом самолет. В этом случае «привидение» начинает пульсировать по яркости, причем даже меняет полярность, становясь то светлее фона, то темнее его (то позитив, то негатив). Такая пульсация – результат того, что суммарное расстояние R₁ + R₂ в случае движущегося отражателя непрерывно меняется, и поэтому высокочастотное колебание, отраженное от самолета, оказывается то в одинаковой фазе с прямым сигналом телецентра, то в противоположной (интерференция). Если бы вы замерили частоту пульсации «привидения», то могли бы даже определить скорость самолета.

В самом деле, полный период пульсации равен времени, за которое сумма R₁ + R₂ укоротится (или удлинится) на одну длину волны λ. Если эллипсы (в пространстве – эллипсоиды) построить так, чтобы для двух соседних сумма R₁ + R₂ различалась ровно на λ (рис. 80), то частота пульсации ложного изображения на экране будет равна числу эллипсоидов, пересекаемых самолетом в секунду, т.е. будет зависеть (хотя и довольно сложным образом) от скорости. Это все тот же эффект Доплера (см. «57. Дорожные ритмы»).

Наше исследование было бы неполным, если бы мы не упомянули, что иногда повторные контуры (менее четкие) на телевизионном экране возникают как следствие внутренних дефектов телевизора (расстройки контуров, их перекоррекции и др.). Но мы не будем превращать нашу задачу в справочник по ремонту телевизоров.

Оглавление

А.

– А знаете, в ваших объяснениях к предыдущей задаче что-то неладно, – заявил мне один из владельцев телевизора.– У меня на экране есть «привидение», но оно несколько левее (!) истинного изображения. Выходит, что отраженный сигнал приходит раньше прямого. Но ведь не может ломаная быть короче прямой! Да, здесь что-то подозрительно. Может быть, объяснит читатель?

Б.

– Возможно, в телевизоре перепутаны концы катушки строчной развертки. Тогда луч будет зарисовывать строку справа налево и запаздывающий сигнал будет зарисован левее.

– Нет, не перепутаны. Мы обнаружили бы это немедленно: все надписи пришлось бы читать справа налево. А они изображаются нормально.

Подсказка – в следующем ниже эпиграфе.

В.

«Привидение», желающее быть правее всех, рискует оказаться в начале следующей строки, т.е. всех левее. На одну строку (вместе с обратным ходом) отводится время tc = 64 мкс (см. предыдущую задачу). Поэтому, если бы показанное на рис. 79 высотное здание находилось южнее вашей антенны на

R = ctc / 2 = 300 000 · 64·10^–6 / 2 = 9,6 км,

то отраженный от него сигнал запаздывал бы ровно на одну строку, и «привидение» накладывалось бы на подлинную фигуру без сдвига вправо или влево (но со сдвигом вниз на одну строку, который на практике мало заметен). Ясно, что если бы расстояние до отражателя было немного меньше 9,6 км, то отраженный сигнал был бы зарисован левее.

Итак, аксиому геометрии пошатнуть не удалось: ломаная все-таки длиннее прямой, даже в телевидении.

Если бы расстояние до отражателя было больше 9,6 км, то «привидение» сдвинулось бы больше чем на строку и... наш метод измерения расстояний дал бы осечку.

Если бы расстояние было равно, например, 11 км, то наблюдаемое на экране смещение вправо соответствовало бы расстоянию 11 – 9,6 = 1,4 км, что является грубейшей ложью. Радиолокации приходится считаться с возможностью таких ошибок (или, как говорят, неоднозначностей).

Рис. 83. Временная диаграмма работы локатора

Если передатчик радиолокатора пошлет в некоторый момент импульс 1 (рис. 83), то следующий импульс 2 можно послать только после того, как вернутся все отраженные, например импульс A₁ от объекта A и импульс B₁ от объекта B. При этом расстояния до объектов A и B будут правильно определены по запаздываниям t_A и t_B отраженных сигналов относительно посылаемого (зондирующего). Спустя T секунд посылается второй зондирующий импульс 2, и весь процесс повторяется (см. отраженные A₂ и B₂).

Однако если бы был еще более далекий отражатель D, от которого сигнал запаздывал бы на время t_D > T, то это запаздывание определить было бы невозможно: никак нельзя было бы сказать, какая из двух величин – t_D или t'_D – является верной. Иными словами, нельзя было бы сказать, следствием какого из посылаемых импульсов (1 или 2) является отраженный d₁ (равно как и D₀, происходящий, возможно, от еще более раннего зондирующего). Для устранения неопределенности пришлось бы увеличить период повторения зондирующих импульсов до величины T' > t_D.

Поскольку с увеличением расстояния величина отраженного сигнала очень быстро уменьшается (обратно пропорционально четвертой степени расстояния), то при правильно выбранном T появление заметного сигнала с запаздыванием t_D > T маловероятно.

Возможно и второе объяснение. Откуда у вас уверенность, что опережающее «привидение» – «привидение», а не истинное изображение? Только потому, что оно слабее? Но если есть еще один высотный дом, стоящий между телецентром и вашим домом, то он может экранировать прямой сигнал настолько, что тот станет слабее отраженного. Правда, такое сильное экранирование возможна только при условии, что экранирующий высотный дом совсем рядом с вашим.

Оглавление

А.

При трансляции по радио после громкого отрывистого звука иногда слышны его повторения, постепенно ослабевающие. Это вполне объяснимо: видимо, в студии имеется эхо, которое тоже поступает в микрофон. А не приходилось ли вам слышать по радио в тишине, окружающей громкий звук, эхо не только запаздывающее, но и опережающее? Не приходилось, говорите? Приходилось, только вы не обращали на это внимания. Ну, что ж, в будущем вы можете за ним понаблюдать. А пока попробуйте объяснить его происхождение. Вам поможет следующее наблюдение: каждое «эхо» отстоит от своих соседей на строго равные интервалы, порядка секунды, причем ослабевают они почти симметрично в обе стороны относительно породившего их громкого звука.

Б.

То, что было в предыдущей задаче, не имеет отношения к данной: транслируемый звук, в отличие от изображения, не разбивается ни на кадры, ни на строки. Разгадку следует искать в том, что опережающее эхо появляется при трансляции магнитной записи (или долгоиграющей пластинки) и не появляется при непосредственном выступлении артиста перед студийным микрофоном.

В.

Магнитная лента, как известно, используется в виде рулонов. Запись на нее производится вполне доброкачественно, без эха. Дефекты появляются потом. При хранении ленты соседние витки ее соприкасаются. Сильно намагниченное место, соответствующее громкому звуку, может слегка намагнитить прикасающиеся к нему участки соседних витков, как последующего, так и предыдущего. И тогда в радиопередаче мы услышим два «эха», симметричных во времени относительно их первоисточника. Если звук достаточно сильный, а намотка ленты плотная, то могут намагнититься не только ближайшие, но и последующие витки (в оба конца). Правда, они будут намагничены слабее, и услышать их можно только в глубокой тишине.

На современной граммофонной пластинке (33 об/мин) опережающее «эхо» образуется еще в процессе записи (на оригинале, с которого потом делается «негатив» – металлическая матрица, а уже с последней штампуются многочисленные копии). Число витков на один миллиметр велико (10), поэтому барьер, отделяющий одну бороздку от другой, тонок и при записи громкого звука некоторый (очень малый) процент деформации передается сквозь барьер на предыдущий виток.

Любопытно, что на последующий виток деформация почти не передается, так как в момент записи данного витка на месте последующего находится еще «целина» (борозда еще не нарезана), а сплошная масса сопротивляется деформации лучше, чем тонкий одиночный барьер. У старых пластинок (78 об/мин) на миллиметр приходится только четыре витка, поэтому барьеры между витками толще, почти не деформируются, и опережающего «эха» нет.

Предупреждение: чтобы услышать опережающее «эхо», нужна повышенная бдительность с вашей стороны, так как оно начинается без предупреждения. В этом смысле запаздывающее эхо находится в более выгодном положении: оно идет после громкого звука, который насторожит ваше внимание. Впрочем, если исполняемое произведение вам хорошо знакомо, то вы можете предвидеть моменты, когда, следует ожидать опережающее «эхо», и нацелить свое внимание.

Оглавление

А.

«Часами измеряется время, а временем жизнь человеческая; но чем, скажи, измеришь ты глубину Восточного океана?» Эту глубокую мысль или, лучше сказать, бездонную пропасть мысли Козьмы Пруткова (мысль № 62) можно рассматривать как эпиграф к задаче. А можно считать и самой задачей. Можете ли вы ее решить?

Б.

Во времена Пруткова малые глубины (до 4 м) измеряли футштоком (шест, размеченный в футах), а большие (до 500 м) – лотом, т.е. гирей, укрепленной на длинном тросе – лотлине.

Но тогда еще не было такого лота, который мог бы достать дно «Восточного» (т.е. Великого или Тихого) океана. Это, по-видимому, и заставило мыслителя остановиться в глубоком раздумье. Раздумье оказалось плодотворным: в его высказывании содержится явный намек на сделанное в следующем веке изобретение, в основе которого лежит использование часов для измерения глубины океана. Что это за изобретение?

В.

Это изобретение – эхолот. С поверхности океана в глубину посылается звуковой импульс и принимается эхо, отраженное от дна океана. Часы включаются в момент отправления импульса и выключаются в момент возвращения эха.

Глубина определяется по запаздыванию эха:

h = vt / 2,

где ν – скорость звука в морской воде, t – время запаздывания, а двойка в знаменателе учитывает двойной путь (туда и обратно), пройденный сигналом. Это принцип гидролокации*. Скорость звука в морской воде составляет в среднем 1530 м/с. Если измеренное время t равно, например, 10 с, то

h = 1530 · 10 / 2 = 7650 м.

Очевидно, что точность измерений зависит от того, насколько точно известна скорость звуковых волн и с какой точностью измеряется запаздывание сигнала. Обычный секундомер позволяет измерять время с точностью до десятых долей секунды (т.е. глубину с точностью до сотни метров). Для большей точности используются электронные секундомеры (осциллографы и др.).

* Следовало бы ее называть звуколокацией, иначе радио- и светолокацию пришлось бы называть аэролокацией, что было бы неточным.

Оглавление

А.

Высоко в голубом воздушном океане пролетает самолет. Нельзя ли измерить его высоту с помощью часов? Чтобы вы не думали, что эта задача – повторение предыдущей, ограничим вас в технических средствах. У вас нет ни эхолота, ни звуколокатора, ни радиолокатора, ни светолокатора, – а только часы.

Б.

Часов для этого недостаточно: нужны еще глаза и уши, а также и сообразительность. Вы уже сообразили: световой сигнал надо использовать для запуска секундомера, а звуковой – для остановки. Так измеряют расстояние до молнии: по запаздыванию грома относительно вспышки света. И если бы на самолете был произведен орудийный выстрел, то его вспышку и звук можно было бы легко использовать для измерений. Но у вас нет в распоряжении этого выстрела. Самолет просто летит и гудит. Как можно использовать непрерывные световой и звуковой сигналы для выбора моментов включения и выключения секундомера?

В.

Допустим сначала, что самолет пролетает через зенит. Включим секундомер (или заметим показания секундной стрелки) в момент, когда мы видим самолет в зените. Звук самолета в этот момент доносится совсем из другой точки. Но спустя некоторое время направление на звук совместится с зенитом. Выключим секундомер в этот момент. Время t, отсчитанное между моментами, когда к нам из зенита пришли световой и звуковой сигналы, равно времени, в течение которого звук преодолел расстояние h, равное высоте полета. Следовательно, h = vt, где ν – скорость звука в воздухе.

Рис. 84. Угломерное устройство

Строго говоря, из времени t следовало бы вычесть время, в течение которого до нас добирался световой сигнал, но это время составляет лишь около одной миллионной от t. Значительно бóльшую погрешность в измерения внесет незнание точной скорости звука, которая заметно зависит от температуры и химического состава воздуха, а и то, и другое меняется по высоте и трудно поддается учету. Полагая приближенно, что v = 330 м/с (это верно при средней температуре на трассе звука 0°C), при t = 15 с имеем h = 4950 м ≈ 5 км. Конечно, точность измерений сильно зависит от того, как точно вы фиксируете моменты прохождения самолета и кажущегося источника звука через зенит. Если первое сделать можно сравнительно точно (до долей градуса, если подвесить на нити маленький грузик и лечь на траву так, чтобы наш глаз был на продолжении нити), то второе – намного труднее: слуховой аппарат человека при определении направления может допускать ошибки в несколько градусов. Электроакустические пеленгаторы способны делать это намного точнее. Правда, и пеленгатору получить высокую точность могут помешать многие причины: ветер, преломление звука на неоднородностях атмосферы и др. Ну, а если самолет пролетает в стороне от зенита? Тогда этим методом будет измерена не высота, а наклонное расстояние до той точки траектории, для которой производятся наблюдения. Для пересчета в высоту потребуется помножить измеренное расстояние на косинус угла между направлениями в зенит и в точку наблюдения, для чего предварительно нужно измерить этот угол.

Простейшим угломерным устройством может служить отвес EF, укрепленный на листке картона (рис. 84). Если прямая DC параллельна прямой OB, то угол α между прямыми DC и ΕF равен углу между направлением в зенит и линией визирования OB (O – глаз наблюдателя). Один из вас должен непрерывно наводить линию OB на самолет. Второй в намеченный момент включает секундомер и одновременно подает команду «стоп», по которой первый останавливает слежение линии OB за самолетом. В момент совмещения источника звука с выбранным направлением теперь уже первый подает второму команду «стоп», по которой секундомер останавливается. Затем надо прижать картон к нити EF, после чего с листа картона считывается угол α.

Можно определить и скорость самолета. Интересно, что если для определения высоты используется одно направление и два разных момента (зенит и моменты прихода света и звука), то для определения скорости, наоборот, надо использовать один момент и два разных направления. Угол между направлениями на свет и звук выражается через отношение скоростей звука и самолета. (Полагаясь на вашу сообразительность, в подробности не вдаемся. Только не думайте, что это просто.)

Оглавление

А.

В физическом кабинете вашей школы имеются два простеньких осциллографа. Чего вам не хватает, чтобы сделать телевизионную передачу, т.е. передавать изображения и принимать их?

Б.

Большинство считают, что нужна передающая камера, синхрогенератор кадровых и строчных импульсов, передатчик и приемник и т.д. Одним словом, нужны еще телецентр и телевизор. На самом деле 90% всей аппаратуры у вас уже есть. По крайней мере, из самой постановки задачи следует, что один из двух осциллографов должен быть передающей камерой, а второй – телевизором. Но развертки у обоих осциллографов – только по одной строке. А как построить кадр? Ведь для него нужны по крайней мере строчная и кадровая развертки в камере, строчная и кадровая в телевизоре и синхрогенератор для их согласования. В вашем распоряжении – две развертки; одна в одном осциллографе, вторая – в другом.

В.

Вам нужен кадр? Включите оба осциллографа, настройте развертку одного, например, на 20 пилообразных импульсов в секунду, а второго – на тысячу. У одного осциллографа – одна развертка, не делающая кадра. У двух осциллографов – две развертки. Подайте напряжение с клемм «X» (горизонтальная развертка) одного осциллографа на клеммы «Y» (вертикальная развертка) другого. На экране этого осциллографа вы увидите 20 кадров в секунду и в каждом по 50 строк. Подайте аналогично напряжение «X» второго осциллографа на «Y» первого. Вы увидите и на нем тот же кадр, только повернутый на 90° относительно первого. Если этот поворот неудобен для вас, его можно было бы устранить, положив один из осциллографов набок, но лучше этого не делать, так как осциллограф не рассчитан на состояние лежебоки. Через 5 мин вы к нему привыкнете и так.

Итак, у вас почти все готово: передающий и приемный растры, строчные и кадровые развертки и «синхрогенератор», обеспечивающий синхронность и единство работы обоих растров. Телевизор готов, но ему нечего принимать: передающая камера еще не работает.

Для начала нас удовлетворит простейшее изображение. Для решения задачи в принципе – достаточно увидеть на экране одного осциллографа то, что передается другим. Вырежем из темного картона несколько силуэтов: квадрат, прямоугольник, звезду. Наложим один из них на экран «передающего» осциллографа (безразлично какого). Что еще осталось сделать?

Нужен, очевидно, преобразователь передаваемого светового сигнала в принимаемый электрический, т.е. фотодиод, фототранзистор и т.п. Поставьте его в 20 см перед экраном, на который наложена звезда. Что будет на его выходе?

Пока луч на экране бежит вне звезды, фотодиод видит свет и преобразует в пропорциональный ему ток. Когда луч прячется за контур звезды, свет на входе фотодиода и ток на выходе исчезают (предполагается, что других источников света в кабинете нет). Когда луч выглянет из-за контура звезды, ток появится вновь. Если мы выход фотодиода должным образом подключим к управляющему электроду трубки осциллографа-«телевизора» (или ко входу «Ζ», который предусмотрен во многих осциллографах), то импульс, соответствующий наличию света, будет отпирать луч, и тот будет рисовать соответствующий участок соответствующей строки. Луч передающей «камеры» спрятался за звездой – и ток исчез, луч «телевизора» погас (но продолжает «втемную» двигаться по строке), а когда передающий луч выйдет из-за звезды, приемный вновь засветится, И так на каждой строке, без сбоев: ведь оба кадра управляются одними и теми же генераторами развертки и поэтому разойтись во времени не могут.

Телевизионная система в принципе готова. Но только в принципе. На практике ток фотодиода слишком слаб, и между фотодиодом и «телевизором» придется поставить усилитель (с полосой пропускания не менее 50 кГц: ведь в строке у вас около 50 элементов, а строк в секунду – 1000). Обычный вещательный усилитель можно использовать лишь при 15 кадрах в секунду и 15 строках в кадре, но изображение при этом будет мерцающим и слаборазборчивым.

Лучшим решением было бы использовать вместо фотодиода фотоумножитель. Но тогда возникает проблема высоковольтного источника питания.

Главное свойство рассмотренной телевизионной системы – простота, что является большим педагогическим достоинством. Понять такую простенькую систему не испугается даже троечник. Он наглядно убеждается, что не боги горшки обжигают.

Второе достоинство – гибкость системы. У осциллографов много ручек регулировки, и все они могут быть использованы при постановке опытов. Например, ручки вертикального и горизонтального смещений на «передающем» осциллографе позволяют смещать по экрану растр относительно звезды: на «принимающем» осциллографе при этом мы увидим смещение звезды относительно растра. Можно выключить быструю «строчную» развертку. Тогда на обоих экранах останется одна строка, создаваемая «кадровой» разверткой. Замедлив ее до одного импульса в секунду и поставив оба осциллографа рядом, мы можем визуально наблюдать принцип образования свечения луча «телевизора» синхронно с заходом и выходом луча «телекамеры» из-за звезды.

Можно подать сигнал от фотодиода не на управляющий электрод, а на катод трубки. На экране вместо позитива появляется негатив изображения. То же самое можно получить с помощью перемены полярности сигнала внутри усилителя. И так далее.

См. также Лаврус В.С. Параметры телевизионного сигнала и качество изображения. НиТ, 1998.

Оглавление

А.

На столе стоят два однотипных будильника. Но один из них идет точно, второй же отстает. Требуется быстро определить, насколько он отстанет за сутки. Как это сделать?

Б.

Можно, конечно, поступить по-разному. Например, поставить на отстающем будильнике в точности такое же время, как и на точном, и затем снять разность показаний через 24 часа. Но этот способ отнимает много времени и не так уж точен. В будильниках нет секундной стрелки, и мы не можем установить один будильник по второму с точностью до секунды. Ошибка начальной установки по минутной шкале может достигать четверти минуты. Такую же ошибку вы допустите при снятии показаний в конце срока. В результате ошибка измерений может достигать полминуты. А если расхождение будильников за сутки составляет 2 минуты, то относительная погрешность измерения расхождения составит 25% – весьма большую величину.

Если бы на будильниках были секундные стрелки, то можно было бы получить более высокую точность. Но секундные стрелки движутся быстро. При сравнении положений двух секундных стрелок за время, в течение которого вы переводите взгляд с одной стрелки на другую, их положение изменится. Это осложняет задачу и не позволяет получить ту точность, которой можно было бы достигнуть теоретически.

А нельзя ли определить расхождение будильников по их тиканью? Ведь вам не нужно «переводить слух» с одного будильника на другой! Кроме того, даже если секундных стрелок и нет, то, поскольку часы тикают много раз в минуту, тиканье может до некоторой степени заменить секундную стрелку. Подумайте, как использовать звуки двух будильников для измерений. Можно ли провести измерения вообще не глядя на часы (ночью или с закрытыми глазами)? Нужно ли для этого знать период тиканья, т.е. промежуток времени от одного звука до следующего? Как долго будет длиться ваш эксперимент?

В.

Если часы однотипны*, но идут неодинаково, то периоды тиканья у них будут разными. Поэтому удары часов будут то совпадать, то расходиться, а затем через некоторое время снова совпадать. Начнем эксперимент в момент, когда удары совпадают (часы идут «в ногу»). Будем считать число ударов правильного будильника от одного совпадения до следующего. Чтобы не спутать, каким часам принадлежат подсчитываемые нами удары, расположим будильники так, чтобы мы различали, что звуки идут к нам явно с разных направлений. Допустим, что с момента одного совпадения до следующего мы насчитали 72 удара точных часов. Это значит, что отстающие часы успели за это время опоздать ровно на один удар, т.е. сделали 71 удар, и 71-й удар их совпал с 72-м ударом точных. Следовательно, часы отстают на 1/72 часть, что в сутки составит 20 минут.

Рис. 85. Соотношение периодов колебаний часов

Поясним сказанное рисунком. На рис. 85 верхняя шкала вертикальных черточек показывает моменты ударов точных часов, шкала под нею – моменты ударов отстающих часов. В момент t₀ удары обоих часов совпали. В дальнейшем удары отстающих часов начинают все более отставать от ударов правильных (сравните удары 1 и 1'; 2 и 2'; 3 и 3'), пока не отстанут на целый период. На рисунке это произошло на шестом ударе: пятый удар отстающих часов совпал с шестым ударом правильных (такой будильник за 6 часов отстанет на 1 час, за сутки – на 4 часа). В дальнейшем поведение часов периодически повторяется (сравните моменты t₁, t₂, t₃ и т.д.).

Чем меньше разница в ходе часов, тем больше число ударов от одного совпадения до другого. Например, если часы за сутки отстают только на 1 минуту, то между совпадениями произойдет 24∙60 = 1440 ударов.

Показанный на рисунке пример является слишком частным, он соответствует случаю, когда соотношение периодов будильников является отношением целых чисел. Возможно, однако, такое положение, когда 54-й удар вторых часов еще опережает 55-й удар первых, а 55-й удар вторых часов уже отстает от 56-го удара первых, т.е. точное совпадение произошло между 55-м и 56-м ударами верных часов и не могло быть отмечено. Если отношение является отношением рациональных чисел, то совпадение когда-нибудь все-таки окажется вполне точным. Например, если совпадение должно было произойти точно посредине между 55-м и 56-м ударами точных часов (т.е. посредине между 54-м и 55-м ударами отстающих) и, таким образом, отношение равно 55,5:54,5, то следующее точное совпадение произойдет на 111-м ударе точных часов (55,5∙2 = 111) и 109-м ударе неточных (расхождение в 2 удара!). В этом случае, очевидно, расхождение составляет не 1/111 часть, а 2/111 = 1/55,5.

Если в момент t₀ было точное совпадение ударов, но отношение периодов есть иррациональное число, то второго точного совпадения теоретически уже не будет более никогда. Однако на практике одни часы от других отстают обычно на очень малый процент, поэтому отставание накапливается медленно, и, следовательно, всегда в серии ударов можно найти такой, в котором звуки обоих будильников совпадают с высокой точностью. Человеческое ухо (особенно музыкальное, тренированное) является хорошим анализатором ритма и очень точно отмечает совпадение. При соотношении ритмов 100:99 момент совпадения можно отметить с точностью до одного удара (т.е. в худшем случае найти, что совпадение произошло не на сотом, а на сто первом ударе, и этим самым допустить ошибку измерения в 1%). Кроме того, ошибку можно уменьшить путем повторения опыта и вычислением среднего арифметического из нескольких измерений. Можно также продолжить счет от начального совпадения до некоторого n-го (например, пятого t₅) и затем разделить результат счета** на n.

Затраты времени на эксперимент при этом незначительны: если удары будильника следуют через каждые полсекунды, то сто ударов могут быть сосчитаны за 50 с. Знать при этом абсолютную продолжительность периодов тиканья будильников совершенно не обязательно: ведь результатом измерений являются не сами величины периодов, а только их отношение, которое и позволяет немедленно определить относительную погрешность часов.

Заметим, что неравномерность хода часов в течение суток несколько портит описанную выше идеальную картину и мешает достигнуть предельной точности.

Описанный здесь метод быстрого измерения малых расхождений двух ритмов можно назвать нониусом времени, потому что в его основу заложен тот же принцип, на котором строится известный в измерениях длин метод нониуса.

Рис. 86. Сравнение частот двух синусоидальных колебаний

Полезно сравнить задачу о двух будильниках с радиотехнической задачей сравнения частот двух синусоидальных колебаний. На рис. 86, а и б показаны два синусоидальных колебания с частотами f₁ и f₂ (причем f₁ > f₂) или, что то же самое, с периодами

T₁ = 1/f₁ < 1/f₂ = T₂.

На 6 периодов T₁ приходится 5 периодов T₂ (ср. с рис. 85). Если эти колебания сложить, то результирующее колебание (рис. 86, в) окажется модулированным по амплитуде. Максимумы огибающей будут в моменты, когда обе синусоиды совпадают по фазе (момент t₀ – совпадение 0 и 0'; момент t₂ – совпадение шестой волны первой синусоиды с пятой волной второй и т.д.). Минимумы соответствуют моментам t₁, t₃, ..., когда обе синусоиды оказываются в противоположных фазах. Период модулирующего колебания

T = 6T₁ = 5T₂

равен времени, в течение которого два исходных колебания разойдутся на одну волну (6 – 5 = 1). За секунду они разойдутся на f₁ – f₂ волн. Таким будет число колебаний огибающей в секунду, т.е. частота огибающей f:

f = f₁ – f₂.

Таким образом, частота пульсации результирующего колебания оказывается равной разности частот исходных колебаний. Ее называют разностной частотой или частотой биений. С помощью детектора или другого устройства можно выделить эту частоту и отсеять исходные. Операция выделения разностной частоты широко используется в радиотехнике. В супергетеродинном приемнике при смешении частот приходящего сигнала и местного гетеродина выделяется разностная, промежуточная частота. В радиолокации при смешении посылаемого сигнала с отраженным от движущегося объекта выделяется разностная – доплеровская частота, пропорциональная радиальной скорости объекта (см. задачу «Письма с дороги»).

* У неоднотипных часов даже при точном ходе могут быть различия либо в частоте ударов, либо в тембре звука, что помешает эксперименту.

** Когда в задаче «Лицом к лицу с точностью» вы будете решать проблему нестабильности лазера, вспомните об этой возможности.

Оглавление

А.

Если по одному концу длинной стальной трубы стукнуть молотком, то на другом конце можно услышать этот звук. Можно ли по звуку определить длину трубы?

Б.

Вспоминая радиолокацию, т.е. наиболее распространенный метод измерения расстояний по времени прохождения сигналов, мы обнаруживаем следующие закономерности:

1. По отраженному сигналу (рис. 82, а) измерение дальности осуществляется просто: сигнал передатчика излучается в момент t₀ и, пройдя путь 2R (туда и обратно), возвращается в приемник в момент t₁. Сравнивая моменты t₁ и t₀, мы находим:

где v – скорость распространения сигнала. Отсюда находим:

R = vtR/2.

Рис. 82. Структурные схемы локаторов

Главной особенностью является наличие в приемнике информации как о моменте старта t₀ (поступает непосредственно из передатчика в приемник), так и о моменте финиша t₁ (поступает в виде отраженного сигнала). Разумеется, учитывают и задержку сигнала t₀ в цепях передатчика-приемника, либо делают общую антенну, тогда эту задержку можно сделать равной нулю.

2. По прямому сигналу (рис. 82, б) измерение R невозможно: в приемнике известен только момент приема t₁ и неизвестен момент передачи t₀. По прямому сигналу локация определяет обычно только па-правление на источник сигнала.

В нашей задаче с трубой передатчик (молоток) находится на одном конце измеряемого расстояния, приемник (ухо) – на другом. Следовательно, работа ведется по прямому сигналу, измерение длины трубы невозможно.

Однако измеряем же мы расстояние до молнии! Или до стреляющей пушки. На это возражают, что в таких измерениях используется свет и звук. Если бы мы видели взмах молотка в момент t₀ и приняли бы по трубе звук в момент t₁, то получили бы:

где ν – скорость звука.

Эти возражения справедливы: по условиям задачи надо обойтись только звуком.

Но одно неверно: формула (2). Если ее получить более корректно и затем проанализировать, вы догадаетесь и о том, как с помощью только звука определить длину трубы.

В.

В формуле (2) фигурируют два момента времени: t₁ и t₀. При более внимательном анализе обнаруживается, что определяющих задачу о пушке (молнии) моментов времени не два, а три:

а) момент выстрела t₀ (свет и звук);

б) момент прихода света к наблюдателю t₁;

в) момент прихода звука t₂.

Очевидны соотношения

где v₁ и v₂ – скорости распространения сигналов.

Момент t₀ нам неизвестен (зафиксировать его наблюдатель мог бы по сигналу, распространяющемуся мгновенно, но таких сигналов не бывает). Однако t₀ можно найти: ведь (3) и (4) есть система двух уравнений с двумя неизвестными R и t₀. Поскольку нас интересует только R, то t₀ просто можно исключить из рассмотрения. Вычитая, например, (3) из (4), имеем:

Итак, мы вывели точную формулу (5) взамен неточной (2). Правда, в случае молнии обе эти формулы практически совпадают, так как скорость света существенно больше скорости звука в воздухе:

v₀ = 300 000 км/с >> 0,33 км/с = v₂,

и поэтому слагаемым R/v₁ в (5) можно пренебречь. Однако тогда формула (5) теряет свою эвристическую силу. В точном же виде (5) легко подсказывает нам, как решить задачу. Если мы обязаны ограничиться только звуком, то, согласно формуле (5), надо изыскать два звука, распространяющихся вдоль трубы с различными скоростями.

Теперь сообразить уже легко: помимо звука, идущего по стальной трубе, необходимо принять звук, идущий по воздуху. Звук, идущий по наружному воздуху, ослабевает обратно пропорционально квадрату расстояния и поэтому для больших расстояний непригоден. Звук, идущий по воздуху, заполняющему трубу, почти не рассеивается в стороны и ослабевает только благодаря поглощению. Скорость продольных волн в стали v₁ = 5050 м/с; скорость звука в воздухе при температуре 0°C v₂ = 330 м/с (а вообще она пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры).

Поэтому, если tR = t₂ – t₁ = 2 с, то:

Итак, приняв два импульса звука и заметив моменты их прихода t₁ и t₂, мы измерим по формуле (5) длину трубы. Это локация по прямому сигналу. Как видим, по прямому сигналу тоже можно определить не только направление, но и дальность. Правда, при условии, что имеются два сигнала с различными скоростями распространения. Такую локацию будем называть двухсигнальной.

Заметим, что помимо двух ударов в моменты t₂ и t₁, мы еще будем все время, начиная с момента t₁, слышать в трубе смутный гул. Это следствие многих причин, две из которых мы назовем. Первая – распространение звука не только по прямой, но и по ломаным, например по воздуху, внутри трубы с многократными отражениями от стенок. Ломаная длиннее прямой, поэтому этот гул будет слышен после момента t₂. При падении звука из воздуха на стенку трубы отражается только часть звука, а остальное преломляется внутрь стали и после этого движется к нашему уху по стали с большей скоростью. Эта часть гула принимается между моментами t₁ и t₂. Вторая причина гула – отражение звука от конца трубы (это в основном касается волн, бегущих в стали). Добежав до конца трубы, звук отражается и бежит по стали назад, отражается от другого конца и т.д. Этот вид звука в нашем примере будет появляться на наблюдаемом конце трубы после момента t₁ с периодом:

быстро ослабевая и маскируясь другими шумами (например, отражениями от неоднородностей, вызванные несовершенством сварных швов). Формула (7) является формулой локации для отраженного сигнала. По измеренному T она позволила бы длину трубы определить на том конце, на котором по ней ударяют молотком.

Еще пример двухсигнальной локации. По поверхности воды произведен удар, в другой точке водоема приняты два звуковых сигнала с интервалом tR = 1 с, Один из сигналов пришел по воде (ν₁ = 1500 м/с), второй – по воздуху. Согласно (6) R = 430 м.

Вернемся к трубе. Помимо продольных волн в стали возникают и поперечные, скорость которых ν₃ = 3300 м/с. А если горизонтальную трубу наполовину заполнить водой, то возникает еще и четвертый сигнал, распространяющийся со скоростью ν₄ = 1500 м/с. Система становится четырехсигнальной.

Рис. 83. Графики движения четырех сигналов

На рис. 83 показаны графики движения четырех сигналов вдоль трубы длиной R₀, удар сделан в момент T₀, на другом конце трубы сигналы приняты в моменты T₁, T₂, T₃ и T₄.

Дает ли это что-нибудь для измерения длины трубы? Ведь для отыскания двух неизвестных R и T₀ достаточно системы из двух уравнений.

В принципе это так, и если бы входящие в них ν₁, ν₂ и tR были абсолютно точны, то и дополнительные уравнения были бы лишними. В реальных условиях, поскольку всякая величина известна с ошибкой, то всякая избыточность информации полезна, так как позволяет уменьшить результирующую ошибку. По четырем каналам можно осуществить три независимых измерения R, после чего для уточнения взять хотя бы среднее арифметическое. При неравных точностях отдельных измерений слагаемые в «среднее арифметическое» подставляются не на равных правах, а с «весом» тем большим, чем точнее соответствующее измерение. Подробности – в теории статистических решений.

Точность отдельных измерений действительно неодинакова. Так, например, скорость звука в воздухе сильнее зависит от температуры и, кроме того, меняется вместе с ветром. К металлу ветер не имеет отношения. Кроме того, можно показать, что если два сигнала сильно разнятся по скорости (ν₁ >> ν₄, как например, на рис. 83), то относительная погрешность измерений определяется только относительной погрешностью меньшей из скоростей. Если же две скорости (ν₁ и ν₃ на рис. 83) мало отличаются друг от друга, требуется высокая точность знания обеих скоростей, что объясняется наличием их разности в знаменателе формулы (6).

Например, расстояние до молнии в принципе можно было бы вычислить не по сигналам свет–звук, а по сигналам свет–радио, так как молния сопровождается и радиоизлучением, причем скорость радиоволн в ионизированном воздухе грозы меньше скорости света. Однако это различие невелико и, кроме того, из-за изменчивости условий трудно предсказуемо. Поэтому точность определения расстояния была бы меньше, чем по сигналам свет – звук или радио – звук.

В ионизированной среде можно для измерений использовать и сигналы радио – радио (две различные волны), так как скорость оказывается зависящей от длины волны (для более длинных волн ν меньше). Это явление используется в радиоастрономии для измерения расстояний до пульсаров*.

Рис. 84. Осциллограмма мерцания пульсара

Пульсар – нейтронная звезда, быстро вращающаяся. Его радиоизлучение достигает Земли в виде коротких импульсов, периодически повторяющихся в такт вращению. Первый из открытых пульсаров CP1919 имеет период следования импульсов T = 1,337 с. Эти импульсы принимаются на разных волнах. Наличие в межзвездной среде ионизированных частиц приводит к тому, что время пребывания в пути для некоторого импульса на волне 7,5 м (частота ≈ 40 МГц) на tR = 8 с больше (рис. 84), чем для того же импульса на волне 10 см (f = 3000 МГц). Это видно из того, что кривая, выходящая из левого верхнего угла (координаты: 3000 МГц и 0 с), пересекает ось абсцисс в точке t = 8 c. По известной концентрации электронов в межзвездной среде (в среднем 1 электрон в 30 см³) и по этому запаздыванию определено расстояние до пульсара:

R ≈ 410 св. лет ≈ 13 10⁹ св. с ≈ 3,9·1015 км.

Весьма поучительно, что полный путь от пульсара импульс проходит за 13·10⁹ с, а 8 с составляет менее одной миллиардной от полного пути. Столь малый эффект позволил, однако, сравнительно точно определить огромное расстояние, не определяемое пока никаким другим способом. Дальнейшие уточнения концентрации электронов позволят уточнить и оценку дальности.

В заключение рассмотрим одно затруднение, на которое вы, возможно, уже обратили внимание: как можно определить, что на двух волнах различие в запаздывании tR = 8 с, когда импульсы следуют с периодом T = 1,337 с? Ведь в задаче «Ломаная короче прямой» показано, что однозначно измеряются лишь запаздывания, не превосходящие периода следования импульсов tR < T. Действительно, это было бы невозможно, если бы пульсар не излучал и на промежуточных волнах. На рис. 84, а кривые показывают зависимость запаздывания каждого из импульсов от несущей частоты. На рис. 84, б показаны импульсы, принимаемые на частоте 3000 МГц, на рис. 84, г – на частоте 40 МГц. Зачернен один и тот же импульс. Сдвиг между зачерненными tR = 8 с, таков же сдвиг и в любой другой паре импульсов.

Отождествить зачерненные импульсы между собой (проще говоря, правильно их зачернить) можно, если использовать кривую в качестве путеводной нити, ведущей с частоты 3000 МГц на частоту 40 МГц. Для этого достаточно снять эту кривую, т.е. принимать импульсы не только на 3000 и 40 МГц, но и на всех промежуточных частотах (многосигнальная локация). Впрочем, не обязательно снимать всю кривую, достаточно снять ее на частотах, показанных жирными точками. Эти точки будут запаздывать друг относительно друга на Δt < T, и поэтому по двум соседним точкам запаздывание Δt измеряется однозначно. Так, например, на частоте 220 МГц (рис. 84, в) зачерненный импульс отстоит от соответствующего импульса на рис. 84, б на Δt₁ > T. Просуммировав все Δt, измеренные однозначно, мы получаем и однозначно измеренное tR:

tR = Δt₁ + Δt₂ + ... + Δt_N.

Поскольку в tR = 8 с укладывается T = 1,337 с примерно n = 6 раз, то для однозначных измерений tR необходимое число разных частот должно быть Ν ≥ n + 1 = 7, т.е. в этом случае локация должна быть, как минимум, семисигнальной. Правда, если бы теория могла гарантировать более точное предсказание формы кривой, то можно было бы обойтись и меньшим числом каналов. Положение, однако, обратное: кривую желательно снять экспериментально, располагая точки как можно гуще, чтобы такая экспериментальная кривая давала пищу теоретикам при решении других проблем.

* См., например, В.Л. Гинзбург, Пульсары, «Знание», 1970.

Оглавление

А.

Перед вами хорошо настроенное пианино. Вам разрешается трогать клавиши, но, естественно, запрещается перестраивать струны, передвигать по ним порожки и вообще забираться внутрь инструмента.

Можно ли заставить струну «до» первой, октавы звучать, как «соль» второй?

Б.

Прежде всего условимся в обозначениях: все ноты первой октавы будем писать с приставкой 1 (до-1, ре-1, фа-диез-1 и т.д.), второй – с приставкой 2 (си-2) и т.д.

Если читатель не музыкант, то он убежденно заявляет, что поскольку высота тона струны определяется ее длиной, толщиной и натяжением, то, не перестраивая струну, нельзя заставить до-1 звучать иначе, чем до-1. Таковы законы физики, и тут ничего не поделаешь. Разве только вынести пианино на трескучий мороз, тогда струна при остывании укоротится, сильнее натянется и тон ее повысится.

Чтобы ваше мнение о возможностях струны изменилось в благоприятную сторону, решите две задачи полегче.

1. Частота, соответствующая до-1, равна 261,63 Гц. Чему равны частоты второй, третьей, четвертой гармоник этой струны? Можете ли вы назвать ноты, соответствующие этим гармоникам? Если не можете, то даем подсказку: увеличение частоты вдвое повышает любую ноту на октаву. Поскольку в октаве 12 полутонов, то повышение на полтона (при равномерно темперированной шкале) увеличивает частоту в 2^1/12 раз, на тон – в (2²)^1/12, на полтора тона – в (2³)^1/12 и т.д. Впрочем, чтобы уж совсем избавить вас от вычислений, приводим таблицу абсолютных частот всех нот первой и второй октав (в графе f / f₁ – относительные частоты, т.е. числа, показывающие, во сколько раз частота f выше частоты f₁ = 261,63 Гц).

Частота ноты ля-1 написана без знаков за запятой, потому что условились считать ее в точности равной 440 Гц, а остальные ноты получать из нее путем вычислений.

2. Освободите до-1, т.е. осторожно, без звука, нажмите на соответствующую клавишу. При этом демпфирующий (заглушающий) молоточек поднимается. Ударьте по до-2 и через секунду-другую отпустите ее клавишу. Почему до-2 продолжает звучать? Отпустите до-1. Почему перестала звучать до-2?

В.

Рассмотрим сначала вспомогательные задачи.

Рис. 87. Колебания струны

1. Если бы струна колебалась так, как показано на рис. 87, а, то она излучала бы чистый тон, т.е. колебание единственной частоты. Чистый тон сух и не очень приятен. Поэтому для музыки большая удача, что струна одновременно совершает несколько видов колебаний. Она одновременно колеблется всей длиной (рис. 87, а, первая гармоника), двумя половинками (рис. 87, б, вторая гармоника), тремя третями (рис. 87, в, третья гармоника), четырьмя четвертями (рис. 87, г) и т.д. Частота колебаний обратно пропорциональна длине соответствующей волны. Если рис. 87, а, б, в и г изображают струну до-1, то эти гармоники имеют частоты f₁ = 261,6 Гц, 2f₁ = 523,2 Гц, 3f₁ = 784,9 Гц и 4f₁ = 1046,5 Гц соответственно. Это до-1, до-2, почти точно соль-2 (точное значение 784,0 Гц) и до-3. С увеличением номера гармоники ее интенсивность A, как правило, уменьшается (рис. 88, а).

2. Ударив по до-2, мы возбудили колебания на частоте f₂ = 2f₁ = 523,2 Гц и ее гармониках f₃ = 2f₂ = 4f₁ = 1046,5 Гц и др. Струна до-1 освобождена от демпфера и могла бы начать колебаться, если бы ее кто-нибудь возбудил. Этим возбудителем и будет звучащее до-2. Правда, вся струна до-1 настроена на октаву ниже, т.е. не находится в резонансе с до-2, но зато ее половинки (рис. 87, б) могут поддержать колебания на частоте до-2. Иными словами, струна до-2 возбудит в струне до-1 вторую гармонику, не возбуждая первой (!). Вторая гармоника до-2 возбудит в до-1 ее четвертую гармонику (2f₂ = 4f₁), и т.д. Струна до-1 будет излучать только четные свои гармоники. Отпустив клавишу до-2, мы заглушаем струну до-2 и прекращаем ее колебания. Но часть энергии ее первой гармоники передана второй гармонике струны до-1. Поэтому мы продолжаем слышать до-2: эта нота исходит от струны до-1. В том, что это именно так, легко убедиться; отпустим клавишу до-1, и нота до-2 прекратится!

Рис. 88. Спектр нотного ряда с равномерной шкалой

Итак, можно заставить струну звучать не на той ноте, на которой она официально обязана звучать. Теперь вы наверняка сумеете сами решить первоначальную задачу. Для этого следует перестать читать и подумать. Вот это решение.

Чтобы заставить до-1 звучать, как соль-2, нужно возбудить ее третью гармонику (не возбуждая первой и второй, иначе эти сильные гармоники заглушат слабую третью). Для этого нужно освободить до-1 и ударить соль-2 (которая, как мы выяснили ранее, и является третьей гармоникой до-1). Отпустив соль-2, мы услышим ноту соль-2 теперь уже от струны до-1.

Весьма любопытно, что извлечь ноту соль-2 из струны до-1 можно и без участия струны соль-2. Вместо нее можно использовать струну соль-1. Как же при этом произойдет возбуждение струны до-1? Вторая гармоника струны соль-1 возбудит третью гармонику струны до-1:

2f_соль-1 = 2·392 = 784 ≈ 3·261,6 = 3f_до-1.

На рис. 87, д показана первая гармоника струны соль-1, на рис. 87, е – вторая. Видно, что колебания на рис. 87, е находятся в резонансе с колебаниями на рис. 87, в, изображающем третью гармонику струны до-1. Первая же и вторая гармоники струны до-1 не будут возбуждены: в спектре струны соль-1 (рис. 88, б) нет совпадающих с ними гармоник. Однако шестая гармоника до-1 будет возбуждена с помощью четвертой гармоники соль-1, девятая – с помощью шестой, и т.д.

Если вы как следует прочувствовали эти диковинные вещи, то вы неминуемо задержитесь у пианино на десяток минут и найдете у него самые невероятные возможности. Так, освободив соль малой октавы (соль-M, f = 392/2 = 196 Гц) и ударив по ми-1, вы услышите си-2! Это значит, что третья гармоника струны ми-1 возбудит пятую гармонику струны соль-M:

5f /соль-M = 5·196 = 980 ≈ 3f_ми-1 = ;3·329,6 = 988,8 ≈ f_си-2 = 987,8.

Рис. 89. Спектр нотного ряда с логарифмической шкалой

Из каждой струны можно извлечь только те ноты, которые являются гармониками основного тона. С помощью струны соль-1 можно извлечь из струны до-1 звуки соль-2, соль-3 (см. рис. 88, а и б), с помощью до-M можно извлечь до-1, до-2, до-3, с помощью до-1 – слабый ми-3 (как видно из рисунка, пятая гармоника до-1 почти точно совпадает с точкой, изображающей ми-3). Но нет никакого способа (кроме уже упомянутого мороза) заставить струну до-1 звучать, как ре-1, ре-диез-1, ми-1 и т.д., так как в пределах первой октавы струна до-1 содержит единственную гармонику. Однако в пределах второй октавы струна до-1 дает уже две гармоники, в пределах третьей–четыре, четвертой–восемь, пятой– шестнадцать, шестой – тридцать две! Поскольку в октаве всего двенадцать нот, то на каждую из них придется почти по три гармоники от до-1. Следовательно, струна до-1 принципиально могла бы дать любую ноту шестой октавы. Но для этого пришлось бы возбудить, например, сороковую гармонику струны до-1. Однако амплитуда ее так мала, что столь высокую гармонику обычно услышать не удается.

На рис. 88, а и б ось частот имеет равномерный масштаб. На рис. 88, в изображена клавиатура пианино так, чтобы каждая клавиша заняла своё место на оси частот. Поскольку повышение тона на октаву требует удвоения частоты, то при равномерной шкале частот шкала нот (клавиатура) будет неравномерной. Наоборот, если в привычном масштабе изобразить клавиатуру (рис. 89), то неравномерной окажется шкала частот (логарифмический масштаб). Из рис. 89 особенно хорошо видно, что на каждую новую октаву приходится вдвое больше гармоник струны до-1, чем на предыдущую.

Описанное в задаче явление можно обнаружить и на гитаре. Роль демпфирующих молоточков должны выполнять пальцы левой руки. Известный гитаристам прием извлечения так называемых флажолетт имеет прямое отношение к нашей задаче.

Оглавление

V. Свет и тени