А.

Можно ли звезду закрыть спичкой, которую вы держите в вытянутой руке? Вы смотрите одним глазом, второй закрыт.

Б.

– А почему нельзя? Можно! Хотя спичка и маленькая, зато она близко. Ведь закрывает же во время полного солнечного затмения маленькая, но близкая Луна большое, но далекое Солнце. Почему? Потому, что угловые размеры Луны несколько больше угловых размеров Солнца. Звезды так далеки от нас, что, несмотря на свои огромные размеры, они даже в телескоп видны как точки. Иными словами, угловые размеры их ничтожно малы. Следовательно, как ни малы угловые размеры спички, они во много раз больше угловых размеров звезды.

Так рассуждали буквально все, кому предлагался этот вопрос. Однако давайте выйдем поздно вечером на улицу. Вот вам спичка. Выбирайте любую звезду. Вас постигнет неудача: закрыть звезду спичкой не удастся.

Рис. 90. Построение изображения звезды

Ответить на поставленный вопрос нам помогут следующие факты. Во-первых, если бы вы могли повторить эксперимент днем, то убедились бы, что звезда закрывается спичкой. Разумеется, днем это можно проверить не на звезде, а на любом другом удаленном предмете, мало отличающемся от точки. Во-вторых, точку, нарисованную на бумаге, спичкой удается закрыть без труда. Правда, ночью это удается только при условии, что спичка находится ближе к точке, чем к глазу. Днем это удается всегда.

В.

Звезду в этой задаче можно рассматривать как точечный источник света, удаленный на бесконечно большое расстояние. В этих условиях все лучи от одной звезды, попадающие в глаз, параллельны. Зрачок же нашего глаза в этой задаче не может считаться точкой. Тем более он не является ею ночью, когда вы экспериментируете со звездами: приспосабливаясь к темноте, зрачок максимально расширяется, чтобы побольше пропустить света. Создаваемая звездой тень спички, падая на зрачок, не покрывает его полностью. Поэтому при любом положении спички C (рис. 90, а и б) часть лучей от звезды проходит в зрачок и образует на сетчатке глаза в точке O изображение звезды. При этом звезда кажется просвечивающей сквозь спичку, но, разумеется, выглядит менее яркой, так как часть ее лучей перехватывается спичкой.

Рис. 91. Построение изображения точки

Днем зрачок, приспосабливаясь к яркому свету, сужается так, что его диаметр оказывается меньше толщины спички. В результате малый удаленный предмет спичкой может быть закрыт полностью. И не только малый, если спичку приблизить к зрачку.

С точкой, нарисованной на бумаге, дело обстоит несколько иначе. Эта точка не является удаленной. Следовательно, перехватываемые спичкой лучи, исходящие из этой точки, не параллельны. Чем ближе спичка к точке, тем больше лучей она будет перехватывать; в результате зрачок глаза может оказаться целиком в «тени» спички (рис. 91). Это произойдет тогда, когда угловые размеры спички «с точки зрения точки» станут больше угловых размеров зрачка.

Оглавление

А.

Видели ли вы когда-нибудь полную Луну?

Б.

– Странный вопрос! Конечно, видели! А если кто-нибудь и не видел, то в течение ближайшего месяца может восполнить этот пробел в своем развитии: ведь полнолуние бывает каждый месяц.

Спорить против этого трудно. Но действительно ли в тот момент, который называют полнолунием, Луна является в полном смысле слова полной? При каких условиях Луна будет абсолютно полной?

В.

Полной Луну следовало бы называть только тогда, когда вся сторона, обращенная к наблюдателю, полностью освещена прямыми солнечными лучами. Но для этого необходимо, чтобы наблюдатель находился на прямой, соединяющей Солнце и Луну. Если наблюдатель находится на Земле, то на упомянутую прямую он может попасть только вместе с Землей. Но тогда на Луну падает тень Земли и земной наблюдатель видит затмение Луны. При этом Луна Солнцем не освещена (точнее, еле-еле освещена красным светом солнечных лучей, обогнувших Землю за счет рассеяния в земной атмосфере).

Конечно, называть полной Луну, покрытую тенью Земли, несколько нелогично. При любом же другом расположении Солнца, Земли и Луны последняя не может быть полной.

В полном смысле полной Луну увидеть может только наблюдатель, попавший на прямую Солнце – Луна один, без Земли. Таким наблюдателем может быть только космонавт. Разумеется, тенью (а вернее, полутенью), которую в этот момент будет отбрасывать на Луну космический корабль, можно пренебречь.

Из всего сказанного выше не следует, конечно, что слово «полнолуние» нужно отменить. Полнолунием условились называть самую полную фазу Луны из всех, которые возможны в течение данного месяца. Если это твердо помнить, то слово «полнолуние» не вводит в заблуждение и не вызывает никаких неудобств, несмотря на свою неточность.

Рис. 92. Построение фазы полнолуния

У читателя может возникнуть вопрос: в чем причина неполноты полнолуния и почему не каждое полнолуние сопровождается затмением Луны? Ответ на этот вопрос дает рис. 92, на котором З означает Землю, Л – Луну, прямые БА₁ БА₂ указывают направление на Солнце, а заштрихованная область Т – тень Земли (полутень на рисунке не показана). Если бы Луна обращалась вокруг Земли в той же плоскости, в которой Земля обращается вокруг Солнца, т.е. если бы прямые ГД и А₁ Б совпадали, то Луна попадала бы в тень Земли ежемесячно, равно как и Земля в тень Луны. И мы ежемесячно видели бы два затмения: в полнолуние – лунное, в новолуние – солнечное.

Но плоскость орбиты Луны (на рисунке эта плоскость видна с ребра – прямая ГД) наклонена к плоскости эклиптики (прямая А₁ Б) под углом α ≈ 5°. В результате Луна в полнолуние может пройти выше тени Земли (случай, показанный на рисунке) или ниже ее (это произошло бы спустя примерно полгода, когда Солнце было бы правее Земли, в направлении Б, тень Земли – левее, Луна – на продолжении прямой ЗГ).

Полнолуние, показанное на рисунке, дает возможность земному наблюдателю Н увидеть Луну так, как это показано на рис. 92 (М): освещена почти вся видимая половина Луны, кроме узкого серпа внизу. В самом деле, Солнце по отношению к Луне находится на продолжении прямой ЛА₂ (в точке пересечения почти параллельных прямых ЗА₁ и ЛА₂) и освещает ту половину Луны, которая левее плоскости ЕЖ (перпендикулярной к прямой ЛА₂). Земной же наблюдатель Н видит ту половину Луны, которая левее плоскости ИК (перпендикулярной к прямой ЛН). В результате наблюдатель видит и небольшой «ломтик» ЖЛК неосвещенной половины Луны. В этом и состоит неполнота полнолуния. Угол, занимаемый этим «ломтиком», равен в данном случае α ≈ 5° (вообще говоря, для различных наблюдателей он может быть неодинаковым; для наблюдателя Н₁ меньше почти на градус, для Н₂ – больше; кроме того, этот угол несколько уменьшается из-за конечных угловых размеров Солнца и Луны). Полную Луну может увидеть только наблюдатель Н₃, находящийся на прямой ЛА₂, т.е. вне Земли, на высоте около 30 000 км над районом Северного полюса.

При каких же условиях возможно затмение Луны? При условии, что полнолуние приходится на время, когда Луна находится в тесной близости от линии узлов – прямой, по которой пересекаются плоскость орбиты Луны и плоскость эклиптики. Оно возможно, например, спустя около четверти года от момента, показанного на рисунке. Если считать Землю неподвижной, то Солнце будет в это время над плоскостью рисунка, Тень Земли будет направлена от вас в глубину книги, перпендикулярно к странице. И если прошло целое число месяцев с четвертью, то и Луна окажется на этой же прямой, под страницей, и попадет в тень Земли. Более подробно об этом можно прочесть в книге: Сытинская Н.Н. «Природа Луны». – М.: Физматгиз, 1959, с. 52...62.

Оглавление

А.

Представим, что лучшей половине человечества из непонятного (но обязательного для исполнения худшей половиной) каприза захотелось, чтобы Луна всегда была не слишком полной и не слишком серпом, а точно полумесяцем. Так сказать, не макси, не мини, а миди! Найдите геометрическое место точек в Солнечной системе, которые удовлетворяют этому капризу. Сумеете ли вы подобрать для Луны соответствующую орбиту?

Б.

Рассмотрите треугольник Солнце – Земля – Луна. Каким он должен быть, чтобы мы с Земли видели лунный диск освещенным ровно наполовину?

В.

Рис. 93 напоминает вам о том, как возникают различные фазы Луны. Размеры Луны и ее орбиты на рисунке сильно преувеличены по сравнению с Солнцем, Землей и расстоянием между ними ЗС. Это позволяет детально рассмотреть Луну и ее фазы и, кроме того, не считаться с эффектами параллакса, вызываемыми конечными размерами Солнца и Земли.

Рис. 93. Построение фаз Луны

В положении 1 (угол Земля – Луна – Солнце тупой) Земля видит бóльшую часть Луны АБ неосвещенной и меньшую БВ (серпик) – освещенной. В положении 2 (угол ЗЛС острый) – наоборот. В положении 4 (угол ЗЛС прямой!) АБ = БВ, т.е. мы видим полумесяц. Очевидно, прямой угол у Луны есть обязательное требование для фазы полумесяца.

Будем для простоты расстояние Земля – Солнце (ЗС) считать постоянным и прямую ЗС неподвижной. Найти геометрическое место вершин прямого угла, опирающегося на отрезок ЗС, легко: вспомним, что если вершина угла, опирающегося на диаметр, лежит на окружности, то этот угол – прямой. Значит, геометрическим местом положений Луны, дающих полумесяц, является окружность, построенная на отрезке ЗС как на диаметре (рис. 94). Переходя от плоского чертежа к трехмерному космосу, мы в качестве искомого геометрического места будем иметь шаровую поверхность, построенную на том же диаметре.

Геометрическое место точек для серпика (положение 7 на рис. 93) также находится на дуге окружности (1 на рис. 94), только большего радиуса, так как теперь отрезок ЗС должен быть хордой (искомый угол – тупой, а не прямой).

Любопытно, однако, что на продолжении дуги 1 (по другую сторону от точек З и С) будет не светлый, а темный серпик тех же размеров (фазы), т.е. светлая часть Луны будет не серпиком, а его дополнением до полной Луны. Если же требуется светлый серпик, то нужно построить дугу 1' того же радиуса, что и 1, но принадлежащую другой окружности. Итак, геометрическим местом серповидной Луны на плоскости является не окружность 1, а сочетание дуг 1 и 1'. В пространстве геометрическим местом будет поверхность типа веретена, образованная вращением дуги 1 вокруг прямой ЗС. Аналогично, черный серпик (ущербленная Луна) получается вращением дуги 2 вокруг той же прямой (при этом полученная поверхность напоминает поверхность яблока). Для полной Луны геометрическим местом точек являются две полупрямые: З5 и С5' (однако на первой из них Луна находится в тени Земли, на второй – спрятана от нас за Солнцем); для новолуния – отрезок ЗС.

Рис. 94. Не кеплеровы траектории луны

С геометрией покончено. Перейдем к физике (небесной механике). Задачу можно решить, остановив Луну (относительно Земли) в положении 4 (рис. 94). Но тогда она упадет на Землю. Добровольно по окружности 4 Луна не пойдет: траектория 4 явно не кеплерова (как и «веретено», и «яблоко»). Кроме того, даже если мы принудим ее к этому с помощью двигателей, то она после полуоборота все равно столкнется либо с Солнцем, либо с Землей.

Но нам вовсе не обязательно держать Луну в плоскости чертежа. Ведь геометрическим местом точек для полумесяца является сфера 4. Если бы Луна двигалась по окружности, перпендикулярной прямой ЗС (например, в плоскости ГД), то фаза ее была бы постоянной (полумесяц – на сфере 4, серп – на веретене 1 и т.д.). Но эта траектория тоже не кеплерова: у кеплеровой центр притяжения (либо Солнце, либо Земля) должен находиться в плоскости орбиты. Задание будет «почти выполнено», если Луну заставить вращаться вокруг Солнца в плоскости КМ. Поскольку точки К и М мало отличаются от нужных К' и М', то и фаза Луны будет мало отличаться от полумесяца. Авось заказчик не заметит разницы! Тем более что теперь Луна будет видна с Земли лишь как очень яркая точка, а проверить правильность выполнения задания можно только через телескоп. Кроме трудностей перевода Луны на эту орбиту здесь есть и другие: плоскость должна быть всегда перпендикулярна прямой ЗС, которая, как известно, поворачивается. Итак, придется еще заставить плоскость КМ совершать один оборот в год вокруг оси КМ.

После всех этих фантастических трудностей орбита в плоскости РТ (содержащей Землю) кажется почти реальной (хотя плоскость РТ тоже нужно поворачивать, как и КМ). Еще ближе к реализуемости проект, в котором используется не сама Луна, а ее эрзац, созданный искусственно. Выведем на орбиту в плоскость РТ диск (диаметром 90 км, расстояние от Земли 10 тыс. км). Пристроим перпендикулярно диску гантель (см. задачу «Гантель в космосе») длиной порядка 1000 км, тогда диск все время будет смотреть на Землю и будет неотличим от шара (впрочем, можно сделать и надувной шар). Зачерним половину диска (шара), а вторую сделаем люминесцирующей или прозрачной, тогда внутрь можно поместить источники света (питаемые от солнечной батареи, роль которой, возможно, удастся поручить зачерненной половине). Заказ исполнен. Правда, с помощью поддельной Луны, но подделки сейчас в большой моде у вышеупомянутого заказчика.

Оглавление

А.

В одном из молодежных журналов несколько лет назад приводилась такая задача: «Какой телескоп нужен, чтобы с 220 км увидеть футбольный мяч диаметром 25 см?» И тут же было изложено решение:

«Невооруженным глазом мяч виден под углом

(25/220∙10⁵)·(360°/2π) ≈ 1/223 угл. мин.

Чтобы видеть предмет, необходимо, чтобы он наблюдался под углом, не меньшим чем 1'. Значит, телескоп должен увеличивать более чем в 223 раза».

Найдите ошибку в рассуждениях. Докажите, что в приведенной форме задача вообще не может быть решена. Сформулируйте задачу заново и решите ее.

Б.

Вместо подсказки дадим еще одну задачу, точную копию предыдущей, но способную сделать очевидной ее абсурдность. Какой телескоп нужен, чтобы увидеть звезду Сириус? Расстояние до Сириуса 9,7 свет. лет (около 9·10¹³ км), диаметр его – полтора солнечного (около, 2·10⁶ км). Решая описанным выше «методом», получим следующее. Невооруженным глазом Сириус виден под углом

(2·10⁶/9·10¹³)·(360°/2π) ≈ 1/13 000 угл. мин.

Следовательно, чтобы увидеть Сириус, нужно иметь телескоп, увеличивающий более чем в 13 000 раз. А поскольку пока что таких телескопов нет, то при современном состоянии техники увидеть Сириус нельзя. Это и есть обещанный абсурд. На самом деле Сириус виден даже невооруженным глазом. Более того, он является вообще самой яркой звездой на нашем небе (не считая Солнца).

Невооруженным глазом можно видеть звезды шестой величины, а Сириус имеет звездную величину минус 1,6, т.е. в 2,5^6+1,6 = 2,5^7,6 ≈ 1000 раз ярче звезды, находящейся на пределе невооруженного зрения*. Следовательно, чтобы увидеть Сириус, глаз не только не надо ничем вооружать, но даже можно существенно «разоружить» (например, разглядывая звезду в перевернутый бинокль). Однако днем Сириус невооруженным глазом увидеть удается, лишь когда точно знаешь, где он находится.

В.

Чтобы источник квантов был виден, нужно, чтобы число квантов света, попадающих на данный элемент сетчатки глаза, было достаточным для его возбуждения. Мы, однако, не будем вычислять число квантов, так как нам понадобилось бы много справочных данных: спектральная чувствительность зрения (различная для разных длин волн), распределение по спектру энергии освещающего мяч Солнца, распределение коэффициента отражения мяча по спектру и др. Проще найти ответ методом сравнения мяча как отражателя с небесным телом, отражающие свойства которого такие же, а расстояние и видимость общеизвестны.

Возьмем мяч диаметром d = 25 см, отражающий свет так же плохо, как и Луна, т.е. с коэффициентом отражения (альбедо), равным 0,07, причем того же цвета (с той же отражательной способностью на разных длинах волн). Обычный футбольный мяч с коричневой покрышкой – хорошая модель Луны по альбедо и по цвету. Отодвинем мяч на такое расстояние, при котором угловые размеры мяча и Луны будут одинаковы – полградуса. Расстояние до мяча будет равно

l ≈ d/tg 0,5° = 0,25/0,0087 ≈ 29 м.

Если бы Луна и мяч были одинаково освещены Солнцем, то и видны наблюдателю они были бы одинаково (различием атмосферных условий пренебрегаем). Видимая звездная величина полной Луны равна (–12,7). Такова она будет и для «полного» мяча. Как далеко теперь его нужно отодвинуть, чтобы он оказался на пределе видимости невооруженным глазом, т.е. превратился в звезду шестой величины? Для этого он, как светило, должен ослабнуть на 6 + 12,7 = 18,7 звездной величины, т.е. в 2,5^18,7 ≈ 3·10⁷ раз (предполагается, что наблюдения проводятся на фоне ночного неба). Количество света, попадающего в глаз, обратно пропорционально квадрату расстояния от источника, каковым сейчас является мяч. Следовательно, расстояние до мяча должно увеличиться в (3·10⁷)^1/2 ≈ 5500 раз:

L = 5500l ≈ 160 км.

А если бы мяч был белым? Ну, хотя бы как бумага (альбедо 0,8)? Он был бы виден с расстояния в (0,8/0,07)^1/2 ≈ 3,4 раза большего, т.е. L ≈ 550 км. Это даже больше, чем требуемые в задаче 220 км, тем не менее никакого телескопа не требуется.

Заметим, однако, что если бы мяч освещался Солнцем сбоку или сзади, т.е. выглядел бы как тонкий серп, то при таком расстоянии понадобился бы телескоп, тем более сильный, чем уже этот серп.

Сфокусированный луч лазера может на небольших площадках создавать освещенности в тысячи раз бóльшие, чем Солнце. Мяч, освещенный с Земли лучом лазера, можно увидеть невооруженным глазом за многие тысячи километров. Однако днем, на фоне ярко-голубого неба, увидеть его было бы труднее.

Итак, задача вообще не может быть решена, пока не указаны коэффициент отражения мяча, яркость фона, источник освещения и угол, под которым расположены источник света и мяч относительно наблюдателя.

Какую же ошибку в рассуждениях допустил автор задачи? Он неправильно полагает, что для того, чтобы видеть предмет, нужно, чтобы он наблюдался под углом, не меньшим чем 1'. Угловая величина Сириуса в 13 000 раз меньше, однако он хорошо виден. Угол 1' – это угловая разрешающая способность нормального зрения. Для того чтобы две светлые точки (например, два мяча в космосе) были видны раздельно, нужно, чтобы угол между ними был не менее 1'. Если он меньше 1', то обе точки в глазу проектируются на одно нервное окончание и сливаются в сознании в одну точку; если больше – то на два разных, и тогда мозг зафиксирует две точки.

При наблюдении за одним мячом угол более 1' нужен не для того, чтобы увидеть мяч, а для того, чтобы увидеть детали этого мяча (например, серповидность его освещенной части). Но это уже не задача обнаружения, а задача распознавания образов. Для этого и нужен телескоп с увеличением, бóльшим чем в 223 раза. А для поставленной задачи имеет значение не столько большое увеличение, сколько большая светосила прибора, которая тем больше, чем больше диаметр его «входного зрачка». Можно взять телескоп с огромным увеличением и не увидеть в него ни мяч, ни Сириус, если телескоп сильно диафрагмировать, хотя диафрагмирование не меняет увеличения прибора, а только снижает его светосилу.

* Звезда первой величины ярче звезды шестой величины в 100 раз, т.е. разница в одну звездную величину соответствует отношению яркостей (100)^1/5 ≈ 2,5.

Оглавление

А.

На сколько нужно отодвинуть Луну, чтобы она оказалась на пределе видимости невооруженным глазом?

Б.

Задача кажется повторением предыдущей (Сириус увидеть нельзя). С расстояния 29 м мяч, освещенный полностью солнечным светом, имеет такую же звездную величину (–12,7), как и полная Луна. Увеличивая расстояние до мяча в 5500 раз (см. предыдущую задачу), т.е. до 160 км, мы превратили его в объект 6-й звездной величины, находящийся на пределе видимости. То же надо сделать и с Луной. Увеличивая расстояние до Луны в 5500 раз, мы получаем решение задачи. Новое расстояние до Луны

R₁ = 5500 · 380 000 ≈ 2100·10⁶ км.

Эта величина, полученная по аналогии с предыдущей задачей, не вызывает у вас сомнений, пока вы не представите, где при этом окажется Луна. А она окажется между Сатурном (1426·10⁶ км от Солнца) и Ураном (2869·10⁶ км). Сравним Луну с Ураном. Диаметр Урана в 10,3 раза больше диаметра Луны (главное сечение – в 10,3² ≈ 106 раз), а его альбедо (0,66) – в 10 раз. Следовательно, отодвинутая Луна будет слабее Урана в

(0,66/0,07) 10,3² · 2100² / 2869² = 540 раз?

Но видимая звездная величина Урана равна +5,7, т.е. он уже находится практически на пределе видимости. А Луна – в 540 раз слабее! Это противоречит нашему решению: ведь мы ее отодвигали именно на предел видимости.

Аналогичная неувязка результатов получается, если сравнивать отодвинутую Луну со спутниками Юпитера. Для Юпитера и его спутников расстояние от Солнца R₂ = 778·10⁶ км, т.е. расстояние от земного наблюдателя, соответствующее полной фазе Юпитера и спутников (противостояние), равно

R₁' ≈ (778 – 149)·10⁶ = 629·10⁶ км.

Первый спутник Юпитера Ио по размерам совпадает с Луной (d_Ио = 3460 км, d_Л = 3476 км), по альбедо (0,57) превосходит ее в 8 раз. Видимая звездная величина в противостоянии равна +5, т.е. лишь в 2,5 раза лучше предела видимости. Значит, Луна, отодвинутая на 2100·10⁶ км, будет видна слабее в

(0,57 / 0,07) · (2100² / 629²) ≈ 90 раз,

т.е. находится далеко за пределами видимости.

Мы опять получили большую ошибку в ту же сторону, в сторону ослабления видимости Луны по сравнению с заданной. Эти неувязки результатов означают одно из двух: либо астрономы неправильно рассчитали всю Солнечную систему, либо данная задача вовсе не является повторением предыдущей. А то, что различные проверки (по Урану и Ио – объектам, находящимся на разных дальностях) дают существенно разную величину ошибки (в 90 и 540 раз), означает, что зависимость видимости объекта от дальности в этой задаче является существенно иной, чем в предыдущей. В частности, рост ошибки с расстоянием означает, что эта зависимость более сильная, чем обратная пропорциональность квадрату расстояния.

В.

Рис. 95. Схема расположения Солнца, Земли и Луны

В предыдущей задаче расстояния Земля – мяч (29 м и 160 км) и Земля – Луна были пренебрежимо малыми по сравнению с расстоянием Земля – Солнце. Здесь же расстояние Земля – Луна (отодвинутая) существенно больше расстояния Земля – Солнце. Это придает совершенно иной характер задаче: ведь Солнце – источник света для мяча и Луны, и расстояние до него небезразлично для освещенности и видимости этих объектов.

Отодвигая мяч вдвое дальше, мы могли с полным основанием утверждать, что освещенность его не меняется, а поэтому количество света, попадающего от мяча в глаз, уменьшается вчетверо: принимаемая мощность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света (мяча):

Отодвигая Луну на миллионы километров (рис. 95), мы должны уже учитывать, что мы ее отодвигаем не только от Земли (R₁), но и от Солнца (R₂), отчего отражаемая мощность

Мы не будем детально расшифровывать смысл коэффициентов пропорциональности K₁ и K₂, отметим только, что P_пр пропорционально P_отр, т.е. P_отр содержится неявно в коэффициенте K₁:

Тогда

Эта формула очень любопытна: принимаемая наблюдателем мощность обратно пропорциональна квадрату произведения обоих расстояний!

Чтобы решить задачу, полезно несколько преобразовать формулу (4). Будем интересоваться полной (или почти полной) Луной, для чего, как известно из предыдущих задач, нужно, чтобы на рис. 95 угол γ → 0. Тогда в формуле (4) можно одну переменную (R₂) просто выразить через другую (R₁):

и, следовательно.

Для Луны в ее законном положении

Тогда

С учетом предыдущей задачи P_прЛ / P_пр = 2,5^18,7 = 3·10⁷. Знаменатель формулы (8) известен:

R_Л²(R_Л + R₀)² = 0,382(0,38 + 149)²·10²⁴ км⁴ = 3230·10²⁴ км⁴,

поэтому требуемая величина

Мы получили уравнение четвертой степени

Его точное решение крайне громоздко и не в духе нашей книги: поскольку оно уже есть в справочниках, то нас оно не интересует. Поэтому мы ограничимся простым подбором. При R₀ << R₁ формула (9) упрощается: R₁⁴ ≈ 10³⁵ км⁴, что дает R₁ ≈ 5,6·10⁸ км. Поскольку это R₁ все-таки не так уж сильно превосходит R₀, то настоящее R₁ будет несколько меньше. Беря наугад R₁ = 5·10⁸ км, получаем по точной формуле (9)

(5·10⁸)² (5·10⁸ + 1,49·10⁸)² = 1,05·10³⁵ ≈ 10³⁵.

Итак, Луну нужно отодвинуть от Земли приблизительно на R₁ = 500 10⁶ км (примерно на средину между Марсом и Юпитером).

Рис. 96. Овал Кассини

Имеют ли полученные результаты (главный из них – формула (4)) какое-либо практическое значение? Казалось бы, нет: ведь ни автор, ни читатели не собираются всерьез передвигать куда-либо Луну, тем более с такой ограниченной целью. Однако представьте себе какое-либо небесное тело, обращающееся вокруг Солнца по очень вытянутой эллиптической орбите. Такие тела в Солнечной системе есть: малые планеты – астероиды (Гидальго, Икар и др.). У астероида Адонис, например, перигелий находится вблизи орбиты Меркурия, а афелий – вблизи орбиты Юпитера. Ясно, что формула (4) необходима для вычисления их видимости (с поправкой на фазу планеты). И вообще формула (4) описывает наблюдаемость любого отражателя для случая, когда источник излучения. (Солнце, передатчик и др.) и наблюдатель отраженного сигнала (Земля, приемник и др.) находятся в разных точках (занимают разные позиции). Например, формула (4) описывает условия обнаружения отражающей цели (самолета и др.) в двухпозиционной радиолокации.

Преобразуем формулу (4) к каноническому виду. Пусть в системе декартовых координат (x, y) на оси x симметрично относительно нуля расположены передатчик F₁ и приемник F₂ (рис. 96). Найдем геометрическое место точек отражателя M, для которых его наблюдаемость приемником F₂ постоянна. Очевидно, это множество точек, для которых 1/R₁²R₂² = const или, что то же самое.

Обозначим F₁O = OF₂ = c и выразим R₁ и R₂ через c, x и y. Из рис. 96 видно, что

Тогда R₁²R₂² = a⁴ = [y² + (x +c)²][y² + (x – c)²], и после элементарных преобразований получаем

Это есть уравнение овала Кассини – геометрического места точек M, для которых произведение расстояний R₁ и R₂ от двух фокусов f₁ и f₂ есть величина постоянная. Полезно сравнить с определением эллипса – геометрического места точек, для которых сумма расстояний R₁ и R₂ от двух фокусов F₁ и F₂ есть величина постоянная. Форма овала Кассини весьма причудливо зависит от отношения между c и a = (R₁R₂)^1/2. При a > c∙2^1/2 овалы имеют эллипсовидную форму (овалы 1 и 2 на рис. 97); при c < a < a∙2^1/2 овал имеет два утолщения (кривые 3 и 4); при a = c кривая приобретает вид «восьмерки» (кривая 5, этот частный случай овала Кассини называется лемнискатой Бернулли); при a < c овал распадается на два яйцевидных овала (кривые 6 и 7). Предельными случаями овалов Кассини являются окружности. При a → ∞ имеем окружность бесконечно большого радиуса R₁ = R₂ = R = a. Формально этот результат получается из уравнения (13), которое при c → 0 превращается в уравнение окружности радиуса a с центром в начале координат x² + y² = a². Случай a → ∞ при c = const геометрически подобен случаю c → 0 при a = const. Физически это означает, что при a >> c можно пренебречь расстоянием между двумя позициями F₁ и F₂ и считать радиолокатор однопозиционным, для которого 1/R₁²R₂² = 1/R⁴. При c → 0 два частных овала стягиваются к двум бесконечно малым окружностям, охватывающим точки F₁ и F₂ (все манипуляции с мячом в предыдущей задаче мы проделывали в очень малой окрестности точки F²). Для радиолокации (светолокации – астрономии, звуколокации и др.) овалы Кассини имеют следующий смысл. От цели, находящейся в любой точке на данном овале, в фокусе будет принята одна и та же мощность (если передатчик, облучающий цель, находится во втором фокусе). Если эта мощность находится на пределе чувствительности, то данный овал охватывает собой зону действия радиолокатора. В трехмерном пространстве это поверхность, образованная вращением овала вокруг оси x. Мощность принятого сигнала тем выше, чем больше номер овала Кассини, на котором находится цель (если нумеровать, как на рис. 97).

Рис. 97. Формы овалов Кассини

На рис. 97 кривая F₁AF₂ – полуокружность, построенная на отрезке F₁F₂ как на диаметре. Если вспомнить задачу «Даешь полумесяц!», то это есть геометрическое место точек, в которых Луна имеет фазу полумесяца. Кривая A удобна для нашего анализа, так как позволяет не беспокоиться о постоянстве фазы. Видно, что вблизи точек F₁ и F₂ кривая A пересекает овалы с высоким номером, а посредине – с малым. Это означает, что Луна будет давать на Земле одинаково интенсивный свет в двух положениях: F₂ рядом с Землей и F₁ рядом с Солнцем, хотя угловые размеры ее при наблюдении с Земли велики в первом случае и ничтожно малы во втором. Правда, чтобы, находясь рядом с F₁, освещать Землю так, как она освещает ее на своем законном месте, Луна должна находиться уже внутри Солнца (радиус Солнца больше расстояния Земля – Луна).

Впрочем, формула (4) выведена в предположении точечного источника света и поэтому в непосредственной близости от реального Солнца дает некоторую погрешность.

Если Луна находится на середине дуги F₁AF₂, то сигнал от нее довольно мал (меньше, чем от Меркурия).

Аналогично ведет себя и сигнал, отраженный от самолета. Так, например, описанная в конце задачи «Домашний радиолокатор» помеха от самолета телевидению проявляется сильно, когда самолет пролетает в непосредственной близости или от приемной антенны телевизора, или от передающей антенны телецентра. Самолет почти не дает помехи, когда пролетает на полпути между телевизором и телецентром. Зона действия мешающего самолета для вашего телевизора, таким образом, распадается на два яйцевидных овала, один из которых охватывает телецентр, а второй – ваш телевизор.

Оглавление

А.

Ярко светит Солнце. На полу комнаты виден прямоугольник света из окна, разбитый тенью рамы на квадратики. Но вот набежало облако. И вдруг, вместо того чтобы исчезнуть, прямоугольник света беспорядочно зашатался вправо, влево, вперед, назад. Как это объяснить?

Б.

В.

Явление объясняется тем, что Солнце – не точечный источник света, а набежавшее облако – рваное. Комбинация большого по угловым размерам источника света и движущегося отверстия в экране равносильна перемещающемуся источнику света.

Рис. 98. Построение изображения солнца

На рис. 98 показано Солнце и обрывок облака в два разных момента. В момент 1 открыт левый край Солнца, в момент 2 – правый. Открытый край является источником света, создающим изображение на полу. Как видно из рисунка, левый край Солнца 1 создает тень рамы P в точке 1', а правый – в точке 2'. Если облако сильно рваное и быстро мчится по небу, то тень рамы будет быстро и довольно беспорядочно колебаться в пределах 1' и 2'. Эти пределы можно вычислить. Пусть расстояние от некоторой точки рамы до ее тени на полу равно r. Поскольку угловой диаметр Солнца равен 0,5° (≈ 0,01 рад), то размах колебаний Δl будет равен

Δl ≈ 0,01 r.

Если, например, r = 5 м, то Δl ≈ 5 см.

После некоторого времени наблюдений вы начнете улавливать, что основной характер движения тени состоит в перемещении в определенном направлении. Ясно, что это направление противоположно направлению движения облаков.

Особенно отчетливо это направление заметно, если по солнечному диску проходит маленькое отверстие в плотном облаке. Впрочем, если облако изорвано настолько мелко, что по солнечному диску одновременно проходит несколько отверстий, то вы увидите одновременно от одной рамы несколько теней различной интенсивности.

Нечто подобное вы увидите и в случае, когда Солнце закрыто деревом и его лучи освещают ваше окно сквозь колеблющуюся листву. Только в перемещениях тени рамы в этом случае меньше порядка: в отличие от обрывков облака, бегущих более или менее согласованно друг с другом (по направлению ветра), листья колеблются хаотичнее.

Оглавление

А.

Столб высотой h = 5 м и толщиной b = 10 см отбрасывает на равнину длинную тень: Солнце уже клонится к закату, высота его над горизонтом всего лишь φ = 10°. Чему равна длина тени столба? Какова будет ее длина, если высоту столба увеличить вдвое?

Б.

Тот, кто подходит к задаче невнимательно, решает задачу в два счета: он рисует чертеж, подобный рис. 99, затем вычисляет:

l₁ = h₁ ctg 10° ≈ 5·5,67 = 28,35 м.

Рис. 99. Построение тени для точечного источника

Для второго столба длина тени

l₂ = 2l₁ = 56,7 м.

Внимательный же читатель заметит, что в таком решении никак не использована одна величина, приводимая в исходных данных, а именно толщина столба. При чем тут толщина столба? Какое отношение она имеет к длине тени? Читатель, поставивший эти вопросы, уже близок к правильному решению задачи.

В.

Приведенный выше способ вычисления длины тени верен только в случае, когда угловые размеры источника света ничтожно малы («точечный» источник). Солнце – далеко не точка. Его угловые размеры α равны приблизительно 0,5°. Тень в данной точке возможна только при условии, что для этой точки источник света закрыт полностью. В данном случае источник света закрывается сравнительно тонким столбом. Поэтому вполне вероятно, что в том месте, где при расчете по приведенным выше формулам должна находиться тень вершины столба, на самом деле будет всего лишь полутень, бледная, еле заметная, а то и совсем незаметная. Полная тень будет только в тех точках, для которых видимые угловые размеры толщины столба α₂ превосходят угловые размеры α Солнца C, т.е. α₂ ≥ α = 0,5°.

Рис. 100. Построение тени столба

Отрезок b = 10 см виден под углом α₂ (рис. 100) с расстояния r₁, которое можно найти из приближенной формулы

sin α ≈ b/r₁.

Угол α₂ будет равен углу α, если

r₁ = b/sin α = 10/0,0087 = 1140 см = 11,4 м.

На рис. 101 показан столб BO высотой h, его тень A₁₀ длиной l₁ и полутень AA₁. Длину тени, очевидно, можно найти из треугольника A₁B₁O, у которого гипотенуза равна вычисленному r₁:

Рис. 101. Построение полутени столба

l₁ = r₁ cos 10° ≈ 11,4 · 0,985 ≈ 11,2 м.

В вычислениях длины тени второго, более высокого столба, очевидно, нет необходимости. При данной толщине столбов длина тени не зависит от их высоты, если высота превосходит некоторую критическую, равную в нашем случае

h_кр = r₁ sin 10° ≈ 11,4 ∙ 0,174 ≈ 2 м.

И только если h < h_кр = 2 м, то длина тени пропорциональна высоте столба.

Оглавление

А.

В кинофильме «Свадебный звон» есть такой кадр. В большой спокойной луже отражается яркое солнце (рис. 102, а). Герой, будучи в приподнятом настроении, подходит к луже и начинает шевелить воду, любуясь тем, как волны раскалывают отражение Солнца на осколки (рис. 102, б). Найдите ошибку в замысле режиссера и попробуйте ее исправить.

Рис 102. Расположение объектов съемки: а) солнца; б) героя

Б.

Прежде всего, мы извиняемся перед читателями за схематичность героя на нашем рисунке. Впрочем, в кинофильме герой еще схематичнее.

Мы, зрители, смотрим события фильма через объектив кинокамеры. Иными словами, наша точка зрения совпадает с точкой зрения камеры (более точно: камера навязывает нам свою точку зрения).

В кадре герой – по ту сторону лужи. Следовательно, зритель (камера) – по эту. Если зритель и герой – на разных берегах, то один из двух не может видеть отражение Солнца в воде. Зритель видит. Следовательно, герой – нет. А тогда чем же он любуется?

В.

Трудно предположить, что режиссер, а тем более оператор, крутящий ручку кинокамеры, не знают законов отражения света. Но даже если бы они и подзабыли, физика немедленно указала бы им на ошибку. Можно представить, что артист, которого режиссер послал потрепать покровительственно Солнце по шевелюре, удивленно воскликнул:

– Но я его не вижу!

На что режиссер, стоящий по эту сторону лужи, не менее удивленно произнес:

– Не может быть!

И сам сходил на тот берег – и убедился, что физика – серьезное дело. А потом добавил, спасая ситуацию (надо спешить: объект съемки уже сидит в луже!):

– Ну, а зачем тебе видеть? Видеть должны зрители! Твое дело любоваться, да так убедительно, чтобы зрители тебе поверили!

На том и порешили. И допустили ошибку: зритель-то дотошный пошел! Подавай ему правду жизни! Он теперь разбирается не только в детективах, не только в романах на производственную тему, но и в физике: у него образование не такое уж среднее, как это может показаться.

Как можно было бы исправить названный кадр? Ну, конечно же, надо было героя оставить на одном берегу с нами. А если это неудобно из-за неудачного ракурса (съемка с затылка), то можно было бы и вообще пожертвовать этим кадром.

Этой «рецензией» мы не хотим обидеть коллектив, работавший над фильмом. Тем более что с тех пор он значительно продвинулся вперед и имеет яркие заслуги. Мы взываем ко всем работникам искусств: не пренебрегайте ни физикой, ни географией, ни технологией! Ведь мы, ваши зрители, растем! В том числе и под вашим влиянием.

Оглавление

А.

Дождь кончился. Уже полчаса над лесом жарко сияет Солнце, и там, куда попадают его лучи, трава просохла. Но в жару хочется прилечь на траву в тени. Как найти такую тень, в которой вы можете смело ложиться, не боясь промокнуть?

Б.

Надо найти такую тень, которая не была тенью последние полчаса.

В.

Очевидно, если Солнце смещается к западу, то тень всякого предмета смещается к востоку. Следовательно, восточный край тени только что не был тенью. Там и следует вам расположиться. Но хватит ли места? Это зависит от скорости, с которой выбранная вами тень перемещается по земле. Тень макушки двухметрового куста перемещается медленно, двадцатиметрового дерева – в десять раз быстрее. За полчаса тень макушки дерева сместилась на 3...4 м. Значит, 1...2 м на восточном краю тени освещались Солнцем не менее двадцати минут и успели просохнуть. Этих метров вам хватит для отдыха. Только, прежде чем прилечь, советуем проверить, не падали ли в это место тени других деревьев в последние полчаса. Для этого, став так, чтобы тень вашей головы падала туда, куда вы намереваетесь лечь, посмотрите на Солнце (оно заслонено макушкой выбранного вами дерева) и убедитесь, что влево от Солнца на протяжении семи или более градусов небо свободно от силуэтов деревьев (именно там Солнце находилось последние полчаса).

И, наконец, потрогайте все-таки траву рукой: автор не хочет нести ответственности за качество работы, выполненной другим.

Оглавление

А.

Когда вы, выключив свет, привыкнете к темноте, взгляните на световой прямоугольник на белой стене, созданный уличным фонарем, светящим вам в окно. Вы увидите в этом прямоугольнике странные вещи: каждое из стекол создает красивый полосатый узор.

На рис. 103 показан образец такого узора. Посмотрите на стекло: оно кажется чистым и однородным и на взгляд, и на ощупь. Откуда же берется этот узор?

Б.

Рис. 103. Образец узора

Возьмите лист белой бумаги и расположите его параллельно стеклу в 10...20 см от последнего. Никаких узоров на бумаге вы не обнаружите. Отодвигайте теперь бумагу от окна. Узор будет проявляться, причем контрастность его будет увеличиваться.

Второй эксперимент. Станьте у стены, в падающем на нее световом потоке, закройте один глаз и, глядя на фонарь, перемещайтесь поперек полос (если вы попали в прямоугольник B, перемещайтесь в горизонтальном направлении, в A – в вертикальном).

В.

Во втором эксперименте, перемещаясь, вы увидите, что уличный фонарь мерцает: то вспыхивает, то ослабевает. Кроме того, он не остается на месте, а беспорядочно смещается (вправо – влево в прямоугольнике B, вверх – вниз в прямоугольнике A). Это означает, что угол преломления в стекле беспорядочно меняется от точки к точке. Видимо, толщина стекла непостоянна. И хотя изменения толщины не обнаруживаются непосредственно (лист стекла всегда нам кажется образцовой плоскостью), они легко проявляют себя косвенно: малая кривизна неровности не лишает ее свойств линзы, а только делает эту линзу очень длиннофокусной.

На рис. 104 показан разрез оконного стекла C. Левая поверхность его показана неровной (неровности сильно преувеличены). Правая поверхность изображена плоской только для простоты построения хода лучей. Качественно картина от этого не изменилась. Мы видим, что такое стекло можно считать состоящим из чередующихся плоско-выпуклых (1, 3, 5, 7) и плоско-вогнутых (2, 4, 6) линз с различной кривизной поверхности и, следовательно, с различными фокусными расстояниями.

Рис. 104. Разрез оконного стекла

Лист бумаги в эксперименте располагался настолько близко к стеклу (плоскость АА'), что ни одна из линз еще не успела заметно сконцентрировать или рассеять лучи. Поэтому освещенность листа была практически ровной. Однако, отодвинув лист в плоскость ББ', мы уже получили бы яркие полосы от линз 1 и 3, окруженные более темными от линз 2 и 4, и не очень яркую – от 7 (еще не сфокусировавшей свои лучи). В плоскости ВВ' были бы яркие полосы от линз 3 и 7, темные – от 2, 4 и 6 и не очень яркая от 1 (уже перефокусировавшей свои лучи). Таким образом, с увеличением расстояния до экрана состав полос в изображении меняется случайным образом.

А почему мы видим полосы, а не пятна? Если неровности стекла случайны поперек листа, то почему они не случайны вдоль него? Потому что обычно строительное листовое стекло получают путем проката (или протяжки). При этом каждая неровность прокатных валков оставляет «борозду» на всем протяжении листа. Поэтому «линзы», из которых состоит оконное стекло, являются цилиндрическими и фокусируют только в одной плоскости.

Борозды в стекле А (рис. 103), в отличие от В, горизонтальны. Это стекло было вырезано из листа иначе, с поворотом на 90°. Стекло Г не клетчатое. Просто окно двойное, и два стекла Г вырезаны случайно так, что их борозды оказались взаимно перпендикулярными, в то время как у двух стекол В – параллельными. Ну, а стекло Б? Почему оно не дало полос? Возможно, оно высшего класса и его неровности столь малы, что стену вашей комнаты нужно отодвинуть в десять раз дальше, чтобы полосы проявились. Но скорее всего это просто открытая форточка.

Итак, ничтожно малые неровности стекла, заметные только для очень точных мерительных инструментов, обнаруживаются отчетливо на экране без всяких инструментов. Это явление так и напрашивается, чтобы использовать его в качестве тонкого метода в научных экспериментах. И оно используется – в аэродинамике, акустике, физике атмосферы и других науках. Обтекание воздухом моделей самолета приводит к местным уплотнениям и разрежениям воздуха. Показатель преломления сжатого воздуха выше, чем разреженного. Воздух оказывается состоящим из собирающих и рассеивающих линз; просвечивая его, мы получаем на экране картину обтекания.

Аналогично исследуются явления конвекции в жидкостях и газах, звуковые и тепловые волны и т.д. Подробно прочесть об этом можно в книге: Холдер Д., Норт Р. Теневые методы в аэродинамике.– М.: Мир, 1966.

Оглавление

А.

Рис. 105. Построение стереоскопического изображения

Когда вы смотрите на окружающую местность двумя глазами, вы легко ощущаете глубину перспективы. Например, глядя на стоящий в 10...15 м от вас куст, вы отчетливо чувствуете, какой листок ближе к вам, какой дальше и насколько, – и все это благодаря известному стереоскопическому эффекту.

Но вот над этим же кустом вы видите несколько горизонтальных проводов линии электропередачи. Попытайтесь определить, какой из проводов дальше, какой ближе. Это вам не удастся. Все ваши попытки приведут только к усталости в глазах. Посмотрите на куст: ваши глаза по-прежнему обнаруживают разницу в расстояниях. В чем дело? Почему глаза отказываются обнаруживать эту разницу по проводам?

Б.

Приведем дополнительные наблюдения, которые помогут вам найти ответ. Первое: если склонить голову набок, то вы отлично обнаружите разницу в расстояниях. Второе: если вы с горизонтального участка проводов, находящегося на середине пути между двумя опорами, будете переводить взгляд на участки, более близкие к опоре (эти участки наклонны из-за провисания провода), то стереоскопичность вашего зрения начинает восстанавливаться. Третье: по вертикальной нити (или столбу) глаза работают безукоризненно. Наконец, и по горизонтальному, проводу, если на нем висит сверкающая капля росы или сидит птица, глаза работать не отказываются.

Напомним на всякий случай основное условие стереоэффекта: он основан на зрении двумя глазами, разнесенными на некоторое расстояние. Расстояние A₁A₂ между центрами глаз называют стереоскопическим базисом (рис. 105). Чем ближе предмет B, тем больше угол α, под которым виден базис из точки B, тем сильнее разница в повороте двух глаз. Эту разницу мозг преобразует в ощущение расстояния.

В.

Представьте, что в вашем поле зрения есть вертикальная·нить B (рис. 105), но вы смотрите мимо нее вдаль, рассматривая очень далекий предмет C. Тогда оси обоих глаз A₁C₁ и A₂C₂ практически параллельны, а нить B видна левому глазу A₁ на угол α/2 правее предмета C, правому глазу A₂ – на такой же угол левее.

Иными словами, наблюдая далекий предмет C, мы видим близкую нить B раздвоенной (рис. 106, а), причем угол между двумя изображениями нити равен 2·α/2 = α. Переведем взгляд на нить. Оба ее изображения сольются в одно, оба глаза повернутся на угол α/2 в разные стороны, что и зафиксируется мозгом в виде сведений, что нить B ближе предмета C. Изображение предмета C при этом раздвоится (рис. 106, б).

Рис. 106. Раздвоение изображения вдоль базиса

Теперь представим, что мы смотрим на отдаленный предмет C мимо горизонтальной нити. Нить опять раздвоится вправо-влево (рис. 106, в), но теперь два изображения, несмотря на раздвоение, совпадают друг с другом по всей длине, за исключением концов (на рисунке два изображения нити слегка сдвинуты по высоте по соображениям наглядности). Переведем взгляд на нить. Все наши попытки определить расстояние до нити ни к чему не ведут, так как при любом угле α два изображения нити по-прежнему налагаются друг на друга (рис. 106, в, г). Стоит, однако, склонить голову набок, как изображение нити теперь раздваивается по высоте, и нам нетрудно свести его воедино и благодаря этому ощутить расстояние.

Таким образом, все дело в том, что изображение всегда раздваивается в направлении вдоль базиса, и если базис параллелен нити, то нить раздваивается вдоль самой себя, отчего стереоскопический эффект пропадает.

Если, однако, на горизонтальном проводе сидит птица, т.е. имеется «точка», за которую глаза могут «зацепиться», то стереоэффект сохраняется; глаза определяют расстояние до птицы, а мозг подсознательно или на основе логических умозаключений, опирающихся на то, что птица сидит именно на проводе, правильно определяет расстояние и до провода.

Оглавление

А.

Найдите в окружающей вас обстановке узор из равномерно расположенных мелких одинаковых деталей (на обоях, на скатерти, на занавеске и т.д.). Желательно, чтобы края поля, занятого узором, находились за пределами вашего поля зрения. Расстояние между отдельными деталями узора должно быть не более 5 см. Теперь, приблизившись к нему на расстояние 20...100 см, попробуйте посмотреть сквозь узор в глубину, сосредоточивая свой взгляд на все большей и большей глубине. Сделать это не каждому удается с первой попытки, но не теряйте надежды приобрести этот навык. Вы не раз делали это непроизвольно раньше; вспомните выражение: «он смотрит сквозь предмет, не видя его».

Так вот, когда вам удастся это сделать, то вы обнаружите необычные вещи: вместо первого, вполне реального, узора вы увидите в глубине точно такой же второй, но заметно более крупных размеров. При этом первый, реальный, узор исчезнет, а там, где он находился, вы увидите что-то вроде стеклянной стены. Если вам повезет, то за вторым узором еще глубже вы увидите третий, тоже кажущийся, еще более крупный узор. А теперь попробуйте объяснить это несколько странное явление.

Б.

Тем, у кого опыт уже получился, советуем, не сводя глаз с кажущегося изображения, приближаться к узору и удаляться от него. Вы увидите, что, помимо естественного приближения и удаления реального узора, имеет место необычно большое приближение и удаление ложных узоров, тем большее, чем более глубокий узор вы видите. Если вы будете двигаться влево, то узор будет двигаться вправо со скоростью, заметно большей, чем ваша. Если вы начнете медленно наклонять голову набок, то узор начинает раздваиваться и пропадать, но с возвратом головы в первоначальное положение восстанавливается.

Если у вас в комнате нет подходящего узора или увидеть ложный узор не удается, то проделайте следующий опыт. Нанесите на внешнем стекле двойного окна чернильную точку, а на внутреннем – горизонтальный ряд точек с интервалами 3 см (несколько выше уровня глаз, чтобы все точки проектировались на небо). Отойдя от внутреннего стекла на расстояние, приблизительно равное расстоянию между стеклами, сосредоточьте взгляд на одинокой точке внешнего стекла (это и будет именно то, о чем мы вас просили: взгляд сквозь «стену», роль которой сейчас играет ближнее к вам стекло). При этом точки внутреннего стекла будут казаться раздвоенными. Не сводя взгляда с точки внешнего стекла, осторожно приближайтесь (удаляйтесь), пока раздвоенные точки не сольются попарно. Теперь вам будет казаться, что точки внутреннего стекла находятся в плоскости внешнего. Ложный узор обнаружен. Сосредоточьтесь на нем; отходя от окна, вы увидите, что узор отодвигается из плоскости стекла наружу, в небо.

Тем же, у кого опыт не получился, мы можем помочь только разрешением прочесть ответ.

Внимательно разобравшись в природе этого явления, повторите опыт: возможно, раньше вы выбрали неудачный узор.

В.

Природа этого явления поясняется рис. 107. Пусть, расстояние между центрами зрачков ваших глаз O₁O₂ равняется 6 см, а расстояние между деталями узора A₁, A₂, ... A₇ равно 1 см. Сосредоточивая взгляд на детали узора A₁, вы направляете на нее оптические оси обоих глаз так, что они вынуждены пересекаться под углом α₁. Этот угол велик, и это заставляет мышцы, поворачивающие глазные яблоки, сильно напрягаться, а это дает нашему мозгу основание считать, что предмет A₁ близок (см. также задачу «Провод и капля росы»).

Рис. 107. Построение ложного узора при: а) большем расстоянии; б) меньшем расстоянии

Представим теперь, что оптическая ось одного глаза направлена на деталь A₁, а другого – на A₂. Это именно то, о чем мы просили вас в начале задачи: направив так глаза, вы перевели взор из плоскости A₁A₇ в глубину, в точку A₁₂. Так как детали A₁ и A₂ узора совершенно одинаковы, мозг не заметит ошибки и будет считать изображения различных деталей A₁ и A₂ на сетчатке разных глаз изображением одной детали A₁₂, на самом деле не существующей. Поскольку глаза теперь развернуты на угол α₂ < α₁, то мозг решит, что деталь A₁₂ находится на большем расстоянии, чем деталь A₁ или A₂:

O₁A₁₂ > O₁A₁; O₂A₁₂ > O₂A₁.

Если, таким образом, глаза настроились на нужную глубину, то изображения деталей A₂ и A₃ будут сведены в сознании в изображение детали A₂₃, деталей A₃ и A₄ – в A₃₄ и т.д. Создается впечатление, что в плоскости A₁₂A₆₇ существует такой же узор, что и в плоскости A₁A₇.

Заметим, что обязательным условием вашего успеха является параллельность прямых O₁O₂ (базис глаз) и A₁A₂ (прямая, соединяющая два смежных элемента). Иначе глаза не смогут свести два элемента в один: для этого одному из них нужно было бы подняться на лоб, а второму – спуститься на щеку. Вот почему наклон головы набок приводит к раздвоению деталей ложного узора по высоте и пропаданию эффекта.

Из рисунка видно, что деталь A₀₁ будет видна только одним глазом O₂, так как в первоначальном узоре нет детали A₀, нужной для глаза O₁. Значит, деталь A₀₁ (как и деталь A₇₈) не дает стереоэффекта, и это будет сильно затруднять наблюдение всей картины. Этого не произойдет, если узор A₁A₇ простирается в обе стороны безгранично (или по крайней мере за пределы поля зрения), что и имеет место в случае обоев, разглядываемых с небольшого расстояния.

Согласно рисунку детали ложного узора должны казаться крупнее деталей реального узора, A₁₂A₂₃ > A₁A₂. И в самом деле, они выглядят крупнее.

Но почему? На сетчатке глаза интервал A₁₂A₂₃ занимает такое же место, какое занимает интервал A₁A₂, т.е. угловые размеры β деталей ложного узора такие же, как и реального. Ведь на самом деле перед глазами имеются все те же детали реального узора и ничего больше! Почему же они теперь кажутся бóльшими? Да все потому, что ложный узор воспринимается как находящийся на большем расстоянии. Один оптический обман влечет за собой другой. Мозг, наученный многолетней практикой, делает естественный вывод, что из двух предметов, имеющих одинаковые угловые размеры, более далекий обладает бóльшими линейными размерами.

Из рис. 107, а видно, что второй ложный узор, еще более глубокий и крупный, получается тогда, когда глаза повернуты на угол α₃ и в мозгу накладываются впечатления от деталей A₁ и A₃, A₂ и A₄, ..., смещенных друг относительно друга на два интервала. Аналогично можно наблюдать третий, четвертый и пятый ложные узоры. Шестой ложный узор в случае, показанном на рисунке, соответствует α₇ = 0, т.е. параллельности оптических осей. Этот узор находится бесконечно далеко.

Рассмотрим поведение ложных узоров при перемещении глаз. Рис. 107, б показывает, что если приблизиться к реальному узору, то все ложные узоры также пропорционально приблизятся к нему. Если переместить голову параллельно реальному узору на один элемент (точки O'₁ и O'₂), то реальный, а следовательно, и все ложные узоры сместятся в обратную сторону также на один элемент. Поскольку, однако, у более далеких ложных узоров кажущийся размер элемента значительно больше, то и соответствующее перемещение будет больше.

Несколько слов о «стеклянной стене», которая остается на месте реального узора при рассматривании ложного. На всяком узоре имеются отдельные неправильности, ворсинки, пылинки, которые, в отличие от самого узора, расположены неравномерно, случайно и поэтому не находят себе пары в ложном узоре (ср. с задачей «Порядок среди беспорядка»). Поэтому они не попадают в плоскость ложного узора. Они видны так, как видны пылинки на поверхности зеркала, когда человек рассматривает свое изображение в глубине зеркала.

Удалось ли вам увидеть второй ложный узор? Если нет, то в помощь вам предлагается рис. 108. Начертите на внутреннем стекле окна веер прямых, взяв расстояние между прямыми внизу d = 3 см и вверху D = 6 см (прямые 11', 33', ...). Кроме того, начертите промежуточные прямые 2, 4, 6, ..., не доводя их до самого низа. Настроившись по нижним концам линий 1', 3', 5', ... (с помощью точки внешнего стекла) на первый ложный узор, можно использовать прямые 1'1, 3'3, 5'5, ... как направляющие для перевода взгляда на верхнее поле, где этот ложный узор оказывается вторым благодаря наличию промежуточных прямых 2, 4, 6, ...

Рис. 108. Веер для тренировки глаз

Если к какой-либо из линий прикоснуться карандашом К, то он будет казаться раздвоенным (K и K''), причем он будет указывать на линии, отстоящие на два интервала, а это и доказывает, что мы видим второй, а не первый ложный узор. Объект будет казаться наклонной плоскостью, верхним концом уходящей в небо.

При расслаблении глазных мышц зрение, непроизвольно возвращаясь от второго ложного узора к реальному, попутно обнаруживает и первый ложный, при котором K, и K' (пунктир) отстоят на один интервал. Это будет тоже наклонная плоскость, но более близкая к истинной, вертикальной. Наблюдая за первым ложным узором, вы уже не сумеете по направляющим скользнуть взглядом до нижнего края: как только кончатся прямые 2, 4, 6, ..., эффект пропадет.

В повседневной жизни аккомодация глаз (область четкой фокусировки) автоматически следует за конвергенцией (областью пересечения) их оптических осей, поэтому реальный узор виден хорошо сфокусированным независимо от расстояния до него. Поэтому же ложный узор виден размытым тем больше, чем больше его номер. Необходимо заметное усилие, чтобы разорвать связь между аккомодацией и конвергенцией и увидеть ложный узор хорошо фокусированным.

Несомненно, ложные узоры могут привести к некоторым вредным последствиям в производственной обстановке, что следует учитывать при проектировании устройств с периодической структурой.

Избежать этого эффекта можно разумным сочетанием нескольких цветов, нарушением периодичности с помощью дополнительных штрихов и т.д. С другой стороны, этот эффект можно использовать для выявления периодических структур на фоне случайных помех. Так, например, рассматривая рис. 109, а взглядом, устремленным под бумагу, после нескольких неудачных попыток можно обнаружить в глубине плоский периодический узор (рис. 109, б). четко отделяющийся от остальных точек, рассеянных по глубине случайным образом (для этого нужно рис. 109, а перечертить в масштабе, указанном на рис. 109, б).

Рис. 109. Изображение структуры: а) смешанной; б) периодической

Интересно, что с помощью расходящихся направляющих можно обнаружить ложные узоры, находящиеся «на бесконечности» (оптические оси глаз параллельны) и даже «дальше бесконечности». В последнем случае оси пересекаются сзади наблюдателя, т.е. левый глаз будет повернут влево, а правый – вправо! Для этого надо продолжить расходящиеся прямые 1, 3, 5, ... вверх, пока расстояние между ними D не станет больше базы ваших глаз D₀ (прямые 2, 4, 6, ... при этом не нужны).

Автору удалось добраться взглядом до D = 10 см при базе глаз D₀ = 6,7 см и расстоянии от узора R = 50 см. Это значит, что его глаза в это время смотрели в разные стороны под углом

α ≈ (D – D₀)/R = (10 – 6,7)/50 = 3,3/50 рад ≈ 4°.

Достижение кажется не очень крупным. И достается оно дорогой ценой: целый день потом болят глаза, при одном воспоминании об эксперименте из глаз катятся слезы, и только спустя неделю набираешься смелости рискнуть повторить опыт. Наука требует жертв! Но жертвы уже принесены, и поэтому вам нет никакой надобности приносить дополнительные. Во всяком случае, я настоятельно советую не делать этого.

Зачем же ставился этот опасный опыт? Хотелось проверить, верно ли утверждение, имеющееся на стр. 182 третьего выпуска «Фейнмановских лекций по физике» (издательство «Мир», 1965) и приводимое ниже:

Эти опыты автор описал в журнале «Природа», 1966, № 1. А затем с удивлением обнаружил противоположное утверждение (см.: Фейнмановские лекции по физике.– М.: Мир, 1965, вып. 3, с. 182):

«...Совершенно невозможно сознательно или несознательно одновременно повернуть оба глаза в разные стороны, и вовсе не потому, что нет мышц, способных сделать это, а потому, что нет способа послать такие сигналы, чтобы оба глаза отвернулись в разные стороны... И хотя мышцы одного глаза вполне могут поворачивать его как угодно, даже йоги никаким усилием воли не могут повернуть оба глаза в разные стороны. Просто потому, что нет никакой возможности сделать это. В какой-то мере мы уже скованы от рождения. Это очень важный пункт, ибо большинство прежних книг по анатомии и психологии не признавало или не замечало того факта, что мы в такой степени скованы с самого рождения; они утверждали, что можно всему научиться».

Как видите, утверждение решительное и, кроме того, из него делаются далеко идущие выводы. Можно согласиться, что человек ограничен, что не всему он может научиться. Но пример, из которого делается этот вывод, следует признать неудачным. Автор горд, что ему удалось превзойти йогов, правда, не за счет «усилия воли», а за счет того, что есть «способ послать такие сигналы».

Если из этого вы сделаете вывод, что «Фейнмановские лекции по физике» не стоит читать, то вы очень ошибетесь. Эта блестящая книга, написанная лучшими педагогами, наполнена множеством интересных фактов, о которых вы не прочтете нигде в другом месте. Это одна из первых попыток нового, более современного, изложения физики, книга, подающая материал в оригинальной последовательности, ярко, интересно, живым разговорным языком. Она стимулировала появление других попыток пересмотра методики преподавания физики. Но любую книгу читать следует критически, в том числе и ту, которую вы в данную минуту держите в руках.

Оглавление

А.

Хотите достать звезду с неба? Не хотите... Жаль! Ну, а хотя бы потрогать ее руками? Тоже нет... Думаете, дядя шутит. А между тем это так просто, если вы поняли две предыдущие задачи. Разумеется, если говорить серьезно, то потрогать можно не настоящую звезду, а иллюзорную, созданную за счет стереоэффекта нашего зрения. Нужно создать иллюзию, что звезда находится на расстоянии меньше вытянутой руки. И тогда вы сможете не только дотянуться до звезды, но даже пошарить рукой в зазвездном пространстве.

Б.

Звезды очень далеки. Для нашей задачи, рассматривающей стереоэффект, они бесконечно далеки: лучи, соединяющие звезду с каждым из ваших глаз, в высшей степени параллельны.

Чтобы звезда казалась близкой, нужно, чтобы оси глаз, направленных на нее, пересекались под некоторым углом. Звезда будет тем ближе, чем больше этот угол. Так, если база ваших глаз 65 мм и вы хотите увидеть звезду на расстоянии 650 мм, то угол должен быть равен

α = arctg (65/650) ≈ 0,1 рад ≈ 5,7°.

Такую иллюзорную «звезду» можно синтезировать из двух реальных, угловое расстояние между которыми на небесной сфере равно 5,7°.

Продумайте методику эксперимента и попробуйте добиться успеха. Подскажем: в качестве «оптического прибора» вам очень поможет острие карандаша, который вы держите в вытянутой руке.

В.

Прежде всего, этот эксперимент, в отличие от описанного в конце предыдущей задачи, не утомляет зрения, так как в нем глаза должны не отворачиваться друг от друга, а поворачиваться навстречу друг другу, что является естественным движением глаз при рассматривании близких предметов в обыденной жизни.

Выберем две яркие звезды α и β с угловым расстоянием порядка 5° (желательно одинаковой яркости, причем в ближайшей окрестности не должно быть других ярких звезд). Повернем голову так, чтобы база глаз была параллельна прямой звезда – звезда (чтобы не утомлялась шея, следует выбрать горизонтально разнесенную пару звезд). Отодвинем острие карандаша сантиметров на 70 от глаз, установим его рядом со звездами и сосредоточимся на нем взглядом. При этом каждая звезда раздвоится вдоль базы.

Рис. 110. Построение мнимого изображения звезды

Если база и прямая αβ параллельны, то правая половинка левой звезды α'' совпадет с левой половинкой правой β' (рис. 110, а). Если параллельности нет, то будет картина, подобная рис. 110, б или в, и тогда голову надо слегка наклонить влево или вправо, до совпадения двух половинок. Если совпадения нет по горизонтали (рис. 110, г или д), то карандаш нужно немного приблизить или отодвинуть. Вы видите, данная задача обратна предыдущей: карандаш выполняет роль чернильной точки на внешнем (сейчас «внутреннем») стекле, две звезды – роль точек на внутреннем (сейчас «внешнем») стекле.

Сосредоточившись взглядом на острие карандаша, осторожно переключите внимание на «синтезированную» звезду. Вы обнаружите, что она уже не на небе, а висит рядом с карандашом! Причем не дальше него и не ближе. Звезда будет казаться слегка размытой, причины этого описаны в предыдущей задаче. Не спуская глаз с вашей звезды, отодвигайте карандаш – и вы обнаружите, что он окажется далеко по ту сторону звезды. Только не совмещайте карандаш со звездой по направлению: от этого она, естественно, гибнет, и приходится начинать сначала. Впрочем, при некотором навыке можно звезду на секунду-другую разрушить, а отодвинув карандаш, вновь зажечь на том же месте.

Если из-за отсутствия опыта синтез звезды вам не удается (не зная точно углового расстояния между звездами, вы не можете правильно выбрать положение карандаша), предлагаем более детальную, технологию настройки. Закройте левый глаз и подведите острие карандаша под левую звезду. Теперь, не отодвигая карандаша, закройте правый глаз, откройте левый и оцените положение карандаша относительно правой звезды. Если он находится точно под звездой, то все готово: открывайте оба глаза, сосредоточьтесь на карандаше и наслаждайтесь властью над звездами. Если же карандаш окажется правее, то отодвиньте его и повторите всю процедуру. Если левее – придвиньте карандаш к себе.

Кстати сказать, описанная методика пригодна для приближенного измерения угловых расстояний между звездами: добившись совпадения карандаша с обеими звездами, вы должны измерить расстояние от глаз до карандаша. Разделив длину базы на это расстояние, вы получаете значение искомого угла в радианах.

Удобными парами звезд для эксперимента (вечером в августе) являются α и γ, γ и δ, γ и ε Лебедя, любая сторона квадрата Пегаса и др. Эффектной парой являются α Лиры (Вега) и α Лебедя (Денеб). Из них получается «звезда», сидящая буквально на носу у наблюдателя – в 15 см от глаз (звезда Дега на рис. 110, е). Однако здесь приходится изрядно перекосить глаза: оси глаз должны пересекаться под углом порядка 25°. В принципе можно получить угол еще больше, но не стоит: зрение нужно беречь.

А говорят: они звезд с неба не хватают! Это не про нас. Мы можем снять с неба все, кроме Луны и Солнца: у них нет подходящей пары.

Оглавление

А.

Рис. 111. Построение муара

Возьмите лоскут какой-нибудь не очень плотной, просвечивающей, без рисунков ткани (ситец, шелк) и посмотрите на просвет (на фоне неба). Вы увидите мелкую решетку из взаимно перпендикулярных продольных и поперечных нитей, и ничего больше. Сложите теперь этот лоскут вдвое и снова посмотрите на просвет. Если вы ранее не обращали внимания на это зрелище, то вы будете поражены красивым узором из крупных темных и светлых полос, плавно и согласованно изогнутых и, что особенно интересно, сильно смещающихся и меняющих форму при самом незначительном смещении одной половины лоскута относительно другой. Откуда взялись эти узоры? В чем секрет этой красоты? Ведь ни та, ни другая половина лоскута не содержит никаких узоров, кроме мелкоструктурной решетки из нитей!

Б.

Если вы хотите самостоятельно разобраться в этом явлении, то поставьте следующий опыт. Начертите тушью на двух листах кальки по десятку параллельных полос. Ширину полос и просветов между ними сделайте одинаковой и равной, например, 2 мм. Такую комбинацию полос называют параллельным растром, а расстояние от полосы до полосы (сумма ширины полосы и просвета) – шагом растра. Наложите теперь кальки друг на друга так, чтобы полосы одного листа были чуть-чуть не параллельны полосам второго листа. Посмотрите кальки на просвет с большого расстояния, а затем – с малого. Меняйте угол пересечения полос и наблюдайте за поведением узора. Большая толщина линий позволит вам найти причину появления светлых и темных полос узора.

Рекомендуем сделать еще одну кальку с чуть-чуть большей шириной черных и светлых линий (например, 2,2 мм), а также кальку с линиями, слегка расходящимися веером, и, наконец, кальку с концентрическими окружностями.

В.

Рис. 112. Муар от параллельных растров

Из рис. 111, а и б, на которых наложены два параллельных растра с одинаковым шагом, видно, что, благодаря небольшой непараллельности, линии разных растров то налагаются друг на друга (направления 22' и 44' на рис. 111, б), то попадают друг другу в просветы (направления 11', 33', 55'). Там, где линии попадают в просветы, величина просветов, естественно, уменьшается, отчего вдоль соответствующих направлений 11', 33', 55' создаются широкие темные полосы узора. Вдоль же направлений 22', 44' и т.д. создаются, наоборот, светлые полосы узора. В простейшем случае, когда оба растра одинаковы, т.е. обладают одинаковым шагом h, и когда угол наклона между обоими растрами α очень мал, расстояние между светлыми полосами узора 22' и 44' равно r = h/tg α. Следовательно, при малых углах α расстояние между полосами узора r намного превосходит шаг растра h. Так, например, для α = 5° имеем

tg α = 0,0875, r = h/0,0875 ≈ 11,5 h.

По этой же причине полосы узора сдвигаются намного сильнее, чем линии растров. Так, например, при сдвиге наклонного растра вверх на h полосы узора сдвигаются влево на r, т.е. в 11,5 раза больше.

Явление возникновения узоров при наложении двух близких по наклону или шагу растров называют муар-эффектом, а сам узор – муаром.

Рассмотрим второй случай муар-эффекта, когда два растра налагаются друг на друга параллельно, но шаг растров неодинаков. На рис. 112 показаны растр A (линии 1, 2, 3, ...) с толщиной линий и просветов по 2 мм (т.е. шаг h = 4 мм) и растр B (1', 2', 3', ...) с шагом h' = 4,8 мм. При параллельном наложении линии растров с неравным шагом то совпадают (11', 76'), то попадают друг другу в просвет (33' 4, 98' 10), отчего и здесь возникают широкие темные и светлые полосы узора. Если первое совпадение произошло для линий 1 и 1', то следующее совпадение произойдет там, где оба растра разойдутся ровно на один шаг, т.е. там, где (n + 1)h = nh'. Решая это уравнение относительно n, имеем n = h/(h' – h). В нашем примере h = 4 мм и h' = 4,8 мм, т.е.

n = 4/(4,8 – 4) = 4/0,8 = 5.

Таким образом, следующее совпадение произойдет через n + 1 = 6 шагов растра A, или через n = 5 шагов растра B (совпадение линий 7 и 6'). При незначительном сдвиге растра B на один шаг h' происходит большое перемещение в обратную сторону широких полос узора на nh' = 5h'.

Рис. 113. Муар от искривленного растра

Если на параллельный растр накладывается слегка расходящийся, то картина муара оказывается весьма своеобразной (рис. 113): светлые и темные полосы муара красиво изгибаются, малейший поворот или сдвиг одного растра относительно другого приводит к большим изменениям узора. Узор «оживает», «переливается», «играет».

На рис. 114 на параллельный растр наложена серия концентрических окружностей. Узор муара отсутствует там, где окружности перпендикулярны к прямым (слева и справа), и отчетливо виден в тех областях, где окружности параллельны или почти параллельны прямым (вверху и внизу).

В случае наложения двух кусков одной и той же ткани, очевидно, имеют место все описанные выше эффекты: нити одного куска слегка непараллельны нитям другого; один кусок несколько больше растянут, чем другой, отчего шаги нитей в кусках неодинаковы; возможны веерообразные искажения растра нитей и т.д. Все это приводит к очень сложной игре узоров муара.

Рис. 114. Муар от концентрического растра

Интересно отметить, что если вы наложите два куска различных тканей с сильно различающимся шагом, то узор муара будет почти незаметен или же его полосы будут очень мелкими. Это следует и из приведенной выше формулы. Наоборот, чем меньше отличаются два растра по шагу, тем крупнее полосы узора. При точном совпадении шага двух растров ширина темной или светлой полосы становится бесконечно большой: либо все линии обоих растров строго совпадают, что соответствует светлой полосе; либо все линии одного растра попадают в просветы другого («переплетение» растров) – это дает потемнение на всем протяжении растра. Этот эффект можно с успехом использовать (и его используют) для проверки качества изготовления различных растров (наложение изготовленного растра на эталонный позволяет по картине муара быстро определить степень их одинаковости).

Явление муара используется, конечно, и в текстильной промышленности – для создания «переливов» в тканях. Это же явление довольно часто встречается и в окружающей нас обстановке. Вот пример: вы из окна поезда видите на холме огороженный забором участок земли, причем для вас передний и задний заборы совпадают на фоне неба. Поскольку доски ближайшего забора видны вам под бОльшим углом зрения, чем дальнего, то наблюдаемая вами картина совпадает с картиной рис. 112, передний забор соответствует растру B с более крупным шагом. В результате неравенства видимых (угловых) размеров шага обоих заборов вы видите в картине забора широкие светлые и темные полосы, быстро бегущие в ту сторону, куда идет ваш поезд. Другой пример муара – узор, создаваемый на экране телевизора параллельным растром строк и расходящимся растром черных линий испытательной таблицы, передаваемой для проверки качества регулировки телевизора.

Наконец, вернитесь к задаче с двумя будильниками. Неравенство их хода тождественно неравенству шага двух параллельных растров. В результате удары будильников то совпадают, то расходятся, чтобы снова совпасть, когда один «временной растр» опередит другой ровно на один шаг. Это тот же муар, только уже не в пространстве, а во времени. Оба они подчиняются одним и тем же закономерностям.

Оглавление

А.

В этой задаче вам предстоит объяснить результаты эксперимента, который вы сами же должны проделать. На рис. 115 показана решетка из вертикальных и горизонтальных линий. Возьмите кусок картона, проведите по нему лезвием бритвы и посмотрите на рисунок одним глазом через образовавшуюся в картоне тонкую щель. Щель держите рядом с глазом и направьте ее горизонтально. Расстояние от глаза до рисунка должно быть 30...40 см. Вы обнаружите, что в решетке сохранились только вертикальные линии, а горизонтальные исчезли. Куда они девались?

Рис. 115. Решетка

Б.

У вас не получился эксперимент? Вы видите всю решетку? Или, наоборот, ничего не видите? В первом случае у вас слишком широкая щель, во втором – слишком узкая. Надо немного повозиться: попробуйте слегка сгибать картон, чтобы ширина щели менялась (оптимум – порядка 1...10 мкм). Опыт лучше удается, если решетка сильно освещена, а обращенная к глазу сторона картона не освещена совсем.

Ну, вот, наконец, у вас получилось. Не правда ли, несколько странное зрелище? А теперь поверните щель на 90° и вы увидите, что исчезли вертикальные линии решетки и появились горизонтальные. Для того чтобы разобраться в увиденном, советуем посмотреть еще на кольцо (рис. 116, a).

При вертикальной щели вы увидите размытыми левую и правую стороны кольца, при горизонтальной – верхнюю и нижнюю (рис. 116, б и в). Повторите опыт при разных наклонах щели. Оказывается, что всегда размываются те участки кольца, которые идут вдоль щели, и сохраняются идущие поперек.

Если, однако, у вас все наоборот (сохранились линии, параллельные щели, и исчезли перпендикулярные), то это значит, что вы не соблюли условий (у вас слишком широкая щель, и вы слишком приблизились к решетке) и попали в задачу «Заглядывая в щель».

Рис. 116. Дифракция на кольцевой щели

В.

Объяснение этого явления следует искать в дифракции света. Известно, что свет, проходя рядом с препятствием, искривляет свой путь, огибая препятствие и заходя туда, где по законам прямолинейного распространения должна быть тень. Параллельный пучок лучей, падающий на экран с маленьким отверстием (рис. 117, а), после прохождения сквозь отверстие оказывается расходящимся. Чем меньше отверстие, тем сильнее расхождение лучей.

Для очень малого отверстия (порядка длины волны света, т.е. микрометр и менее) картина лучей, оказывается такой, как будто отверстие является точечным излучателем.

Рис. 117. Ход лучей при дифракции света на щели

При прохождении сквозь большое отверстие основная часть лучей проходит практически без искривления пути. И только те лучи, которые проходят сквозь отверстие рядом с его краями, искривляют свой путь (рис. 117, б). Прорезанная бритвой щель является отверстием, размеры которого очень малы в одном измерении и очень велики в другом. Поэтому световой пучок, проходящий сквозь щель, претерпевает сильную дифракцию в плоскости, перпендикулярной к щели, почти не подвергаясь дифракции во второй плоскости. Представление о поведении лучей после щели дает рис. 117, в.

Пусть щель параллельна горизонтальным линиям решетки. Тогда лучи, проходящие от решетки сквозь щель к глазу, рассыпаются веером в вертикальной плоскости, отчего каждая точка размывается по вертикали, а горизонтальная черная линия становится очень широкой (рис. 118, а). Поскольку размываются не только горизонтальные черные линии, но и белые просветы между ними, то горизонтальные линии оказываются широкими бледно-серыми полосами, едва заметными для глаза.

Рис. 118. Дифракционная картина на решетке

С вертикальной черной линией дело обстоит несколько иначе. Все ее точки, конечно, также размываются в вертикальном направлении и не размываются в горизонтальном. Но при этом их размытые изображения накладываются друг на друга вдоль самой вертикальной линии. В изображение вертикальной линии не замешивается свет от размытия белых точек (так как белые точки тоже размываются только по вертикали). Поэтому вертикальная линия остается черной и хорошо видна на сером фоне.

Если щель повернуть на 90°, то направление размытия тоже повернется. Теперь каждая точка (и белая, и черная) будет размываться в горизонтальном направлении (рис. 118, б), и от их смешения вертикальные черные линии станут широкими и бледными. Горизонтальные же линии, которые размываются каждая вдоль самой себя, останутся четкими.

Оглавление

А.

А теперь, согнув картон так, чтобы щель разошлась до 0,5...1 мм (или прорезав новую щель нужной ширины), приблизьтесь с нею к решетке на расстояние 5...7 см. И вы увидите обратное тому, что было в предыдущей задаче: при горизонтальном положении щели отчетливо будут видны горизонтальные линии, при вертикальном – вертикальные!

Видимо, это тоже можно объяснить. Но сделать это надо так, чтобы не пострадала наша дифракционная теория. Иначе вам придется заново объяснять предыдущий результат. А он ведь противоположен данному.

Б.

Щель шириной порядка 0,5 мм – очень широкая: в ней укладывается около 1000 световых волн. Следовательно, подавляющая часть лучей проходит прямолинейно, и дифракцией в этом опыте можно пренебречь. Она отступает на второй план перед каким-то новым явлением.

Поставьте дополнительный эксперимент: приблизьте глаз к решетке на 5...7 см без щели. Вы увидите размытыми и горизонтальные и вертикальные линии. Это и понятно: на таком малом расстоянии нормальный глаз не может фокусировать изображение на сетчатку, зрачок является слишком длиннофокусной линзой для этого.

Рис. 119. Щелевой шаблон

Введите теперь между глазом и решеткой щель – и качество изображения линий, параллельных щели, улучшится, а перпендикулярных к ней – останется плохим. Расширьте щель до 3...4 мм – и линии, параллельные щели, тоже размажутся, кроме тех двух, которые находятся на краях поля зрения. Это довольно странно. Ведь не меняет же щель фокусного расстояния зрачка! Правильно, не меняет. Но она ограничивает ширину светового пучка, входящего в зрачок. По существу, вы взамен своего круглого зрачка диаметром, например, D = 3 мм приобретаете новый, щелевой (как у кошки!) «зрачок» длиной D = 3 мм и шириной d = 0,5 мм (заштрихован на рис. 119, а).

В.

На рис. 120 точки А и Б являются следами двух прямых решетки, перпендикулярных к чертежу. Решетка настолько близка к зрачку Г, что тот не может фокусировать ее изображение на сетчатку. Он фокусирует А и Б в А' и Б'. Если щель В отсутствует, то в создании изображения А участвует весь зрачок. При этом линия решетки А на сетчатку проектируется в виде размытой полосы шириной 1–4. Если, однако, между зрачком и решеткой ввести узкую щель В, параллельную прямой А, то ширина полосы на сетчатке уменьшится до 2–3. Если d = 0,1 D, то размытость изображения прямой, параллельной щели, уменьшится примерно в 10 раз, отчего прямая будет видна вполне четкой. Прямые же, перпендикулярные к щели, останутся размытыми, так как длина щели больше диаметра зрачка D, и поэтому степень размытости вдоль щели по-прежнему определяется полным диаметром зрачка.

Рис. 120. Построение изображения в щелевом зрачке

Объяснить это можно с помощью рис. 119, б и в. Для прямых 6 и 7, находящихся в центре поля зрения, «зрачок» при широкой щели оказывается широким в обоих измерениях (рис. 119, б), отчего в центре размываются и горизонтальные, и вертикальные линии. Для крайних же прямых 5 и 8 «зрачок» (заштрихован на рис. 119, в) в вертикальном направлении оказывается узким, так как начинает ограничиваться сверху (или снизу) уже не границей щели, а границей зрачка (окружностью). Любопытно, что при этом «зрачок» сужается частично и в горизонтальном направлении: хорда D' меньше диаметра D. Это приводит к улучшению фокусировки концов вертикальных прямых и к выпуклости их размытых изображений.

На рис. 121, а показан вид сквозь сравнительно узкую щель, на рис. 121, б – сквозь широкую (d = 3...4 мм). При широкой щели размываются не только прямые 1, 2, 3, 4, перпендикулярные к щели, но и прямые 6, 7, ей параллельные. Прямые же 5 и 8, находящиеся у краев поля зрения, все еще достаточно четки.

Рис. 121. Вид сквозь щель: а) узкую; б) широкую

Итак, щель, ограничивая размеры зрачка, позволяет улучшить качество изображения в одном из измерений. Интересно, что люди с ослабленным зрением интуитивно используют это свойство щели: желая разглядеть что-либо получше, они прищуривают глаза.

Чтобы улучшить изображение в обоих измерениях, нужно использовать не щелевое, а «точечное» отверстие (менее 1 мм). Яркий свет вызывает естественное сужение зрачка, что автоматически улучшает четкость. При ярком солнечном освещении текст остается разборчивым даже на расстоянии 5...7 см от глаза.

Кстати, посмотрите еще на текст книги через щель, придавая ей различную ориентацию и наблюдая за изменением характера шрифта. Сделайте также двойную щель (например, протянув по оси симметрии щели гладкую черную нитку). Через двойную щель линии решетки, параллельные щели, кажутся двоящимися.

Фотолюбителям известно, что диафрагмирование объектива улучшает четкость даже тогда, когда объект съемки находится в пределах нормальных расстояний, допускающих фокусировку (при этом диафрагма ослабляет сферическую и другие виды аберрации, увеличивает глубину резко изображаемого пространства). Если же объект настолько близок к фотоаппарату, что фокусировка уже невозможна, то единственным способом получить приемлемую четкость является сильное диафрагмирование (с соответствующим увеличением выдержки или освещенности).

Оглавление

А.

А вот вам еще задача с решеткой, внешне даже похожая на предыдущую, но совсем иная.

На западной стороне горизонта видны далекие облака. Заходящее Солнце, которое вот-вот коснется горизонта, в последний раз (на сегодня, разумеется, – без этой оговорки фраза была бы слишком пессимистичной) пробилось своими лучами сквозь щель между облаками и осветило решетку – ограду сада, стоящую перед домом. Почему же в тени, отбрасываемой решеткой на стену, отсутствуют тени вертикальных прутьев, в то время как тени горизонтальных видны отчетливо? Толщина тех и других прутьев одинакова.

Рис. 122. Дом с решеткой и закат

Б.

В этой задаче, как и в предыдущих; налицо и решетка, и щель, и лучи. Однако привлекать для объяснения дифракцию не следует: размеры щели между облаками измеряются километрами, и, следовательно, щель никак не может быть названа узкой.

Для ответа на вопрос следовало бы понаблюдать это явление в действительности. Правда, для этого нужно удачное стечение обстоятельств: решетка, стена, закат, рваные облака, свободная минутка и энтузиазм. Для тех, кто не располагает каким-либо из этих элементов, мы приводим на рис. 122 дом с решеткой и ее тенями и закат с облаками.

Вам поможет тот факт, что в таких обстоятельствах никогда не удается увидеть явление, обратное описанному: никогда вы не увидите теней вертикальных прутьев без теней горизонтальных.

Рис. 123. Построение тени: а) горизонтального прута; б) вертикального прута

В.

Явление объясняется просто: проглянувшее в щель Солнце видно как источник света, протяженный в горизонтальном направлении и узкий в вертикальном. Чем протяженнее источник света, тем короче конус тени, тем шире полутень. То, что в данном случае источник света протяжен в горизонтальном направлении,

приводит к размытию тени в этом направлении. В вертикальном же направлении тень почти не размывается (ср. рис. 123, а и б). В результате тень горизонтального прута размывается вдоль самой себя, а тень вертикального – поперек. Первая остается поэтому совершенно четкой, а вторая превращается в широкую бледную полосу полутени.

Рис. 124. Сжатие щели

Задача кажется похожей на предыдущую: Солнце здесь очень напоминает ограниченный щелью зрачок. Но не поддавайтесь обману: это совершенно разные явления, уже хотя бы потому, что основой предыдущей задачи были фокусирующие свойства линзы-зрачка, а здесь линзы нет.

– Позвольте, – скажет внимательный читатель, – а почему же никогда не наблюдается обратное явление? Ведь ориентация щели между облаками чисто случайна! А если щель окажется вертикальной? Тогда размоются тени горизонтальных прутьев, а тени вертикальных будут четкими.

В том-то и дело, что у горизонта щели между далекими облаками нам всегда представляются горизонтальными. И это не случайно. Пусть «щель» между облаками на самом деле имеет форму круглого отверстия. Если бы она была в зените, то мы ее и увидели бы круглой. Если тот же горизонтальный круг будет у самого горизонта, то мы увидим его в виде сильно сжатого по вертикали эллипса (рис. 124), так как мы разглядываем этот круг почти с ребра (здесь мы опускаем детали, связанные с конечной толщиной облаков по вертикали). Вот почему все облака у горизонта и щели между ними всегда кажутся вытянутыми в горизонтальном направлении. А это и приводит к рассмотренному явлению.

Оглавление

Рис. 125. Дом и его отражение

А.

Применяя пословицу «На зеркало неча пенять, коли рожа крива», хотят сказать, что зеркало (разумеется, плоское) всегда говорит правду, показывает все как есть.

Сегодня дождливый день, и дом отражается в мокром асфальте (рис. 125). Почему же в изображении дома все окна светлые, хотя в самом доме окна нижних этажей темные?

Б.

Почему в самом доме окна нижних этажей темные, а верхних – светлые? Как легко заметить, наблюдатель находится в двухэтажном доме на втором этаже (окна второго этажа обоих корпусов ему видны на одном уровне). Следовательно, в окнах двух верхних этажей для него видно отраженное небо, в окнах нижних этажей – земля и строения. Постройте ход лучей (вид сбоку) и определите, что отражается к наблюдателю от асфальта.

Рис. 126. Ход лучей при отражении

В.

На рис. 126 показан ход лучей к наблюдателю O в системе двух взаимно перпендикулярных зеркал (окна и асфальта). Глядя непосредственно на дом, наблюдатель O видит в нижнем окне N отражение точки M, т.е. темную землю, а в верхнем окне E – светлое небо (D). Глядя на мокрый асфальт, наблюдатель O во всех окнах видит небо: он видит то, что видел бы в окнах наблюдатель O' (являющийся зеркальным изображением в асфальте наблюдателя O), если бы не было асфальта и земли. Так, например, в отражении окна B наблюдатель O видит свет неба, пришедший к нему по ломаной ABCO.

Пословица всегда говорила об одном зеркале и никогда не претендовала на описание системы двух зеркал.

Оглавление

А.

Взгляните на звездное небо. Каждая звезда вам приятельски подмигивает, то увеличивая, то уменьшая световой поток, посылаемый в ваши глаза. Это, конечно, можно объяснить. Вы вспоминаете даже, что это вам уже кто-то объяснял: то ли ваш учитель астрономии, то ли одна из книг Перельмана.

Выберите яркую, сравнительно одинокую звезду – Капеллу, Арктур (только не планету!). Станьте так, чтобы вершина какого-нибудь столба, шеста оказалась рядом со звездой, находясь от вас на расстоянии 2...10 м. Если такого шеста нет, его придется организовать. Сосредоточьтесь взглядом на вершине, при этом звезда раздвоится. Причина раздвоения понятна: оси ваших глаз сейчас пересекаются не на звезде, а на вершине столба (если вы сосредоточитесь на звезде, то раздвоится столб). Похожие вещи вы встречали в задаче «С неба звездочку достану».

Итак, все готово? Вы сосредоточили зрение на вершине столба, а внимание – на раздвоенной звезде.

Объясните теперь, почему обе «половинки» звезды мигают не в такт? Почему одному вашему глазу звезда подмигивает иначе, чем другому?

Б.

Вам придется сначала вспомнить, почему звезды мигают вообще. Кстати, в одной из предыдущих задач этой книги есть, почти все, что вам может понадобиться сейчас. Вспомнили? Правильно, это задача «Тайны оконного стекла». Прочитайте ее внимательно еще раз.

В.

Наша атмосфера неоднородна. В ней всегда имеются уплотнения и разрежения. В уплотнениях показатель преломления выше, в разрежениях – ниже. Эти неоднородности перемещаются ветром, поэтому лучи звезды, попадающие в наш глаз, проходят то через собирающую «линзу», отчего яркость звезды возрастает,, то через рассеивающую. Эти «линзы» расположены хаотично, поэтому мерцание звезды беспорядочно. Беспорядок увеличивается оттого, что струи нагретого и холодного воздуха непрерывно перемешиваются, а также потому, что эти «линзы» имеются не на одной какой-либо высоте, а во всей толще атмосферы.

Плотность воздуха в неоднородностях ничтожно мало отличается от средней, тем не менее, мерцание оказывается довольно интенсивным. Это легко понять, если вспомнить, что расстояние между «линзой» и глазом измеряется километрами. Даже слабая, очень длиннофокусная линза на таком расстоянии может заметно сконцентрировать (или рассеять) лучи.

Если размер «линзы» намного больше расстояния между глазами (6...7 см), то в первом приближении можно считать, что оба глаза одновременно будут попадать в сконцентрированный (или рассеянный) световой поток, отчего мерцание звезды для обоих глаз будет приблизительно одинаковым, обе половинки звезды будут подмигивать дружно, «в ногу». Если же «линзы» мелкие, менее 5 см, то может получиться так, что один глаз видит яркую «половинку» звезды тогда, когда второй – слабую, и наоборот. Как правило, на разных высотах одновременно существуют «линзы» самых разнообразных размеров, поэтому в мерцании звезды одновременно присутствуют и «дружная» (одинаковая для обоих глаз), и «недружная» составляющие. Таково, в общих чертах, объяснение.

Представим, что все «линзы» мелкие и находятся в тонком слое на одной высоте, не меняются во времени, но перемещаются в некотором направлении со скоростью ветра. Или, что то же самое, представим, что на этой высоте движется горизонтально огромный лист стекла (с тем, однако, отличием, что на стекле вместо полосатых неоднородностей – пятнистые). Пусть база глаз (прямая, соединяющая оба зрачка) ориентирована параллельно вектору ветра. Тогда мерцание звезды для одного глаза (кривая α на рис. 127) будет в точности копировать мерцание для другого (кривая б), только со сдвигом во времени Δt, который равен времени перехода «линзы» от одного глаза к другому. Следовательно, Δt – l/ν, где l – база глаз, ν – скорость ветра.

Рис. 127. Изменении яркости звезд во времени

Записав эти световые сигналы и измерив запаздывание Δt, мы можем определить скорость ветра на той высоте, на которой находятся неоднородности!

Длительность же каждого из мерцаний связана (сложным образом) с размером «линз» и их высотой и позволяет получить о них определенное представление.

Не зная направления ветра, мы не можем ориентировать базу глаз параллельно ему. Если база окажется случайно под большим углом к направлению ветра (например, 90°), то «линзы», проходящие перед одним глазом, не будут проходить перед другим. Тогда между кривыми для одного и другого глаза не будет никакой связи: кривая в не повторяет кривую а, ведет себя совершенно, независимо. В этом случае измерения скорости невозможны. Но именно тот факт, что между кривыми нет связи (нет, как говорят, корреляции), позволяет установить, что база глаз (или двух фотоэлементов) не параллельна ветру. Будем поворачивать базу до тех пор, пока корреляция между кривыми не станет максимальной. Этим самым мы повернем ее параллельно ветру и, следовательно, определим направление ветра!

Разумеется, степень связи между кривыми очень трудно оценить на глаз. Но существуют специальные приборы – коррелометры, которые делают это автоматически наилучшим образом.

Если «линзы» имеют большие размеры, то корреляция будет иметь место даже при базе, перпендикулярной к ветру. Тогда нужно увеличить базу так, чтобы она превзошла размер «линз». Глаза раздвинуть непосредственно, конечно, нельзя. Но существуют приборы (стереотрубы, стереодальномеры), которые позволяют это сделать косвенно: расстояние между окулярами равно базе глаз, а между объективами – существенно больше. Последнее и будет новой базой. Нечего и говорить, что расстояние между двумя фотоэлементами, регистрирующими две кривые, можно взять любым.

Переходя от движущегося «стеклянного листа» к реальной атмосфере, мы с грустью обнаружим, что все осложняется и запутывается настолько, что даже коррелометрам приходится туго. Тем не менее, они все-таки дают много ценной информации о размерах неоднородностей, о скорости и направлении их перемещения.

Планета, в отличие от звезды, не мерцает (точнее, почти не мерцает), потому что системы теневых и светлых пятен, падающих на поверхность Земли (и на наблюдателя), создаваемые разными точками планеты, не совпадают. В результате светлые участки от одних точек налагаются на темные от других, и в среднем получается почти постоянная освещенность. Звезда же так далека, что для земного наблюдателя всегда остается единственной точкой.

Оглавление

А.

В некоторых оптических приборах требуется, чтобы световой сигнал на пути от источника A к приемнику B запоздал на время большее, чем время пробега по прямой AB. Этого можно добиться, если послать луч из A в B не по прямой, а по ломаной. На рис. 128 движение луча по весьма длинной ломаной обеспечивается за счет многократного отражения от двух параллельных зеркал CD и ΕF. Как изменится длина ломаной 1–2–3–...–21, если расстояние между зеркалами увеличить вдвое?

Рис. 128. Ход лучей при многократном отражении

Б.

На первый взгляд, длина ломаной (и запаздывание светового сигнала) возрастет вдвое, потому что длина каждого прямолинейного отрезка ломаной удвоится. На самом же деле... впрочем, вы лучше сами. Покажите, как сделать, чтобы в этом устройстве запаздывание действительно увеличилось вдвое.

В.

Пока зеркало находилось в положении CD (пунктир на рис. 129, а), траектория луча между зеркалами была 1234567... Когда расстояние удвоилось (C'D'), траектория стала 123'4567'... Появившиеся новые участки пути 23'4, 67'8,°... удлиняют общий путь ровно на столько, на сколько он укоротился из-за исчезновения симметричных им старых 234, 678, ... В самом деле, старый путь 234 является как бы зеркальным изображением нового пути 23'4 (в «исчезнувшем» зеркале CD), и в случае плоского зеркала эти пути равны. Таким образом, протяженность пути между зеркалами не изменилась.

Рис. 129. Изменение траектории лучей

Что же изменилось? Уменьшилось число отражений: теперь в точках 2, 4, 6, 8, ... луч не отражается. Протяженность каждого прямолинейного отрезка Δ увеличилась вдвое, но число таких отрезков уменьшилось тоже вдвое.

Интересно, что ту же длину пути мы получили бы с помощью единственного зеркальца, расположенного на пересечении прямых EK' и FK" (рис. 129), но габариты установки от этого резко бы возросли.

Для удлинения пути нужно уменьшать угол падения луча на зеркало (сравните α₁ и α₂ на рис. 129, а и б). При этом, если углы α₁ и α₂ малы, то длины прямолинейных отрезков почти не уменьшаются, но число этих отрезков возрастает. Если α₂ = α₁/2, то полный путь почти удваивается (уточнить этот результат вы можете сами).

Но есть ли какая-нибудь польза от раздвигания зеркал? Или только вред, выражающийся в увеличении габаритов установки? Есть, только в ином смысле. Давайте вычислим, какой процент от световой энергии, вошедшей в систему зеркал, достигнет выхода. Коэффициент отражения любого зеркала в световом диапазоне меньше единицы. У лучшего из отражающих металлов – серебра – он равен 0,94 (при λ = 600 нм, т.е. при желтом свете). После первого отражения останется 0,94 от первичного светового потока, после второго – 0,94 от 0,94, т.е. (0,94)², после n-го останется (0,94)ⁿ. Легко подсчитать (с помощью логарифмирования), что после 50 отражений останется 0,045, после ста – 0,002, после двухсот – 0,000004, после четырехсот отражений – 0,000000000016 от первичного светового потока.

Таким образом, слишком большое число отражений может настолько уменьшить выходной световой поток, что его не смогут обнаружить самые чувствительные приборы, так как он будет намного меньше посторонней засветки, даже ночью. Раздвижение зеркал, не увеличивая полной длины пути, уменьшает число отражений, отчего выходной поток возрастает. Если зеркала давали 400 отражений, то, раздвигая их вдвое, мы уменьшаем число отражений вдвое и этим самым увеличиваем выходной световой поток в 250 000 раз!

Мы рассмотрели пока только частный случай, когда зеркала раздвигаются ровно вдвое. На этом задачу можно было бы считать исчерпанной.

Однако интересно посмотреть, что будет, если зеркала раздвинуть чуть-чуть.

На рис. 128 показано нечетное число, отражений (21). Будем раздвигать постепенно зеркала (поднимать CD вверх) и следить за поведением «гармошки» луча. Она растягивается. Точка 1 остается на месте, все остальные сползают вправо, тем быстрее, чем выше номер. Точка 21 сползает в 20 раз быстрее, чем точка 2. Очень скоро точка 21 соскользнет с зеркала (число отражений станет четным), и луч 21–B пойдет не вверх, а вниз, как продолжение луча 20–21. Затем соскользнет с верхнего зеркала точка 20, число отражений снова станет нечетным, и выходной луч опять пойдет вверх, и т.д.

А теперь представьте, что вы раздвигаете зеркала так мало, что число отражений при этом не меняется. Это условие соблюдается, если при расстоянии между зеркалами d и наличии n + 1 отражений вы раздвигаете зеркала не более чем на d/n (т.е. при 21 отражении – не более чем на d/20). Вот тут как раз и проявляется то свойство, которое мы интуитивно ощущали вначале: если число отражений не меняется, то полный путь луча возрастает пропорционально расстоянию между зеркалами. Причем если новое расстояние стало d + Δ, то новый путь луча стал n(d + Δ), т.е. возрос на nΔ. Если пластины раздвигаются со скоростью 1 см/с, то путь луча удлиняется в n раз быстрее. Мы получили своеобразный усилитель скорости.

Этому усилителю скорости можно найти интересное применение. Существует гипотеза, что африканский и европейский континенты расходятся, т.е. Гибралтарский пролив расширяется. Как это проверить? С помощью эффекта Доплера (см. задачи «Волны и поплавки», «Письма с дороги»). Надо послать световой луч определенной частоты с африканского берега на зеркало, расположенное на европейском берегу, и, приняв отраженный сигнал, сравнить его с посылаемым. Если зеркало и приемник света взаимно неподвижны, то частота принятого сигнала в точности будет равна частоте посылаемого. Но если европейское зеркало действительно удаляется от африканских источника и приемника света, то принятая частота будет ниже посылаемой на величину доплеровской поправки

FD = f₀(2v/c) = 2v/λ,

и в специальном смесителе прямого и отраженного лучей можно выделить разностную частоту. Происхождение двойки в числителе формулы объяснено в задаче «Письма с дороги»: частота сдвигается при прохождении сигнала и к зеркалу, и обратно.

Однако если континенты и расходятся, то так медленно, что доплеровский сдвиг будет мал по сравнению с шириной спектральной линии и поэтому не будет обнаружен. Спектральная линия излучения лазера гораздо тоньше спектральных линий обычных источников света, но и она для этого эксперимента может оказаться слишком широкой.

Вы уже знаете, что надо сделать. Надо взять два зеркала и разместить их по обе стороны Гибралтара параллельно друг другу. Если луч лазера претерпит в системе зеркал n отражений, т.е. пересечет Гибралтар n + 1 раз, то в приведенной выше формуле вместо двойки будет стоять число n + 1, так как каждый из n + 1 путей удлиняется со скоростью v, с которой расходятся континенты, и в результате полный путь будет удлиняться со скоростью (n + 1)v.

Создав 999 отражений (число должно быть нечетным, иначе луч не вернется на тот континент, с которого он был отправлен, и его частоту нельзя будет сравнить с посылаемой), мы усилим доплеровский сдвиг в тысячу раз и, возможно, обнаружим разбегание континентов.

Если же не обнаружим, то это еще не значит, что континенты взаимно неподвижны. Это значит только, что скорость движения, если она есть, меньше ожидаемой. Тогда нужно создать не 1000, а 10 000 или еще больше отражений.

Отметим, что, несмотря на такое большое число отражений, в случае лазера можно еще надеяться, что сигнал не будет потерян из-за поглощения, так как, во-первых, в луче лазера можно сконцентрировать весьма большую энергию (а чтобы зеркала не расплавились, их можно охлаждать) и, во-вторых, поскольку спектральная линия лазера очень тонкая, то ее можно отфильтровать от посторонней засветки с помощью очень узкополосных светофильтров (или радиофильтров).

Кроме того, и отражающие свойства зеркал можно улучшить. Нашли, что зеркало с многослойным диэлектрическим покрытием может дать коэффициент отражения ρ гораздо ближе к единице, чем серебряное. Удалось получить ρ = 0,995 с помощью тридцатислойного покрытия, у которого чередуются слои с малым и большим показателями преломления, причем толщина каждого слоя равна четверти волны (т.е. составляет доли микрометра). Коэффициент поглощения такого зеркала (ε = 1 – ρ = 0,005) в 12 раз меньше, чем у серебра. А это позволяет увеличить число отражений приблизительно в 12 раз*.

Измерить столь малый коэффициент поглощения нелегко. Интересно, однако, что для повышения точности измерений можно использовать нашу систему зеркал. Она представляет собой усилитель коэффициента поглощения: чем больше отражений, тем сильнее результирующее поглощение. Зная число отражений и результирующее поглощение, мы можем вычислить поглощение, сопровождающее единичный акт отражения.

Особенно интересно это свойство, если рассматривать коэффициент отражения ρ не вообще, а как функцию частоты ρ( f ). Пусть некоторое металлическое зеркало освещается светом, интенсивность которого на всех частотах одинакова (горизонтальная прямая 0 на рис. 130). Металл отражает на разных частотах по-разному.

Рис. 130. Зависимость коэффициента отражения от длины волны

Например, кривая 1 показывает, что некоторый металл хорошо отражает частоту f₂, несколько хуже – f₁ и еще хуже – f₃. Равномерный спектр света 0 после первого отражения будет уже описываться кривой 1, т.е. будет неравномерным. После второго отражения – кривой 2, полученной умножением всех ординат кривой 1 на самих себя:

ρ₂( f ) = ρ₁²( f ).

После четвертого отражения

ρ₄( f ) = (ρ₂( f ))² = ρ₁⁴( f ),

после восьмого ρ₈( f ) = ρ₁⁸( f ) и т.д. Более слабые спектральные линии f₁ и f₃ ослабевают быстрее, и после 64 отражений остается практически лишь частота f₂ – спектральная линия, на которой коэффициент поглощения минимален. Равномерный спектр 0 (белый свет) превращается в монохроматический (одноцветный) с цветом f₂.

С помощью этого явления в XIX веке определяли «истинный цвет металла». При этом золото оказывалось красным, серебро – оранжевым, медь – пурпурной. Вряд ли термин «истинный цвет» можно считать правильным. После какого числа отражений цвет можно считать «истинным»? После ста? Но после тысячи он еще «истиннее»! А самый «истинный» – после бесконечного числа отражений – черный. По-видимому, разумнее цветом металла считать тот, который получается после первого отражения при облучении белым светом 0, т.е. кривую 1. Именно она правильно представляет интенсивность отражения на каждой из частот. Многократные же отражения позволяют лишь уточнить значение ρ для тех частот, где оно близко к 1.

Насколько известно автору, эксперимент с зеркалами и Гибралтаром еще не поставлен. Но зато лазер и зеркало были использованы советскими учеными (Богородский В. Лазер исследует ледники. – Правда, 23 октября 1971 г.) в Антарктиде для изучения движения льдов. Поскольку скорость ледников значительно больше, чем предполагаемая скорость расширения Гибралтара, то удалось обойтись единственным зеркалом. Движение ледника оказалось весьма неравномерным. Максимальная скорость – 60 мкм/с, типичная – 0,1 мкм/с. Чаще всего он стоит неподвижно несколько часов (временами вибрируя).

* Одним из наиболее поразительных открытий современной физики является то, что мощный световой луч сам может создать для себя зеркало с коэффициентом отражения, очень близким к единице (см., например: Аскарьян Г. Новые физические эффекты. Наука и жизнь, 1967, № 10). Сверхмощный луч лазера при определенных условиях, создавая стоячие световые волны, перераспределяет плотность и давление внутри среды от волны к волне таким образом, что создается многослойное зеркало с правильным чередованием слоев с различными показателями преломления (как упомянуто выше). При этом возникает также ультразвук, имеющий длину волны одного порядка с длиной волны лазера (и с частотой ниже частоты лазера во столько раз, во сколько скорость звука в данной среде ниже скорости света). В принципе возможно и обратное: создание зеркала для лазера с помощью стоячих волн от специального генератора ультразвука.

Оглавление

А.

В этой задаче вам предстоит проверить себя на вполне серьезной научной работе.

Допустим, что вы взялись за постановку того опыта, который описан в конце предыдущей задачи. Длина каждого зеркала 100 м, требуется получить около 1000 отражений. Вам нужно установить зеркало на европейском берегу Гибралтара строго параллельно зеркалу африканского берега. Мобилизовав все свое умение, вы установили его так, что непараллельность зеркал, если она и есть, составляет не более 0,0001°. Не правда ли, такой точностью можно гордиться!

Устроит ли вас эта точность? Какие другие трудности вам удастся предвидеть?

Б.

Обычно на вопрос о точности отвечают так. Мы знаем, что если зеркало повернуть на угол γ, то отраженный луч повернется на 2γ. Это легко доказать.

Рис. 131. Ход лучей в параллельных зеркалах

Если зеркало CD (рис. 131) параллельно зеркалу AB, то все углы падения и углы отражения одинаковы и равны α. Если зеркало CD повернуть на угол γ (в положение CD'), то угол падения на него в точке F уменьшится на угол γ (потому что перпендикуляр FE повернется на угол γ, в положение FE'). Но если угол падения KFE' стал равен α – γ, то угол отражения E'FL тоже будет α – γ, отчего угол EFL станет α – 2γ. Таков будет угол падения в точке L.

Итак, после отражений в K и F луч повернулся на 2γ, в L и M – еще на 2γ, и т.д. После тысячи отражений он повернется на 1000γ относительно того направления, под которым он вышел бы из системы зеркал, если бы оба зеркала были строго параллельны.

В нашем случае 1000γ = 0,1°. Этот угол настолько мал, что не повлияет заметно на длины отрезков KF, FL, LM и т.д. Эти длины по-прежнему можно будет считать равными d. Следовательно, такая точность нас устраивает. Просто приемник света придется немного передвинуть вправо или влево.

Рассуждения, в общем, правильные, но останавливаться рано. Внимательно учтя все обстоятельства, мы обнаружим, что из-за столь ничтожной погрешности луч вообще не появится на выходе системы зеркал (т.е. справа), а вернется обратно налево. Напомним, что мы еще не использовали длину зеркал, а также ширину Гибралтара R, которая равна 14 км.

В.

Рассчитаем первоначальный угол падения α. Не зная точного значения и знака погрешности установки γ (если бы мы знали, то могли бы устранить; мы знаем только, что она не больше 0,0001°), расчет будем вести, исходя из гипотезы, что погрешности нет. На стометровой системе зеркал 1000 отражений расположатся через 10 см. При расстоянии между зеркалами 14 000 м угол α будет

α = 10/1 400 000 рад ≈ 0,00041°.

Если погрешность равна 0,0001°, то после каждого отражения из угла падения будет вычитаться 0,0001°. В результате после пятого отражения угол падения будет

α – 5γ = 0,00041 – 0,0005 = – 0,00009°,

т.е. будет уже отрицательным, а это значит, что луч, перестав передвигаться в системе зеркал вправо, повернет влево. Двигаясь влево, он совершит еще 4...5 отражений и выйдет из системы зеркал. Таким образом, всего будет около десятка отражений вместо требуемой тысячи. Система зеркал как бы выталкивает луч обратно (рис. 132). Чем меньше погрешность γ, тем глубже проникнет в систему луч.

Рис. 132. Изменение хода лучей при перемещении зеркал

Если знак погрешности противоположный (CD'' на рис. 131), то луч пройдет всю систему зеркал, но теперь после каждого отражения угол падения будет возрастать на γ, отчего луч пробежит на выход слишком быстро, число отражений будет опять недостаточным.

Это явление можно использовать для других целей: для измерения очень малых углов. Система почти параллельных зеркал работает как усилитель угла поворота. Пока зеркала строго параллельны, луч выходит из системы под тем же углом, под которым он вошел в нее, независимо от числа отражений n. Стоит, однако, повернуть одно из зеркал на ничтожно малый угол γ, как выходной луч повернется на угол nγ, который мы можем измерить в n раз точнее (при той же абсолютной погрешности), чем непосредственно угол γ. Мы получаем своеобразный «угловой микроскоп», увеличивающий, в отличие от обычного микроскопа, не линейные размеры, а углы. Правда, для того чтобы этот «микроскоп» был точным, зеркала должны быть идеально плоскими (иначе угол γ будет переменным вдоль зеркала и вместо nγ мы будем иметь γ1 + γ2 + γ3 +... γn).

Однако мы отвлеклись от нашей задачи. Как же все-таки получить тысячу отражений? В предыдущем примере луч повернул обратно после пятого отражения, потому что угол α = 0,00041° был полностью исчерпан за пять шагов с помощью угла γ = 0,0001°. А если взять α = 0,1°= 1000γ? Тогда этот угол будет исчерпан (и луч повернет обратно) только после 1000 отражений! Или взять α = 0,05°? Тогда луч повернет назад после 500 отражений и, претерпев на обратном пути еще 500, выйдет из системы там же, где вошел, имея на своем трудовом счету 1000 отражений.

Рассуждения интересные, однако, они не учитывают конечной длины зеркал. Подсчитаем, какое максимальное число отражений возможно в нашей системе. Максимум будет, очевидно, тогда, когда будет использована вся длина зеркала, причем «гармошка» луча будет наиболее сжатой. Надо послать слева в систему луч под таким углом, чтобы он вышел справа как раз в тот момент, когда он уже готов повернуть обратно, т.е. когда он перпендикулярен к зеркалу AB (рис. 133). Удобнее, однако, решать задачу с конца, рассматривая ход луча справа налево. Это, очевидно, одно и то же, так как если луч повернуть на 180°, то он в точности повторит путь между зеркалами в обратном порядке.

Рис. 133. Изменение хода лучей в непараллельных зеркалах

Итак, введем в систему справа луч 01, перпендикулярный к зеркалу AB и падающий на зеркало CD под углом γ = 0,0001° (педантичный читатель найдет, что еще лучше было бы луч 01 слегка наклонить вправо, на угол чуть-чуть меньше γ, однако мы не будем мелочны, так как от этого число отражений в лучшем случае возрастет только на единицу). Найдем расположение точек 1', 2, 3', 4, 5', ... вдоль зеркала AB (1', 3', 5', ... – проекции точек 1, 3, 5, ... на зеркало AB). Приняв точку 1' за начало отсчета, имеем

l₁ = d tg 2γ ≈ d 2γ, l₂ = d tg 2γ ≈ d 2γ, l₃ = d tg 4γ ≈ d 4γ,

l₄ = d tg 4γ ≈ d 4γ, l₅ = d tg 6γ ≈ d 6γ, ...

Крайняя правая часть формул представляет собой естественное упрощение, так как при столь малом γ с высокой степенью точности tg γ = γ и даже tg 1000γ ≈ 1000γ (здесь γ в радианах). Предполагается, что расстояние между зеркалами везде равно d, несмотря на их непараллельность. При большом d (Гибралтар!) и столь малой непараллельности такое предположение допустимо.

Будем складывать l₁, l₂, l₃,..., пока их сумма не сравняется при некотором l_i с длиной зеркала L = 100 м (очевидно, i будет номером последнего отражения, т.е. максимальным возможным числом отражений; на рис. 133 i = 1₁):

L = d(2γ + 2γ + 4γ + 4γ + 6γ + 6γ + ... iγ + iγ).

Отделяя от каждого нечетного слагаемого по одному γ, т.е. отделив всего iγ/2, мы получаем арифметическую прогрессию (плюс iγ/2):

L = d[γ + 2γ + 3γ + ... +(i – 1)γ + iγ + (iγ/2)]
= d(i[{γ + iγ}/2]+[iγ]/2) = dγ([i2/2]+i).

При большом i вторым слагаемым можно пренебречь по сравнению с первым, и тогда

i ≈ [2L/γd]^1/2= [(2·100)/{0,0001/57}·14000] ≈ 90,

что намного меньше нужной нам тысячи.

Угол α, под которым луч выходит из системы,

α = iγ = 0,009°.

Используя ход луча туда и обратно, число отражений можно удвоить (180), но и этого нам мало.

Итак, та фантастически высокая точность, которую каким-то чудом вы получили при установке зеркал, оказывается недостаточной. Особенно ощутимой станет нехватка точности, если вам выдадут вместо стометровых зеркал метровые.

К счастью, есть способ повысить точность. Он опирается не на измерение угла γ, а на непосредственный подсчет числа полученных отражений. Представьте, что лазер посылает в систему непараллельных зеркал короткий световой импульс (длительностью в 1 мкс, например). Отразившись неизвестное число раз, импульс возвращается. Число отражений можно определить по времени запаздывания отраженного импульса по отношению к посланному (радиолокация или, точнее, светолокация). Свет проходит в секунду 300 000 км. Если отраженный импульс запоздает, например, на 0,0007 с, то это значит, что он прошел 210 км, т.е. пересек Гибралтар 15 раз. Осторожно доворачивая зеркало и следя за возрастающим запаздыванием сигнала, мы можем добиться нужного нам числа отражений.

Чтобы вы не думали, что теперь уже поставить эксперимент ничего не стоит, перечислим хотя бы часть еще не решенных проблем.

1. До сих пор предполагались идеально плоские зеркала. Но идеального ничего нет. Как исправлять искривления? Может быть, следя за густотой расположения отражений вдоль зеркала и надавливая легонько в нужных местах на обратную сторону зеркала?

2. Наше стометровое зеркало обладает огромной парусностью. Ветер будет его прогибать (и этим портить всю картину), а может и вообще унести. Нужен штиль.

3. Прозрачность атмосферы должна быть такова, чтобы на пути в 14 км поглощалось намного меньше (например 0,1%), чем при одиночном отражении (6% в предыдущей задаче), иначе это сильно ограничит число отражений. Бывает ли такое состояние атмосферы в Гибралтаре?

4. Если в начале пути луча на зеркале окажется пылинка П₁, от которой свет рассеивается в разные стороны (рис. 134), то часть отраженного ею света попадет на выход напрямик (по пути П₁П₂). А это может обернуться катастрофой для всей идеи измерения скорости расширения Гибралтара.
   

   Рис. 134. Рассеяние луча на пыли

   В самом деле, если после 100 отражений от сигнала остается 0,002, то после 1000 – только 0,00210 ≈ 10 – 27. Если от пылинки П₁ напрямик на пылинку П₂, находящуюся в воздухе, придет хотя бы одна миллиардная часть энергии, поступившей по прямой 2П₁, и от пылинки П₂ в сторону приемника B отразится одна миллиардная от этой миллиардной, то это будет все-таки 10...18, т.е. в миллиард раз больше, чем полезный сигнал, претерпевший нужные нам 1000 отражений. Мы можем ошибочно принять этот паразитный сигнал за полезный. Однако его доплеровский сдвиг имеет слабую связь с перемещением континентов: до пылинки было только два полезных отражения.
   Если пылинка (или телеграфный столб) П₂ неподвижна, то эффект Доплера (и измеренная скорость) будет в сотни раз меньше того, который есть в тысячекратно отраженном луче. А если пылинка П₂ сама движется, то, поскольку ее скорость наверняка в десятки тысяч раз выше скорости разбегания континентов, результаты измерений могут оказаться самыми неожиданными.
   Можно предложить два способа решения проблемы пыли. Первый – перед началом эксперимента обильно полить Африку и Европу из шланга. Второй – поставить между зеркалами экран MΝ (пунктир на рис. 134), задерживающий рассеянный свет и не мешающий прохождению ломаного отраженного луча. Положение экрана в идеальной системе легко рассчитать, в реальной системе его нужно подбирать экспериментально и регулировать на протяжении всего эксперимента. Если вспомнить, что длина экрана более 10 км, то трудно решить, какой из двух способов проще. Видимо, проще все-таки третий, который предложат читатели.

5. До сих пор мы рассматривали идеальный бесконечно тонкий луч. На практике всякий «луч» представляет собой пучок света конечной толщины, причем по мере удаления от источника он, пройдя все фокусирующие устройства, в конце концов неизбежно расширяется. Может оказаться, что, начиная с некоторого номера отражения, соседние пятна света на зеркале начнут перекрываться. В результате в приемник поступит не чистый сигнал от последнего отражения, а смесь нескольких соседних отражений, имеющих разные доплеровские сдвиги. К счастью, лазер дает очень тонкий луч света, а с помощью специальной оптики его можно сделать еще тоньше.

6. Проблема постоянства (стабильности) частоты излучения лазера. Допустим, что Европа и Африка взаимно неподвижны, но частота лазера медленно меняется (причем об этом мы не знаем). Тогда к моменту, когда световой сигнал с частотой f₁, пробежав между зеркалами, придет в точку приема, туда же напрямик от лазера поступит сигнал с уже изменившейся частотой f₂ = f₁ + Δf. Смешав эти два колебания (для выделения разностной частоты), мы получим f₂ – f₁ = Δf. Не зная, что частота лазера меняется, мы примем эту разностную частоту за доплеровскую, т.е. сделаем ложный вывод, что континенты движутся. Очевидно, чтобы эксперимент был успешным, нужно, чтобы паразитный уход частоты Δf за время пробега луча был значительно меньше ожидаемого доплеровского сдвига. Ожидается, что континенты расходятся со скоростью
   

   ν = 3 см/год ≈ 0,001 мкм/с.

   При 999 отражениях скорость удлинения полного пути луча будет 1000ν = 1 мкм/с, что при λ = 0,5 мкм дает сдвиг частоты на
   

   FD = 1000ν/λ = 1/0,5 = 2 Гц.

   Время пробега луча
   

   t = 1000R/c = 1000∙14/300 000 ≈ 0,05 с.

   За это время частота лазера (если мы хотим хотя бы обнаружить движение) не имеет права уйти более чем на 2 Гц, т.е. за секунду – не более 40 Гц. А если мы хотим не только обнаружить, но и измерить FD, хотя бы с точностью до 1%, то уход частоты должен быть еще в 100 раз меньше. Такая стабильность лазеров еще не достигнута: не так-то просто выдерживать с точностью до долей герца невообразимо высокую частоту лазера 6∙10¹⁴ Гц!

7. Проблема землетрясения. Не того землетрясения, от которого рушатся стены, а того, которое вызывается проезжающим за 100 км от зеркала мотоциклистом или набегающими на берег волнами (колебания зеркал на тысячную долю микрометра в секунду).

8. Десятки других проблем, которые возникнут, как только этим экспериментом займутся вплотную.

Оглавление

А.

На полированный металлический шар слева падает параллельный однородный пучок света. Допустим, что шар полностью отражает световые лучи. Куда больше отразится света: влево или вправо?

Б.

Обычно сначала недоумевают: как вообще лучи могут отразиться вправо, если справа находится шар? Чтобы рассеять недоумения, приводим рис. 135, на котором построены два отраженных луча. Луч AB после отражения пошел влево, по направлению BC, луч DE – вправо, по EF. Построение отраженного луча просто. Строится перпендикуляр к зеркалу в точке падения (OBG и OEH). Перпендикуляром к поверхности шара является радиус шара и его продолжение. Затем строится угол отражения (GBC и HEF), равный углу падения (ABG и DEH).

Рис. 135. Построение отраженного луча

Итак, шар действительно отражает и вправо, и влево. Но куда больше? Ответить на вопрос будет легко, если вы сначала построите те лучи, которые отражаются как раз не вправо и не влево, а вверх и вниз. Тогда вы разделите весь световой поток на два: отражаемый влево и отражаемый вправо, – и вам останется лишь сравнить их.

В.

На рис. 136 приводится подсказанное выше построение. Найдем точку B, от которой падающий слева луч AB отражается точно вверх (BC). Угол ABC равен 90°. Но он является суммой углов падения и отражения, а последние равны друг другу, следовательно, каждый из них равен 45°. Значит, точку B можно найти как точку, в которой перпендикуляр к поверхности шара составляет угол 45° с направлением падения лучей. Это радиус OB. Аналогично находим точку E, от которой луч отражается точно вниз.

Рис. 136. Построение отражающих поверхностей

Легко сообразить, что плоскость, проходящая через точки B и E перпендикулярно к направлению падения лучей (плоскость CBKEF), делит шар на две неравные части, одна из которых (левая) отражает лучи влево, вторая (правая) – вправо.

Сколько же падает лучей на левую и правую части шара? Всего на шар падает лучей столько, сколько их проходит через круг 1, радиус которого равен радиусу шара R. Разрежем этот круг на две части: малый круг 2 с радиусом

r = BK = R sin 45° = R / 2^1/2,

и кольцо 3. Тогда из всех падающих на шар лучей на левую часть упадет количество, пропорциональное площади круга 2, на правую – пропорциональное площади кольца 3 (так как пучок лучей по условию однородный). Площадь круга 1

S₁ = πR₂.

Площадь круга 2

S₂ = πr² = π (R/2^1/2)² = πR²/2 = S₁/2,

т.е. площадь круга 2 составляет половину площади круга 1. Значит, на кольцо 3 останется вторая половина площади круга 1.

Таким образом, на часть шара, отражающую влево, падает столько же света, сколько и на часть, отражающую вправо. А поскольку по условию отражается все, что падает, то шар влево и вправо отражает одинаково.

Из соображений симметрии следует, что в верхнюю и нижнюю полусферы шар отражает тоже одинаково. Это же верно для полусфер над и под чертежом. Чуть-чуть усложнив доказательство (взяв вместо 45° произвольный угол α), мы можем убедиться, что шар обладает интересным свойством отражать совершенно одинаково не только по всем полусферам, но и вообще по всем направлениям.

На рис. 137 показан шар, облучаемый однородным цилиндрическим пучком с некоторым радиусом r. Окружим шар радиуса R сферой радиуса ρ >> R. Крайний луч AB пучка падает на шар под углом α и отражается под углом β = α, пересекая сферу в точке C. Аналогично, луч DE после отражения пересекает сферу в точке F.

Рис. 137. Участок сферы в однородном цилиндрическом пучке

Падающий цилиндрический пучок радиуса r после отражения превращается в конический с углом между образующей и осью ψ = α + β = 2α. Этот конус лучей освещает круговой участок сферы CKF (заштрихован отрезками «меридианов»).

Прежде чем начинать доказательство, сделаем важную оговорку. Сфера CF построена концентрично с шаром (общий центр O), и поэтому луч BC, не проходящий через центр O, строго говоря, не перпендикулярен сфере. Поэтому для сферы конечного радиуса ρ доказательство равноправия всех направлений будет не совсем строгим. Однако само понятие направления всегда отождествляется с точкой на небесной сфере, т.е. бесконечно удаленной (ρ = ∞). Для такой сферы безразлично, что считать центром: точку O или отражающую точку В поверхности шара. Следовательно, можно считать ρ' = ρ (см. рис. 137). На практике всегда ρ >> R (например, в радиолокации может быть ρ = 1000 км, R = 1 м), и поэтому наше решение будет практически точным.

Найдем связь между сечением падающего потока лучей s₁ и площадью освещаемого участка сферы s₂. Сечение цилиндра

s₁ = πr² = πR² sin 2α;

s₂ есть боковая поверхность шарового сегмента CKF:

s₂ = 2πρh,

где высота сегмента

h = KL = KO – LO = ρ – ρcos ψ = ρ(1 – cos 2α) = 2ρ sin 2α.

Отношение площадей

Собственно говоря, на этом доказательство заканчивается. Мы уже видим, что это отношение не зависит от ψ (т.е. от α или от r). Это значит, что, увеличивая s₁ (и пропорциональный ей падающий поток), мы во столько же раз увеличиваем s₂, т.е. ту площадь, на которую этот поток рассеивается; поэтому освещенность прибавляющегося участка сферы оказывается такой же, как и освещенность первоначального. Впрочем, формальное доказательство этого факта не повредит.

Увеличим r на δr. Тогда s₁ возрастает на δs₁ и s₂ – на δs₂. Новое отношение площадей будет равно той же величине, поскольку ни r, ни δr в формулу (1) не входят:

Вычитая формулу (1) из (2), получаем

(s₁ + δs₁)/(s₂ + δs₂) – s₁/s₂ = 0,

откуда после простых преобразований имеем

δs₁/δs₂ = s₁/s₂ = R²4ρ².

Это и доказывает, что на новой площадке δs₂ освещенность будет такая же, как и на старой s₂, если плотность падающего потока на новой площадке δs₁ такая же, как и на старой s₁, т.е. если падающий поток однороден.

Неоднородность в падающем потоке приведет, конечно, к соответствующей неравномерности в освещении сферы. В частности, если в падающий поток внести экран определенной формы, то такой же формы тень появится в соответствующем месте сферы. Любопытно, что угловые размеры этой тени для наблюдателя, совмещенного с центром шара, будут одними и теми же независимо от радиуса сферы ρ, а также от расстояния экран – шар.

Наиболее частое возражение против изложенного состоит в том, что за шаром имеется цилиндрическая тень с сечением πR², которую нельзя замаскировать никакими теоретическими выкладками. Да, это верно, но угловые размеры этой тени на сфере бесконечно большого радиуса равны нулю. Таким образом, можно утверждать, что освещенность на сфере одинакова на всем бесконечном множестве ее точек, кроме одной. На практике даже эта точка будет освещена, если учесть дифракцию лучей вокруг шара, их искривление в поле тяжести шара (следствие общей теории относительности Эйнштейна) и др. Однако все эти явления – вне рамок нашей задачи, и попытка взять их на вооружение выглядела бы как увертка. С чувством некоторой досады мы должны признать, что, оставаясь в рамках геометрической оптики (что для нашей задачи означает прямолинейность лучей), мы не можем избавиться от этой занозы – одной неосвещенной точки. К тому же, если ρ конечно, то и угловые размеры тени конечны. Собственно, этот дефект и оговоренная ранее нецентральность точки отражения – две стороны одной медали.

Способность шара при ρ >> R отражать совершенно одинаково по всем направлениям делает шар очень удобной эталонной целью для радиолокации: отраженные от шара сигналы одинаково обнаруживаются с любого направления, независимо от того, с какой стороны облучается шар. Созданы искусственные спутники Земли в виде огромных надувных шаров с металлизированной поверхностью. Эти спутники рассеивают равномерно по всем направлениям сигналы, посылаемые с Земли. Благодаря большой высоте спутников отраженные от них сигналы принимаются на большой территории, что удобно для телевизионного вещания и связи.

Оглавление

А.

Рис. 138. Уголковый отражатель

Все вы видели красный задний велосипедный «фонарь». Он обладает чудесным свойством: несмотря на отсутствие в нем лампочки, он светит, причем светит не все время и не по всем направлениям, а тогда, когда надо, и туда, куда надо. Когда ночью велосипедиста догоняет автомашина и освещает его своими фарами, то этот «фонарь» отражает свет точно к автомашине и никуда больше. Шофер видит яркий красный свет «фонаря» и принимает меры к тому, чтобы не наехать на велосипедиста. А как устроен этот «фонарь»?

Б.

Внимательно приглядевшись к «фонарю» (рис. 138, а), вы увидите, что весь он состоит из равносторонних треугольников, каждый из которых (рис. 138, б) разбит биссектрисами еще на три треугольника. Приглядевшись к равностороннему треугольнику еще внимательнее, вы заметите, что это вовсе не треугольник, а пирамида. Каждая пирамида состоит из трех взаимно перпендикулярных зеркал. Такая комбинация зеркал называется уголковым отражателем. Четвертая грань пирамиды – основание – обращена к наблюдателю и прозрачна для красных лучей.

Очевидно, достаточно рассмотреть один уголковый отражатель. Нужно доказать, что он меняет направление света на строго противоположное независимо от того, с какого направления свет падает. Советуем начать доказательство с более простого случая двух взаимно перпендикулярных зеркал и луча, падающего на них в плоскости, перпендикулярной к обоим зеркалам.

В.

Рис. 139. Простой уголковый отражатель

На рис. 139 показаны два зеркала OA и OB, перпендикулярные друг к другу и к плоскости чертежа. Падающий луч CD лежит в плоскости чертежа. Прямая GD – перпендикуляр к зеркалу OA, GE – к OB. Поэтому ODGE – прямоугольник, угол DGE – прямой, треугольник DEG – прямоугольный, сумма его острых углов β + γ = 90°. Луч падает на зеркало OA под углом α и отражается под углом β = α, затем падает на зеркало OB под углом γ и отражается под углом δ = γ. Поскольку угол ε = 90° – δ, то из приведенных выше равенств следует

ε = 90° – δ = 90° – γ = β = α,

т.е. ε = α, и так как DG параллельно OB, то CD параллельно EF, т.е. дважды отраженный луч ЕF уходит в направлении, строго противоположном направлению падающего луча. Там же пунктиром показан луч C'D, падающий с другого направления (от другого источника света). После двух отражений он возвращается по прямой E'F' туда, откуда он пришел.

Доказательство для системы с тремя зеркалами несколько сложнее: стереометрия сложнее планиметрии. На рис. 140, а и б, показан уголковый отражатель из трех квадратных зеркал в двух проекциях: а) вид спереди, зеркала A и C перпендикулярны к плоскости чертежа, зеркало B лежит в плоскости чертежа; б) вид слева, зеркало C теперь лежит в плоскости чертежа, зеркала B и A видны с ребра.

Чтобы помочь нашему пространственному воображению, будем рассматривать поведение одного из фотонов падающего луча. Испытаем новый метод доказательства сначала на уже рассмотренном случае, когда третье зеркало бездействует. Фотон падает на зеркало B (рис. 140, б) по прямой DE со скоростью ν и, как мячик, отражается по прямой ЕF, отчего его скорость меняется по направлению.

Разложив скорость ν на составляющие v₁ и v₂, перпендикулярную и параллельную зеркалу, мы видим, что зеркало меняет направление перпендикулярной составляющей v₁ на противоположное (v₁'), оставляя неизменной параллельную составляющую v₂. Скорость отраженного фотона v есть результат сложения неизменной v₂ и изменившейся v₁'. Второе зеркало в точке F аналогично изменяет направление второй составляющей v₂ (которая была параллельна первому зеркалу, но оказалась перпендикулярной ко второму).

Рис. 140. Уголковый отражатель из трех зеркал

В результате двух отражений обе составляющие v₁ и v₂ вектора v изменили направления на противоположные, отчего и результирующий вектор изменил свое направление на противоположное, и фотон улетает по прямой FG, параллельной первоначальному пути DE. Третья составляющая скорости в этом случае была равна нулю: как видно из второй проекции (рис. 140, а), фотон летел параллельно зеркалу C по пути DE, отразился в точке E, полетел к зеркалу A (опять параллельно C), отразился в точке F и полетел обратно по пути FG (опять-таки параллельно C).

Если бы, однако, у фотона была и третья составляющая скорости v₃, перпендикулярная к третьему зеркалу (рис. 140, в, дающий проекцию такую же, как и рис. 140, а), то фотон, отразившись в точках E и F от двух зеркал, полетел бы и к третьему (точка H), которое изменило бы направление третьей составляющей v₃ на обратное v₃'. Таким образом, каждое из трех отражений (E, F и Н) привело бы к перевороту соответствующей составляющей вектора скорости фотона, и он улетел бы в направлении, строго противоположном первоначальному. На рис. 140, г показан этот общий случай отражения от трех зеркал уголкового отражателя.

Вы можете возразить, что если «фонарь» велосипеда освещается автомобильной фарой, то отраженный луч должен вернуться в фару, а не в глаза шофера. Так было бы, если бы все уголковые отражатели были идеальными, т.е. все три зеркальца каждого «уголка» были строго взаимно перпендикулярны. Малейшие отступления от перпендикулярности приводят к некоторому разбросу отраженного луча, что и позволяет шоферу увидеть свет «фонаря».

Не менее Интересные применения уголковые отражатели (УО) находят в радиолокации: посланная радиолокатором волна отражается от УО точно назад в радиолокатор, не рассеиваясь во все стороны, благодаря чему сигнал, отраженный от УО, можно обнаружить на огромных расстояниях. Поэтому УО может отмечать характерные точки местности, по ним можно проверять правильность работы радиолокатора. УО можно расставить на речных и морских мелях. Штурманы будут отчетливо видеть мели, на экранах своих радиолокаторов. УО могут применяться и против радиолокации: сброшенный с самолета УО дает отраженный сигнал больший, чем самолет, радиолокатор начинает следить за этой приманкой, а самолет тем временем старается уйти.

«Уголками» могут снабжаться космические корабли, что позволит следить за ними с помощью радиолокаторов на огромных расстояниях.

В журнале Mercury (1974, № 5) К.У. Андерсон делает смелое предположение, что внеземные цивилизации (ВЦ) могли миллионы лет назад дать знать о себе, прислав в Солнечную систему свои УО, которые не разрушились до сих пор. По его расчетам УО диаметром 1 км в районе Нептуна дает для радиолокатора такой же по величине отраженный сигнал, как и планета Меркурий, уже «обнаруженная» радиолокацией. Читателей, не располагающих радиолокатором, наверняка заинтересует, что такие УО могли бы обнаруживаться и невооруженным глазом. Роль передатчика может выполнить Солнце. Правда, в силу свойств УО отраженный сигнал должен возвращаться в источник, т.е. к Солнцу, мимо Земли и наших глаз. Но если Земля попадает на прямую Солнце – УО, то мы должны обнаружить УО в виде точки-звезды (яркость ее пульсирует, если УО вращается). Во-первых, потому, что сигнал к УО и обратно идет много минут и Земля, пропустив прямой луч Солнца к УО, успевает передвинуться и перехватить луч, возвращающийся от УО. А во-вторых, тень Земли не затмевает (в отличие от задачи «Полная Луна») «уголок», выведенный на орбиту между Марсом и Юпитером: с этого расстояния Земля видна как «точка», не способная заслонить весь солнечный диск.

Расчет показывает, что если этот УО запущен вокруг Солнца в плоскости эклиптики на расстоянии 3·10⁸ км от Солнца, то он с Земли будет виден как звезда 4-й величины, т.е. доступен невооруженному глазу (стометровый – 9-й величины, доступен школьному телескопу). Для этого он должен находиться в точке эклиптики, строго противоположной Солнцу, и угадать заранее момент противостояния мы не можем. Поэтому наблюдения должны вестись каждую ночь (в местную полночь – строго на юге, с вечера – соответственно левее), в течение 565 суток (таков синодический период обращения «уголка» – время от одного противостояния до другого). Продолжительность видимости «уголка» может достигать 4 часов.

Массивный Юпитер за многие годы мог бы заметно «расшатать» такую орбиту УО. Поэтому ВЦ выведет его скорее в плоскость орбиты не Земли, а Юпитера, где орбита УО будет устойчивее. Эта орбита будет пересекать эклиптику под углом 1,3°, и теперь искать круглый год бессмысленно. Когда УО отходит от эклиптики более чем на 0,07°, его «зайчик» не попадет на Землю. Искать нужно вблизи узлов (точек пересечения орбиты УО с эклиптикой), т.е. вблизи точек, противостоящих Солнцу в начале января (идет по Близнецам) и в начале июля (по Стрельцу).

Нерешенные проблемы: мы не знаем, умеет ли ВЦ делать УО размером 1 км с идеальной точностью (до долей микрометра); мы не знаем, насколько бомбардировка метеорной пылью за века попортила зеркала УО. И главное, мы не знаем, существуют ли вообще эти УО, так как еще не знаем, существуют ли сами ВЦ (об этом – в задачах «Спортлото и жизнь на других планетах», «Свидание под часами», «Пароль разума», «Расписание связи с внеземными цивилизациями», «Ищи под фонарем!»). Поэтому, обнаружив УО, надо убедить в этом и других: не только срочно дать телеграмму, но и сделать документ – кинофильм.

В 1971 г. на Луне в Море Дождей успешно действовал советский «Луноход-1» с французским УО на борту. УО состоит из многих «уголков», являющихся как бы отрезанными от стеклянного куба углами. Луч лазера, посылаемый из Франции на «Луноход-1», возвращается во Францию, посылаемый из Крыма – в Крым. Можете послать луч и вы – и он вернется точно к вам (и никуда больше!). Этот эксперимент позволил уточнить характер движения Луны, решить многие задачи геодезии и селенодезии.

Еще любопытнее проект космического светотелефона, основанный на использовании УО. С Земли на космический корабль посылается световой луч лазера. Сквозь прозрачный иллюминатор луч попадает на УО, сделанный из упругих тонких зеркал, и, отразившись, возвращается в точку отправления. Если космонавт молчит, то вернувшийся на Землю луч имеет постоянную интенсивность. Если же космонавту нужно передать что-либо на Землю, он говорит, повернувшись к УО, как к микрофону. Упругие зеркала УО начинают вибрировать, отчего углы между зеркалами начинают слегка меняться в такт с передаваемым сигналом. Отступление углов от 90° расстраивает УО, он начинает рассеивать свет широким пучком, отчего количество света в направлении к точке приема уменьшается. Световой поток, принимаемый на Земле, оказывается меняющимся в такт с речью космонавта (модулирован по амплитуде). С помощью специального детектора эти колебания можно превратить в электрические, усилить и подать на громкоговоритель.

Во время передачи с Земли луч лазера, модулированный по интенсивности передаваемыми сигналами, своим световым давлением* заставит УО вибрировать, и чтобы услышать Землю, космонавту достаточно повернуть к УО ухо. Любопытно, что при таком способе связи практически вся аппаратура и источники питания находятся на Земле, а бортовая часть аппаратуры состоит всего лишь из УО, что сводит к минимуму вес и габариты, дает экономию энергии на борту и обеспечивает высокую надежность.

* Световым давлением заставить «уголок» вибрировать значительно труднее, чем звукбвым, поэтому данную идею можно рассматривать пока лишь как принципиальную возможность.

Оглавление

А.

Кастрюля диаметром 20 см и высотой 15 см выставляется на свет так, что дно ее перпендикулярно к лучам. Каждую секунду внутрь попадает два миллиарда квантов. Спустя минуту кастрюля мгновенно закрывается крышкой. Сколько квантов оказываются захлопнутыми внутри?

Б.

Кое-кто из вас вспоминает, что в детстве он уже смеялся над чудаком из сказки, который подобным образом пытался запасти в горшке свет на черный день. Не надо смеяться: чудаки движут науку. Это был наивный, но тем не менее вполне научный эксперимент. Хотя и интуитивно, но экспериментатор исходил из достаточно здравой гипотезы, которую впоследствии назвали законом сохранения энергии. Результат эксперимента оказался почему-то отрицательным, но отрицательные результаты тоже движут науку вперед, если из них делаются должные выводы. Не назовете же вы чудаком Галилея за то, что для измерения скорости света он предложил послать луч с одной горы на другую, зажечь фонарь на второй горе в момент прихода туда света с первой и мерить на первой горе время между моментами отправления сигнала и возврата ответного. Идея была правильной, сейчас на ней держатся радио- и светолокация. Галилей потерпел неудачу только потому, что точность его приборов была слишком малой. Может быть, и у нашего чудака опыт не удался по той же причине?

Пристыдив таким образом шутников, приступим к делу.

Сразу же отметаем, как абсурдный, ответ, что за 60 с накопится 120 млрд квантов. Квант не может покоиться. Он остается квантом, только пока движется со световой скоростью. Число квантов в кастрюле не зависит от того, освещаем ли мы ее минуту или год.

Вторая крайность – в кастрюле ничего нет – тоже абсурдна. По крайней мере в первое мгновение, пока кванты не поглотились материалом кастрюли, там будет некоторое их количество. Но сколько? Интуитивно ожидается, что их там будет миллион-другой или, на худой конец, тысчонка; что число это тем больше, чем больше площадь дна кастрюли, и не зависит от ее высоты.

Подсказка состоит в том, что искомое число квантов определяется именно высотой.

В.

Решим сначала задачу для абсолютно черной кастрюли, которая все поглощает и ничего не отражает. Кванты, излучаемые самим сосудом, в расчет не принимаем (чтобы они не мешали, можно охладить кастрюлю до абсолютного нуля). Квант, падающий на дно, немедленно исчезает из нашей задачи (так как превращениями кванта внутри материала дна мы заниматься не будем). Следовательно, в сосуде будут захлопнуты только те кванты, которые успели проскочить крышку, но еще не достигли дна.

Свет проходит в секунду 300 000 км. Следовательно, два миллиарда квантов рассредоточены в объеме цилиндра, высота которого равна 300 000 км, а основанием является дно кастрюли.

Захлопывая кастрюлю, вы отсекаете от этого цилиндра маленький цилиндрик, высотой которого теперь является высота кастрюли. Пятнадцать сантиметров в 2 млрд раз меньше трехсот тысяч километров. Значит, и квантов в кастрюле будет в 2 млрд раз меньше, или всего... один квант*! Поразительно мало. А через одну двухмиллиардную секунды квант наверняка достигнет дна, и в кастрюле наступит темнота.

Впрочем, чего другого можно было ожидать от абсолютно черной кастрюли? Еще до закрывания крышкой в ней не было видно ни зги, так как видеть что-либо можно только при условии, что этим предметом излучаются или отражаются световые кванты. Вот уж в абсолютно белом сосуде квантов будет полным-полно! Оказывается, нет! Возьмем для простоты кастрюлю с полированным дном, отражающим зеркально. Тогда в абсолютно белой** кастрюле квантов будет в среднем только вдвое больше, чем в абсолютно черной: к квантам, идущим в одну сторону, прибавится столько же, идущих после отражения в обратном направлении. Правда, существенно новым будет то обстоятельство, что если крышка тоже абсолютно белая, то эти два кванта будут существовать внутри вечно.

Несколько больше квантов будет в белой матовой кастрюле: от матовой поверхности квант отражается куда придется, в том числе и на стенки, а от стенок тоже отражается в случайном направлении. Так он может путаться внутри довольно долго, пока случайно не выскочит из сосуда. Поскольку путь при этом удлиняется, то возрастает и его время пребывания внутри, а следовательно, и число квантов, одновременно пребывающих в кастрюле и захлопываемых там.

На рис. 141 показана судьба одного из квантов, пришедшего по прямой AB. Векторы, исходящие из точки B, в некотором масштабе показывают вероятность отражения кванта по разным направлениям в случае матовой поверхности. Дальнейший путь кванта случаен. Например, он может уйти из сосуда после трех отражений в точках B, C и D.

Рис. 141. Как ведут себя кванты в кастрюле

Нетрудно представить сложности вычисления точного числа квантов внутри такого сосуда. Однако ориентировочно это число можно оценить по отношению площади поверхности кастрюли к площади отверстия: именно этим отношением определяется вероятность ухода кванта из сосуда (для шарообразного сосуда это было бы точнее, чем для цилиндрического). Вероятнее всего, что в этой кастрюле удастся захлопнуть 1...7 квантов: 0...2 прямых и 1...5 отраженных.

Отметим в заключение, что 2 млрд квантов в секунду – это слишком малая величина. Освещенность, создаваемая ими в нашей кастрюле, в 20 раз слабее освещенности, создаваемой звездным безлунным небом. Полная Луна посылала бы в кастрюлю около 2·10¹³ квантов в секунду.

Интересно, что абсолютно белую кастрюлю (с зеркальным дном) в условиях нашей задачи тоже увидеть невозможно. Стенки, не облучаемые потоком, перпендикулярным ко дну, выглядели бы черными. Сверкала бы только одна точка дна, от которой отраженные кванты попадают в глаз. Но для этого глаз нужно расположить на пути падающих лучей. При этом наблюдатель заслонил бы падающий свет и поэтому ничего бы не увидел (правда, если бы наблюдатель умудрился своей головой заслонить кастрюлю мгновенно, то к нему из кастрюли пришли бы два кванта, но вряд ли они попали бы ему в глаза, так как площадь щек и носа больше площади глаз). Для любого наблюдателя, находящегося в стороне, дно и стенки казались бы абсолютно черными.

* Эта цифра верна только в среднем. Кванты в кастрюлю поступают беспорядочно; поэтому может получиться, что вы захлопнете в ней 0, 1, 2, 3 и т.д. квантов с вероятностью тем меньшей, чем больше число квантов.

** Под абсолютно белой мы понимаем поверхность с коэффициентом отражения, строго равным единице.

Оглавление

А.

Пустотелый шар с внутренним диаметром 1 мм, абсолютно белый внутри, с абсолютно прозрачным воздухом, заполнен светом (с длиной волны λ = 0,555 мкм) так, что освещенность внутри равна 0,2 лк (такую освещенность создает полная Луна). Сколько квантов надо убрать, чтобы освещенность внутри шара упала вдвое?

Б.

Конечно, нужно убрать половину всего числа квантов. Но соль не в этом, а в том, сколько именно. Надо вычислить, сколько их там всего, и разделить пополам.

Напомним данные, необходимые для расчета. Один люкс – это один люмен на квадратный метр. Один ватт лучистой энергии на волне 0,555 мкм равен 683 лм светового потока. Энергия ε одного кванта равна произведению частоты v на постоянную Планка h,

ε = hv,

где h = 6,6·10^–27 эрг/Гц = 6,6·10^–34 Дж/Гц,

v = c / λ = 3·10⁸ / (0,555·10^–6) = 5,4·10¹⁴ Гц.

В.

Итак, надо определить число квантов внутри шара. Энергия одного кванта

ε = hv = (6,6·10^–34)·(5,4·10¹⁴) ≈ 3,6·10^–19 Дж.

Освещенность в один люкс свяжем с джоулями:

E = 1 лк = 1 лм/м² = 1 / 683 Вт/м² = 1 / 683 Дж/(с·м²).

Эта освещенность дает n квантов в секунду на квадратный метр,

n = E / ε = 1 / (683·3,6·10^–19) = 4·10¹⁵ с^–1·м^–2.

При E₁ = 0,2 лк

n₁ = 8·10¹⁴ с^–1·м^–2 = 8·10¹⁰ с^–1·см^–2.

Теперь подойдем к задаче с другого конца.

В абсолютно белом шаре поглощение отсутствует, все кванты отражаются. Найдем, сколько раз в секунду отразится внутри нашего шара один квант, если он бегает вдоль диаметра шара. Для этого скорость кванта следует разделить на этот диаметр:

m = c / d = (3·10¹¹ мм/с) / 1 мм = 3·10¹¹ с^–1.

Если учесть, что в случае матовой поверхности квант отражается в самых произвольных направлениях, то число отражений будет еще больше: всякая хорда короче диаметра, время пролета по хорде меньше, чем по диаметру. Следовательно, вычисленное нами m – это минимально возможное число ударов кванта в секунду о внутреннюю поверхность шара. Чтобы не осложнять себе расчетов, удовлетворимся этим числом, памятуя, что на самом деле оно несколько больше.

Сколько же раз в секунду наш одиночный квант падает на квадратный сантиметр поверхности?

Внутренняя поверхность шара равна

S = 4πr² = πd² = 3,14·0,1² = 0,0314 см².

Искомое число

n² = m / S = 3·10¹¹ / 0,0314 = 10¹³ с^–1·см^–2.

Сравнив n² и n¹, мы обнаруживаем, что

n² / n¹ = 10¹³ / 8·10¹⁰ = 125,

т.е. квант попадает каждую секунду на каждый квадратный сантиметр поверхности в 125 раз чаще, чем это требуется для создания освещенности в 0,2 лк. Значит, один квант внутри нашего шара создаст освещенность в 125 раз бóльшую, чем полная Луна! 25 лк! Причем не на мгновение, не на час, а на вечность. Это как раз та освещенность, при которой мы обычно читаем книгу вечером за письменным столом.

Этот результат настолько неожидан, что хочется еще раз проверить расчеты: уж не ошиблись ли мы? И автор несколько раз это делал, но так и не нашел ошибки (в расчете!). Поэтому он вынужден смириться с этим парадоксом, но вас к этому не принуждает. Считайте сами!

Оставляя вопрос о том, можно ли читать с помощью одного-единственного кванта, на будущее, вернемся к условию задачи.

Итак, для того чтобы внутри шара освещенность равнялась 0,2 лк, нужно, чтобы там было всего лишь 1/125 кванта. Но квант может быть только целым. Значит, такая освещенность невозможна! Тем более невозможно уменьшить ее вдвое. Выходит, что освещенность внутри шара может быть либо нуль (полная темнота), либо 25 лк (один квант), либо 50 лк (два кванта) и т.д. Промежуточные градации невозможны. Причем при освещенности 25 лк свет в шаре может быть только цветным (в нашем случае желтым), но не белым: белый свет представляет собой смесь многих цветов и требует для своего создания по крайней мере трех разноцветных квантов, что даст освещенность больше 25 лк.

Поистине прав Прутков, воскликнувший однажды: «Глядя на мир, нельзя не удивляться!»

Оглавление

А.

Раздуем шар из предыдущей задачи до размеров футбольного мяча (D = 30 см). Поскольку внутренняя поверхность от этого возросла, то при том же числе квантов n внутри шара освещенность уменьшится. Во сколько раз?

Б.

Так и хочется сказать, что освещенность обратно пропорциональна освещаемой площади, т.е. уменьшится в 300² = 90 000 раз. Но освещенность определяется не просто числом квантов на единицу площади, а числом, приходящимся на единицу площади в секунду.

В.

Следует учесть еще, что путь кванта между столкновениями увеличится в 300 раз. Поэтому столкновения со стенками будут в 300 раз реже. А площадь стенок в 300² раз больше: Следовательно, от обеих причин освещенность уменьшится в

(D/d)³ = 300³ = 27 млн раз,

т.е. ровно во столько раз, во сколько увеличился объем шара.

Для сохранения той же освещенности нужно было бы увеличить во столько же раз число квантов; иными словами, число квантов в единице объема (объемная плотность энергии) должно оставаться постоянным.

Внутри нашего мяча возможные градации освещенности идут уже в 27 млн раз гуще: после полной темноты ближайшее возможное значение освещенности составляет около одной миллионной люкса.

Интересно изменить размеры шара также и в другую сторону: при диаметре шара 0,01 мм один квант создавал бы освещенность 25 млн люксов, что в 250 раз больше освещенности, создаваемой Солнцем в полдень (в средних широтах). Это ослепляло бы наблюдателя, но уменьшить освещенность на какой-либо процент было бы невозможно: ее можно было бы уменьшить только скачком до нуля, убрав этот единственный квант.

Впрочем, кажется, есть способ сделать пребывание наблюдателя внутри шара терпимым: надо заменить желтый квант на красный или фиолетовый. Чувствительность глаза к разным цветам (относительная видность) различна и убывает к краям видимого спектра. Например, при λ = 0,42 мкм она составляет только 0,004 от чувствительности при λ = 0,555 мкм, т.е. фиолетово-синий квант действовал бы приблизительно в 250 раз слабее, чем желтый (несмотря на то, что, в соответствии с выражением ε = hv, он немного энергичнее желтого). Правда, автор не уверен, что такой фиолетовый мир окажется приемлемым для наблюдателя.

Назревающий у вас протест против присутствия наблюдателя внутри наших шаров будет рассмотрен в следующей задаче.

Оглавление

А.

В чудеса со слов верится плохо, их надо увидеть собственными глазами. Поэтому возьмем шар из предыдущей задачи (жесткий, абсолютно белый внутри, с внутренним диаметром 30 см), прорежем в нем круглую дырочку диаметром 5 мм, т.е. как раз такую, чтобы к ней можно было снаружи приложиться зрачком глаза. Дырочка закрыта абсолютно белой задвижкой. Откроем задвижку и заглянем. Что мы увидим?

Рассмотрим два случая:

1) внутри шара один-единственный квант;

2) 10¹³ квантов (освещенность, близкая к создаваемой Солнцем).

Б.

Что значит – увидеть? Мы видим – это значит, что в сетчатке нашего глаза поглощаются световые кванты, в глазном нерве возбуждаются электрические импульсы и мозг принимает эти сигналы. Если кванты не будут поглощаться сетчаткой (отразятся, например, обратно), то мы ничего не увидим.

Будем для простоты считать, что зрачок поглощает все, что в него попадает (абсолютно черный зрачок).

В.

Пока квант натыкается на идеально отражающие стенки, он передвигается внутри шара. Наткнувшись на зрачок, он поглощается, и больше внутри шара уже смотреть нечего. Когда это произойдет? Сразу, как только мы заглянули? Или попозже? Это зависит от случая. Вероятность попадания кванта при данном столкновении в зрачок равна отношению поверхности S₁, занимаемой зрачком, ко всей поверхности шара S. Таким образом, мы можем считать, что в среднем (по множеству экспериментов с шаром) квант будет выбывать из игры после 14 000 отражений, т.е. после открывания задвижки он проходит внутри шара перед попаданием в зрачок путь порядка 14 000×30 см = 4200 м, затрачивая на это 14 мкс. Здесь, как и раньше, мы пренебрегаем тем, что квант перемещается в общем случае по хорде, которая короче диаметра.

Увидим ли мы этот квант? Вряд ли. Дело в том, что, как показали эксперименты академика С.И. Вавилова, наблюдатель, даже привыкнувший к темноте, может уверенно заметить вспышку света только при условии, что число квантов, поступивших в зрачок за доли секунды, не менее 8...50 (для разных наблюдателей цифры различны), а обнаружение одиночного светового кванта маловероятно.

Теперь ясно, что наблюдатель, смотрящий внутрь шара диаметром 0,01 мм и имеющий дело с освещенностью в 250 раз больше солнечной, не только не будет ослеплен ею, но скорее всего ничего там не увидит.

Рассмотрим второй случай: внутри шара 10¹³ квантов. При таком большом числе можно полагать, что поверхность бомбардируется равномерно и, следовательно, в каждый отрезок времени на зрачок попадает в 14 000 раз меньше квантов, чем на стенки шара. Полагая, что от одного столкновения до другого проходит одна миллиардная секунды (время пролета по диаметру), мы находим, что каждую миллиардную секунды из шара уходит 1/14 000 часть квантов, имеющихся там на текущий момент. Следовательно, спустя одну миллиардную секунды останется

n₁ = 10¹³ (1 – 1/14 000) квантов,

спустя две миллиардных

n² = 10¹³ (1 – 1/14 000)² квантов,

спустя m миллиардных

n_m = 10¹³ (1 – 1/14 000)^m квантов.

Если время t от начала наблюдения выражать в секундах, то

t = m / 10⁹.

Поэтому последнее выражение можно переписать в виде

n = 10¹³ (1 – 1/14 000)^{10^[9]t} квантов.

Расчет по этой формуле показывает, что уже спустя примерно 10 мкс в шаре останется только половина квантов, спустя 20 мкс – четверть, 100 мкс – одна тысячная, 200 мкс – миллионная, а через 450 мкс там останется в лучшем случае один-два кванта. Эти результаты изображены на рис. 142 в виде кривой а.

Рис. 142. Динамика уменьшения количества квантов в шаре (кривая a) и зрительное впечатление наблюдателя от вспышки (кривая б)

Что же увидит наблюдатель? Число квантов сейчас достаточно для возбуждения глаза. Но инерционность зрения (порядка 0,05 с) слишком велика, чтобы в зрительном аппарате правильно была воспроизведена форма столь короткого светового импульса. Поэтому наблюдателю покажется, что он видит вспышку, растянутую до 0,05 с (т.е. примерно в 200 раз) и соответственно ослабленную (тоже примерно в 200 раз). На рис. 142 зрительное впечатление показано кривой б (без соблюдения масштаба).

Если бы, однако, такую же освещенность внутри имел абсолютно белый шар диаметром 30 м, то в нем было бы в миллион раз больше квантов. При том же диаметре зрачка они расходовались бы с той же скоростью, поэтому сам процесс угасания света растянулся бы в миллион раз, т.е. свет ослабевал бы вдвое примерно за 10 с, и наблюдать за угасанием можно было бы несколько минут, после чего это невообразимо огромное число квантов исчезло бы в бездонной пропасти зрачка.

Значит, все-таки можно запасать свет в горшке! Да, если у вас есть горшок, абсолютно белый внутри. Но у вас (и в лучших посудных магазинах) нет такого сосуда. Поэтому свет запасают только косвенно: либо в виде энергии заряженного аккумулятора, с помощью которого можно в нужный момент зажечь лампочку; либо в виде топлива (образуемого при фотосинтезе в растениях); либо освещая фотолюминофор – вещество, в котором световые кванты могут перевести электроны в более энергичные состояния, возвращаясь из которых впоследствии электроны отдадут свет, и т.д.

Теперь уже вопрос о том, можно ли читать с помощью одного-единственного кванта (см. задачу «Пополам не делится»), ясен: нельзя! И хотя один квант внутри абсолютно белого шара диаметром 1 мм создает освещенность, достаточную для чтения, но это только до тех пор, пока никто не пользуется этой освещенностью. Для чтения нужен зрачок и текст. Стоит ввести эти не абсолютно белые вещи внутрь абсолютно белого шара, как вся система оказывается не абсолютно белой. Квант поглотится зрачком – тогда мы увидим квант (если повезет!), но не увидим текста. Квант поглотится текстом – тогда мы не увидим ни кванта, ни текста.

Для того чтобы прочесть хотя бы одну букву, необходимо очень большое число квантов. Нужно, чтобы в каждом элементе буквы (палочке, закруглении, крючке) поглотилось, а от окружающего элемент фона отразилось (причем не куда попало, а именно в зрачок) число квантов, достаточное для распознавания элемента.

Оглавление

VI. Разное (от ботаники до бионики)